Алгебра, 1 семестр, 2014/15

ДЗ на 08.10

1. Найдите наибольший возможный порядок в группе перестановок на 15 элементах.
2. 1. Выпишите всевозможные цикловые типы четных и нечетных перестановок в группе перестановок на 5 элементах
   2. Докажите, что перестановка четна если в разложении её на циклы количество четных циклов четно (а иначе нечетна).
3. Докажите, что любую четную перестановку можно записать как произведение циклов длины 3.

ДЗ на 24.09.

1. Пусть $X$ - множество всех делителей $2002^{2002}$. Обозначим НОД чисел за $(a,b)$, а НОК за $[a,b]$. Введём отношение эквивалентности: $a\sim b\iff \left({\frac {[a,b]}{(a,b)}},77\right)=1$. Сколько элементов в фактормножестве $X/\sim$?
2. Найти минимальное отношение эквивалентности $\sim$, содержащее данное отношение $R$ (т.е. $\sim$ есть транзитивное замыкание $R$) и количество элементов в фактормножестве $X/\sim$.
   1. $X=\mathbb {R} _{+}$ (положительные числа); $aRb\iff ab(b+1)>a^{2}+b^{3}$
   2. $X=\mathbb {Z}$; $aRb\iff (a-3b)\vdots 121$ ($x\vdots b$ обозначает "$x$ делится на $y$ без остатка")
3. Найти количество отображений $f:\{1,2,3,\dots ,n\}\to \{1,2,3,\dots ,n\}$, обладающих указанными свойствами:
   1. $f(f(x))=x$ при любом x
   2. $f(f(x))=1$ при любом x.