Домашнее задание к 02.10.14, матан, 1 семестр

1. Найдите предел и $N(\varepsilon )$ для последовательности
   1. (1) $x_{n}={\frac {n^{2}+{\sqrt {n}}\sin(n)}{n^{2}+\cos(n^{3})}};$
   2. (1) $x_{n}={\frac {\ln n}{\sqrt {n}}};$
   3. (1) $x_{n}={\frac {(n+1)(n+2)\dots (n+10)}{(n-1)(n-2)\dots (n-10)}};$
   4. (1) $x_{n}=n^{\frac {3}{2}}({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n-1}}-2{\sqrt {n}}).$
2. 1. (1) Докажите, что последовательность $\sin(n+1/n)$ не имеет предела;
   2. (2) Докажите, что последовательность $\sin(n^{3})$ не имеет предела;
   3. (3) При каких $c$ последовательность $\sin(c\cdot 10^{n})$ имеет предел?
3. (3) Последовательность чисел $x_{n}$ такова, что $x_{n+1}-{\frac {x_{n}}{2}}\to 0$ при $n\to +\infty$. Докажите, что $x_{n}\to 0$ при $n\to +\infty$.
4. (3) Последовательность $x_{n}$ задана следующим образом: $x_{0}=1$, $x_{1}=2$ и $x_{n+1}={\sqrt[{3}]{x_{n}^{2}x_{n-1}}}$ при $n>1$. Докажите, что последовательность $x_{n}$ сходится и найдите ее предел.
5. (3) Последовательность положительных чисел $a_{n}$ такова, что для любых $m,n$ выполнено неравенство $a_{m+n}\leq a_{n}+a_{m}$. Докажите, что последовательность ${\frac {a_{n}}{n}}$ имеет предел.