Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь

Материал из SEWiki
Версия от 12:00, 7 января 2019; Goryachko (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры

14   Тензорные произведения векторных пространств

14.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами
  • Тензорное произведение вект. пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
  • Разложимый тензор: . Ранг тензора : — минимум среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
  • Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
    и отображение — полилинейный оператор.
  • Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
    существ. единств. такой , что
    (и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств).
  • Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
    пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
    пространства , а также, если , то .
  • Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (, ): .
  • Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда ,
    и .
  • Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
    (1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
    (2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
14.2  Тензоры типа и тензорная алгебра
  • Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
  • Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
  • Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
    (1) — изоморфизм векторных пространств;
    (2) — изоморфизм векторных пространств;
    (3) — изоморфизм вект. простр.-в.
  • Тензор типа в координатах: . Примеры: , , .
  • Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
  • Преобразование при замене базиса: . Примеры: , .
  • Тензорная алгебра над : — ассоциативная -алгебра с (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ).
  • Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда множество
    — базис алгебры , и для любых его элементов и выполнено
    , а также — алгебра многочленов от своб. перем.-х.
14.3  Операции над тензорами типа
  • Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: . Кронекерово пр.-е матриц.
  • Тензорное произв.-е полилин. форм как полилин. форма (, ): .
  • Перестановка компонент: . Действие группы . Перест.-ка в коорд.-х: .
  • Свертка по -й и -й позициям: .
  • Свертка по -й и -й позициям в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.

    Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) для любых , и выполнено , , и ;
    (2) для любых и выполнено и .

  • Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и форма невырождена; тогда
    (1) для любых выполнено (тензор — обратный тензор по отношению к тензору );
    (2) под действием канонического изоморфизма тензор переходит в форму ;
    (3) для любых выполнено .
  • Опускание индекса с -й позиции: . Подъем индекса с -й поз.-и: .
  • Опускание индекса и подъем индекса в коорд.-х: и .

15   Симметрические и внешние степени векторных пространств

15.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
  • Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
  • Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над ,
    и ; обозначим через канонический изоморфизм ; тогда
    (1) (напоминание: и );
    (2) и (далее пространства и отождествляются при помощи изоморфизма );
    (3) и (далее пространства и отождествляются при помощи изоморфизма ).
  • Оператор симметризации: . Оператор альтернирования: . Лемма о симметризации и альтернировании.

    Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) для любых выполнено и ;
    (2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
    (3) и , а также и (и, значит, — проектор на и — проектор на ).

  • Симметрич. и внешнее произв.-я векторов: и . Пример: .
  • Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр. над и ; тогда
    (1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
    (2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор.
  • Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
    (1) для любых существует единственный такой , что ;
    (2) для любых существует единственный такой , что .
  • Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
    и ; тогда
    (1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
    (2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
    (3) и .
  • Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (): и .
15.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
  • Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (, ): и .
  • Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: и .
  • Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: и .
  • Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное простр.-во над полем ,
    , и , , ; тогда
    (1) и ;
    (2) и ;
    (3) и
    (симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
    (4) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно);
    (5) и .
  • Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
  • Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
  • Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над , и ; тогда
    (1) — базис алгебры , и для любых его элементов и
    выполнено , где числа суть числа , упорядоченные по неубыванию;
    (2) — базис алгебры , и для любых его элементов и
    выполнено , где суть , упоряд. по неубыванию;
    (3) — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, и — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х.
15.3  Операции над внешними формами
  • Теорема о внешнем произведении внешних форм. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
    , и ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) для любых выполнено .
  • Оператор внутреннего произв.-я с вект. : . Оператор в коорд.: .
  • Утверждение: . Продолжение по лин.-сти опер. до эндоморфизма пр.-ва .
  • Теорема о внутреннем произведении. Пусть — поле, , — вект. пр. над , и ; тогда — супердифференцирование
    алгебры (то есть для любых , и выполнено ) и .
  • Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ( — канон. форма объема).
  • Примеры: , (здесь ), , ().
  • Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть — псевдоевклидово пространство с ориентацией, , и ; тогда
    (1) для любых , и выполнено ;
    (2) для любых и попарно различных чисел выполнено , где
    и , а также .
  • Теорема об операторе Ходжа. Утверждение: пусть и ; тогда .

    Теорема об операторе Ходжа. Пусть — псевдоевклидово пространство с ориентацией, , и ; тогда
    (1) для любых выполнено (и, значит, — изоморфизм векторных пространств);
    (2) для любых выполнено , где (в координатах );
    (3) для любых выполнено .

16   Многообразия (часть 2)

16.1  Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля
  • Касательное и кокасательное расслоения: и . Структура многообр.-я на и ; отобр.-е проекции на : .
  • Пр.-ва векторн. полей и ковект. полей (-форм): и .
  • Умножение вект. полей и -форм на функции. Действие -форм на вект. поля. Локальные вект. поля и -формы . Утверждение: .
  • Векторные поля и -формы в коорд.: и . Преобраз.-я при замене коорд.: и .
  • Расслоение тензоров типа : . Пр.-во тензорн. полей типа : .
  • В коорд.: . Пример: — поле форм от перем.-х.
  • Преобр.-е координат тензорного поля при замене координат на : .
  • Пр.-во дифференциальн. -форм: . Алгебра диффер. форм: .
16.2  Дифференциальные операции на многообразиях
  • Производная Ли: . Утверждение: и . Коммутатор вект. полей: .
  • Теорема о коммутаторе. Пусть — многообразие и ; тогда
    (1) для любых , определяя в координатах векторное поле на по формуле , имеем
    следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция удовлетворяет определению коммутатора;
    (2) операция коммутатора на определена однозначно;
    (3) — алгебра Ли относ.-но операции , и отобр.-е — изоморфизм алгебр Ли (без док.-ва сюръективности).
  • Внешний дифференциал: — супердифференцирование алгебры , и . Утверждение: .
  • Теорема о внешнем дифференциале. Пусть — многообразие и ; тогда
    (1) для любых и , определяя в координатах форму на по формуле
    (эта формула эквивалентна формуле ), имеем следующие факты: это определение не зависит от
    выбора системы координат (эскиз доказательства), и операция удовлетворяет определению внешнего дифференциала;
    (2) операция внешнего дифференциала на определена однозначно.
  • Замкнутая форма: . Точная форма: . Утверждение: точные формы замкнуты. Лемма Пуанкаре: в замкнут. формы точны (без док.-ва).
  • Ковариантная произв. вект. полей: и .
  • Теорема о ковариантной производной. Пусть — многообразие, и в каждой системе координат из атласа на заданы функции ,
    где , преобразующиеся при замене координ. по формуле ;
    тогда для любых , определяя в координ. векторное поле на по формуле , имеем
    следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция удовлетворяет определению ковариантной произв.-й.
  • Векторное поле вдоль кривой: и . Скорость вдоль : . Ускорение: .
16.3  Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)
  • Метрический тензор сигнатуры : и для любых выполнено — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры на .
  • Псевдориманово многообр. сигнат. — многообр. с метр. тензором сигнат. . Риманово многообр.: . Примеры: , пр.-во Лобачевского .
  • Бемоль: . Диез: . Градиент функции: . Градиент в коорд.: .
  • Ориентация многообр. — такой выбор ориентаций всех пр.-в , где , что . Атлас .
  • Канонич. форма объема: . Оператор Ходжа: . Ротор (): . Дивергенция: . Лапласиан: .
  • Символы Кристоффеля: . Теорема о связности Леви-Чивиты. Объем многообразия : . Длина кривой.

    Теорема о связности Леви-Чивиты. Пусть — псевдориманово многообразие; тогда
    (1) символы Кристоффеля на преобразуются при замене координат по формуле из теоремы о ковариантной производной и, значит, определяют
    операцию ковариантной производной на (она называется связностью Леви-Чивиты), причем эта операция обладает следующими свойствами:
    и (эскиз доказательства);
    (2) операция ковариантной производной на , обладающая свойствами из пункта (1), определена однозначно (без доказательства).

  • Геодезические — экстремали функционала длины. Условие на геодезические (ур.-е Эйлера–Лагранжа для функционала длины): (если ).
  • Тензор Римана (кривизны): . Тензор Риччи: . Скалярная кривизна: .
Эпилог. Дифференциальные операции на многообразии
  • Рассмотрим топологическое пространство как трехмерное риманово многообразие с ориентацией, структура которого задана максимальным атласом,
    являющимся классом согласов.-сти системы координат (эти коорд.-ты обозначаются ), метрическим тензором («квадратом элемента длины»)
    и таким выбором ориентаций всех касательных пр.-в к , что ;
    данная структура на определяет каноническую форму объема («элемент объема») и символы Кристоффеля, равные .
  • Пусть — ортогональная положительно ориентированная система координат на с областью определения (то есть для любых
    выполнено ); обозначим через , и коэффициенты Ламе ,
    и соответственно; тогда
    (1) для любых выполнено , и,
    значит, и ;
    (2) для любых выполнено , и, значит,
    для любых выполнено , для любых различных
    выполнено , и для любых попарно различных выполнено .
  • Зафиксируем ортогон. положит. ориентир. систему координат на с областью определения и обозначим через , и векторные поля
    , и соответственно; тогда , и , а также и .
  • Пусть ; тогда .
  • Пусть ; тогда
    (1) ;
    (2) ;
    (3)

    ;
    (4)
    .
  • Пусть ; тогда .
  • Пусть и ; тогда
    (1) ;
    (2)

    .
  • Найдем коэфф.-ты Ламе для цилиндрической и сферической систем координат (это ортогональные положительно ориентированные системы координат).
    (1) Цилиндрическая система координат : , и , и, значит, , и .
    (2) Сферическая система координат : , и , и, значит, , и .