Алгебра, 1 семестр, 2014/15

ДЗ на 24.09.

1. Пусть $X$ - множество всех делителей $2002^{2002}$. Обозначим НОД чисел за $(a,b)$, а НОК за $[a,b]$. Введём отношение эквивалентности: $a\sim b\iff ({\frac {[a,b]}{(a,b)}},77)=1$. Сколько элементов в фактормножестве $X/R$?
2. Найти минимальное отношение эквивалентности $\sim$, содержащее данное отношение $R$ (т.е. $\sim$ есть транзитивное замыкание $R$) и количество элементов в фактормножестве $X/\sim$.
   1. $X=\mathbb {R} _{+}$ (положительные числа), $aRb\iff ab(b+1)>a^{2}+b^{3}$
   2. $X=\mathbb {Z}$, $aRb\iff (a-3b)\vdots 121$
3. Найти количество отображений $f:\{1,2,3,\dots ,n\}\to \{1,2,3,\dots ,n\}$, обладающих указанными свойствами:
   1. $f(f(x))=x$ при любом x
   2. $f(f(x))=1$ при любом x.