Матан, 1 семестр, 2014/15

Группа Фёдора Петрова

Домашнее задание на семестр

Отчётность: без понятия

1. Существует ли биективный многочлен $f(x,y)$:

a. $\mathbb {Z} ^{2}->\mathbb {Z}$ b. $\mathbb {Q} ^{2}->\mathbb {Q}$ ?

Домашнее задание к 11.09

Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.

1. Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные.

2. $F\subseteq 2^{\mathbb {N} }$. Два независимых пункта с условием: a. $\forall A,B\subseteq F,A\neq B:$ либо $A\subseteq B$, либо $B\subseteq A$ b. $\forall A,B\subseteq F,A\neq B:|A\cap B|<\infty$ Может ли F быть несчётным?

3. $E\subseteq \mathbb {N} ,|E|=\infty$. Доказать, что существует $a\in \mathbb {R} ,a>1$ такое, что существует существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что $\left\lfloor {a^{n}}\right\rfloor \in E$ ($\left\lfloor x\right\rfloor$ - целая часть $x$ или округление вниз).