Алгебра phys 1 апрель–май

Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры

8   Векторные пространства с ¯-билинейной формой

8.1  ¯-Билинейные формы

• Пространство билинейных форм: $\mathrm {Bi} (V)$. Примеры: $(v,w)\mapsto v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w$ ($V=K^n$, $s\in \mathrm {Mat} (n,K)$), $(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg$ ($V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)$, $s\in V$).
• Поля с инволюцией. Пространство ${\overline {V}}$: $c\overline\cdot v=\overline c\,v$. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если $\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K$): ${\overline {\mathrm {Bi} }}(V)=\mathrm {Bi} (V,{\overline {V}},K)$.
• Матрица Грама формы $\sigma$: $(\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\!=\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})$. Обобщенная матрица Грама: $(\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,w_{j_2})$. Теорема о матрице Грама.

  Теорема о матрице Грама. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда
  (1) для любых $v,w\in V$ выполнено $\sigma (v,w)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {w^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {w^{j_{2}}}}$ (координаты вычисляются относительно $e$);
  (2) для любых $m\in \mathbb {N} _{0}$ и $v_1,\ldots,v_m,w_1,\ldots,w_m\in V$ выполнено $\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(w_1,\ldots,w_m)}\!=\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_m^e\bigr)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\bigl(w_1^e\;\ldots\;w_m^e\bigr)}$.

• Изоморфизм вект. пр.-в ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\\sigma &\mapsto \sigma _{e,e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Преобразования при замене базиса: $\sigma _{{\tilde {e}},{\tilde {e}}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}}$ и $\sigma _{{\tilde {j_{1}}},{\tilde {j_{2}}}}\!=\sum _{l_{1}=1}^{n}\sum _{l_{2}=1}^{n}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}{\overline {(e_{\tilde {j_{2}}})^{l_{2}}}}\,\sigma _{l_{1},l_{2}}$.
• Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: ${\overline {\mathrm {SBi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)={\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!={\overline {s}}\}$.
• Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: ${\overline {\mathrm {ABi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)=-{\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {A} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!=-{\overline {s}}\}$.
• Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: $\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\{a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,w)=\varphi (a(v),a(w)){\bigr )}\}$.
• Изоморфизмы между пр.-вами с формой: $\mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))\cap \mathrm {Bij} (V,Y)$ и $(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing$.

8.2  ¯-Квадратичные формы

• Пространство ¯-квадратичных форм: $\overline{\mathrm{Quad}}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Func}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\,\,\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}$. Утверждение: $\kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)$.
• ¯-Квадратичная форма $\kappa$ в коорд.: $\kappa (v)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {v^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {v^{j_{2}}}}$; если $\overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K$, то $\kappa(v)$ — однор. многочлен степени $2$ от $v^{1},\ldots ,v^{n}$.
• Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $V$ — векторное пространство над полем $K$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in \mathrm {Quad} (V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение $\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)$, имеем следующие факты:
  $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — симметричная билинейная форма (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)$), а также $\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)$;
  (2) отображения $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Quad} (V)&\to \mathrm {SBi} (V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\,\mathbb {C}$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to \mathbb {C} \\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)+\mathrm {i} \,\kappa (v+\mathrm {i} \,w)-\kappa (v-w)-\mathrm {i} \,\kappa (v-\mathrm {i} \,w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем
  следующие факты: $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — полуторалинейная форма (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$), а также $\forall\,v\in V\;\bigl(\mathrm{pol}_\kappa(v,v)=\kappa(v)\bigr)$;
  (2) отображения $\biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Quad} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Гиперповерхность второго порядка в пространстве $V$: множество вида $\{v\in V\mid \kappa (v)+2\,\lambda (v)+c=0\}$, где $\kappa \in \mathrm {Quad} (V)\!\setminus \!\{0\}$, $\lambda \in V^{*}$ и $c\in K$.
• Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть $s\in \mathrm {Mat} (n,K)$, $\lambda\in K_n$, $c\in K$ и $v\in K^{n}$; тогда $\,v^\mathtt T\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda\cdot v+c=\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)^{\!\mathtt T}\!\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}s&\lambda^\mathtt T\\\lambda&c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}v\\1\end{smallmatrix}\Bigr)$.

8.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы

• Оператор бемоль (опускание индекса): $\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$. Опускание индекса в координатах: $(\flat_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}$ и $(\flat_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^nv^i\,\sigma_{i,j}$.
• Случай $\dim V<\infty$: ${\bigl (}$$\sigma$ невырождена${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow \;$${\bigl (}$$\flat_\sigma$ — биекция${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow \;$$\mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}$. Ранг формы $\sigma$: $\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma$. Утверждение: $\mathrm {rk} (\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma _{e,e})$.
• Топологическая невырожденность ($K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — нормир. пр.-во, $\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\cap\mathrm C^0\!(V\times V,K)$): $\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ — биекция.
• Пример: $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}$ и $\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n$; тогда $\sigma$ топологич. невырождена (без док.-ва).
• Оператор диез (подъем индекса): $\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}$ ($\sigma$ невырождена). Подъем индекса в коорд. ($\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T$): $(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T$ и $(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j$.
• Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$, $m\in \mathbb {N} _{0}$, $v_1,\ldots,v_m\in V$ и
  $U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle$; тогда $\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!\in\mathrm{GL}(m,K)$, если и только если $(v_1,\ldots,v_m)\in\mathrm{OB}(U)$ и форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена.
• Ортогональные векторы ($\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)$): $v\perp w\,\Leftrightarrow \,\sigma (v,w)=0\,\Leftrightarrow \,\sigma (w,v)=0$. Ортогональное дополнение: $U^{\perp }\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\leq V$.
• Теорема об ортогональном дополнении. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)$ и $U,W\leq V$; тогда
  (1) $U\subseteq U^{\perp\perp}$, $U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp$, $(U+W)^{\perp }\!=U^{\perp }\!\cap W^{\perp }$ и $\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp$;
  (2) если $\dim V<\infty$ и форма $\sigma$ невырождена, то $\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V$, а также $U=U^{\perp \perp }$ и $\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp$;
  (3) $\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp$ и, если $\dim U<\infty$, то ${\bigl (}$форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow\;\,$$U\cap U^{\perp }\!=\{0\}$;
  (4) если форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена, то $V=U\oplus U^{\perp }$ (и, значит, определен ортогональный проектор на $U$: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {proj} _{U}\colon V=U\oplus U^{\perp }\!&\to V\\v=u+u^{\perp }\!&\mapsto u\end{aligned}}\!{\biggr )}$).

8.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм

• Ортогональный базис: $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$$\;\Leftrightarrow \;$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$. Форма $\sigma$ в ортогональн. коорд. ($e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$): $\sigma(v,w)=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,i}\,v^i\overline{w^i}$.
• Ортонормированный базис ($K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$): $e\in \mathrm {OnOB} (V,\sigma )$$\;\Leftrightarrow \;$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональная матрица с $1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0$ на диагонали${\bigr )}$.
• Лемма о неизотропном векторе. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\!\setminus \!\{0\}$;
  тогда существует такой вектор $v\in V$, что $\sigma (v,v)\neq 0$ (то есть существует неизотропный вектор).
• Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.

  Теорема Лагранжа. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$; тогда
  (1) в пространстве $V$ существует ортогональный базис (то есть $\mathrm {OOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$);
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то в пространстве $V$ существует ортонормированный базис (то есть $\mathrm {OnOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$).

  Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)$; тогда
  (1) существует такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диагональная матрица;
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то сущ.-т такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диаг. матрица с $1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0$ на диагонали.

• Лемма об ортогональном проекторе. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, $U\leq V$, $m=\dim U<\infty$, $e\in \mathrm {OB} (U)$,
  форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена и $v\in V$; тогда $\mathrm{proj}_U(v)^e=(\sigma|_{U\times U})^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_m)\end{smallmatrix}\biggr)$ и, если $e\in \mathrm {OOB} (U,\sigma |_{U\times U})$, то $\mathrm{proj}_U(v)=\sum_{j=1}^m\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j$.
• Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, $m\in\mathbb N$, $v_1,\ldots,v_m\in V$,
  $U=\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle$, форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена и $\hat v_m=v_m-\mathrm{proj}_U(v_m)$; тогда $\,\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}\!=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{m-1}),(v_1,\ldots,v_{m-1})}\!\cdot\sigma(\hat v_m,\hat v_m)$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$,
  $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; для любых $i\in \{0,\ldots ,n\}$ обозначим через $V_{i}$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ и обозначим через $cm_i$ $i$-й угловой минор
  матрицы $\sigma _{e,e}$. Пусть для любых $i\in \{1,\ldots ,n-1\}$ форма $\sigma |_{V_{i}\times V_{i}}$ невырождена (это эквивалентно тому, что $cm_i\ne0$); для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$
  обозначим через ${\hat {e}}_{i}$ вектор $e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})$. Тогда для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено $({\hat {e}}_{1},\dots ,{\hat {e}}_{i})\in \mathrm {OOB} (V_{i},\sigma |_{V_{i}\times V_{i}})$ и $\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{cm_i}{cm_{i-1}}$,
  а также $\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}$).
• Ортогонал. системы функций: $\cos(nx)$ и $\sin(nx)$ ($n\in \mathbb {N}$), $\mathrm e^{nx\,\mathrm i}$ ($n\in \mathbb {Z}$), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).

9   Геометрия в векторных пространствах над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$

9.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы

• Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: ${\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)>0{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)=-{\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$.
• Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}>0{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{<0}(n,K)=-{\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)$.
• Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — вект. пр.-во над $K$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$; тогда
  (1) если $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$ и $U\leq V$, то $U\cap U^{\perp }\!=\{0\}$ и, если $\dim U<\infty$, то форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена и $V=U\oplus U^{\perp }$;
  (2) если $n=\dim V<\infty$, то $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$, если и только если $\exists\,e\in\mathrm{OB}(V)\;\bigl(\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n\bigr)$;
  (3) если $n=\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$, то $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$, если и только если $\exists\,g\in\mathrm{GL}(n,K)\;\bigl(\sigma_{e,e}=g^\mathtt T\!\cdot\overline g\bigr)$.
• Критерий Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$;
  для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через $cm_i$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$; тогда
  (1) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$, если и только если $\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(cm_i>0\bigr)$;
  (2) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)$, если и только если $\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,cm_i>0\bigr)$.
• Индексы инерции формы $\sigma$: $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}$ и $\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}$.
• Закон инерции Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$; тогда
  (1) $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|$ не зависит от $e$);
  (2) $\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|$ не зависит от $e$);
  (3) $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)+\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)$.
• Теорема о классификации пространств с формой. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$, $\dim V,\dim Y<\infty$,
  $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $\varphi \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(Y)$; тогда $(V,\sigma )\cong (Y,\varphi )$, если и только если $\dim V=\dim Y$, $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{>0}(\varphi)$ и $\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{<0}(\varphi)$.
• Сигнатура формы $\sigma$: $(\mathrm{ind}_{>0}(\sigma),\mathrm{ind}_{<0}(\sigma))$ (или $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)-\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)$). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).

9.2  Предгильбертовы пространства

• Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: $(\,\mid\,)$. Примеры: $(v\!\mid\!w)=v^\mathtt T\!\cdot\overline w$, $(f\!\mid\!g)=\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g$.
• Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над $\mathbb {R}$. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над $\mathbb {C}$.
• Норма: $\|v\|=\!{\sqrt {(v\!\mid \!v)}}$. Утверждение: $v\neq 0\,\Rightarrow \,\|v\|>0$ и $\|c\,v\|=|c|\,\|v\|$. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: $\ell ^{2}$.
• Теорема о свойствах нормы. Пусть $V$ — предгильбертово пространство; тогда
  (1) для любых $v,w\in V$ выполнено $|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|$ (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
  (2) для любых $v,w\in V$ выполнено $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$ (это неравенство треугольника);
  (3) если $\dim V<\infty$, то для любых $e\in \mathrm {OnOB} (V)$ и $v\in V$ выполнено $v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i$ и $\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2$ (это равенство Парсеваля).
• Метрика: $\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|$. Расст. между подмн.-вами: $\mathrm{dist}(X,Y)=\inf\,\{\mathrm{dist}(x,y)\mid x\in X,\,y\in Y\}$. Теорема о расстояниях и проектировании.

  Теорема о расстояниях и проектировании. Пусть $V$ — предгильбертово пространство и $U,U'\!\le V$; тогда
  (1) для любых $v,v'\!\in V$ выполнено $\mathrm{dist}(v+U,v'+U')=\mathrm{dist}(v-v',U+U')$;
  (2) если $\dim U<\infty$, то для любых $v\in V$ выполнено $\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))$;
  (3) если $\dim V<\infty$, то $\mathrm{proj}_U\!+\mathrm{proj}_{U^\perp}\!\!=\mathrm{id}_V$ и для любых $v\in V$ выполнено $\mathrm{dist}(v,U)=\|\mathrm{proj}_{U^\perp}\!(v)\|$;
  (4) если $\dim U<\infty$, то для любых $e\in \mathrm {OnOB} (U)$ и $v\in V$ выполнено $\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j$ и $\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2$ (это нерав.-во Бесселя).

• Метод наименьших квадратов: замена системы $a\cdot v=y$, где $a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)$, $\mathrm{rk}(a)=n$ и $y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X$, на систему $a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)$.
• Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом ($K=\mathbb {R}$, $v\ne0$, $w\ne0$, $U\ne\{0\}$): $\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}$ и $\angle(v,U)=\arccos\frac{\|\mathrm{proj}_U(v)\|}{\|v\|}$.
• Псевдоевклидово$\,/\,$псевдоунитарное пр.-во сигнатуры $(p,q)$ — кон.-мерн. вект. пр.-во над $\mathbb {R}$$\,/\,$$\mathbb {C}$ с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры $(p,q)$.

9.3  Ориентация, объем, векторное произведение

• Отн.-е одинак. ориентированности ($V$ — кон.-мерн. в. пр. над $\mathbb {R}$, $e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$): $e\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_e^\tilde e\!>0$. Утверждение: $V\ne\{0\}\,\Rightarrow\,|\mathrm{OB}(V)/{\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim}|=2$.
• Ориентация пр.-ва $V$ — выбор эл.-та $\mathrm {OB} _{>0}(V)$ мн.-ва $\mathrm {OB} (V)/{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {or} }{\sim }}$. Знак набора векторов: $\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)$. Теорема о знаке базиса и формах объема.

  Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть $V$ — векторное простр.-во с ориентацией и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда для любых ${\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$ выполнено
  $\mathrm{sign}(\tilde e)\,\mathrm{vol}^\tilde e\!=|\det\mathrm c_e^\tilde e|\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e$, а также множество $\mathrm {VF} _{>0}(V)$, равное $\,\mathbb R_{>0}\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e{}$, не зависит от выбора упорядоченного базиса $e$.

• Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией ($e\in \mathrm {OB} (V)$): $\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e$; если $e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)$, то $\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e$.
• Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: $\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}$. Лемма об объеме и матрице Грама.

  Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть $V$ — псевдоевклидово пространство с ориентацией, $\sigma=(\,\mid\,)$, $n=\dim V$ и $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$; тогда
  (1) $\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_n),(v_1,\ldots,v_n)}|}{}$;
  (2) если векторы $v_{1},\ldots ,v_{n}$ попарно ортогональны, то $\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)\sqrt{|(v_1\!\mid\!v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|(v_n\!\mid\!v_n)|}{}$.

• Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: $|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|$ в $\langle v_1,\ldots,v_m\rangle$, если $v_1,\ldots,v_m$ независимы; иначе $|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0$.
• Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть $V$ — евклидово пространство, $\sigma=(\,\mid\,)$, $m\in \mathbb {N} _{0}$ и $v_1,\ldots,v_m\in V$; тогда
  (1) $|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}}$;
  (2) если $m\ge1$, то $|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|$.
• Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: $v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp\,\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)$ ($\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl((v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)$).
• Векторное произведение в коорд.: $(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\sigma^{i,j_n}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}{}$. Теорема о векторном произведении.

  Теорема о векторном произведении. Пусть $V$ — евклидово пространство с ориентацией, $\sigma=(\,\mid\,)$, $n=\dim V\ge1$ и $v_1,\ldots,v_{n-1}\in V$; тогда
  (1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы $v_1,\ldots,v_{n-1}$ независимы, (у2) $v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0$ и (у3) $(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)$;
  (2) $v_{1}\times \ldots \times v_{n-1}\in \langle v_{1},\ldots ,v_{n-1}\rangle ^{\perp }$ и $\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})$;
  (3) для любых $w_1,\ldots,w_{n-1}\in V{}$ выполнено $(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}{}$;
  (4) если $n=3$, то для любых $u,v,w\in V$ выполнено $(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,$ и $\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0$.

10   Алгебры

10.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами

• $K$-Алгебра — вект. пространство над $K$ с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из $K$.
• Примеры: $\mathrm{Func}(X,K)$, $K[x]$, $K(x)$, $\mathrm {Mat} (n,K)$, $\mathrm {End} (V)$; $\mathbb {R}$-алгебры $\mathbb {C}$, $\mathbb {H}$, $\mathrm {C} ^{0}\!(X,\mathbb {R} )$, $\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)$. Структурн. константы алгебры: $m^i_{j_1,j_2}\!\!=(e_{j_1}e_{j_2})^i{}$.
• Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с $1$. Инъект. гомоморфизмы $\mathbb {R}$-алгебр: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathrm {Mat} (2,\mathbb {R} )\,\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathrm {Mat} (2,\mathbb {C} )\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\gamma +\delta \,\mathrm {i} \\-\gamma +\delta \,\mathrm {i} &\alpha -\beta \,\mathrm {i} \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.

  Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть $K$ — поле и $A$ — ассоциативная $K$-алгебра с $1$; обозначим через ${}_{K}\!A$ векторное пространство
  над полем $K$, получающееся из алгебры $A$ при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
  (1) для любых $a\in A$, обозначая через $\mathrm {lm} _{a}$ отображ.-е ${\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт: $\mathrm {lm} _{a}$ — линейный оператор (то есть $\mathrm{lm}_a\!\in\mathrm{End}({}_K\!A)$);
  (2) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to \mathrm {End} ({}_{K}\!A)\\a&\mapsto \mathrm {lm} _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный гомоморфизм алгебр с $1$.

• Алгебра с делением: $\forall \,a\in A\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\mathrm {lm} _{a},\mathrm {rm} _{a}\!\in \mathrm {Bij} (A){\bigr )}$ и $A\ne\{0\}$. Примеры: $K$, $K(x)$; $\mathbb {R}$-алгебры с делением $\mathbb {C}$, $\mathbb {H}$ и алгебра октонионов (октав) $\mathbb O$.
• Моноидная алгебра ($M$ — моноид): $K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)$; общий вид эл.-та: $\sum_{m\in M}p_mm$ ($|\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty$); умнож.-е в $K[M]$: свертка.
• Алгебра многочленов от свободн. переменных: $K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)]$. Одночлены: $x_{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{j_{k}}$. Степень. Однородные многочлены.
• Алгебра многочленов от комм. перем.: $K[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}]$. Одночлены: $x_{j_1}\!\cdot\ldots\cdot x_{j_k}$ ($j_1\le\ldots\le j_k$). Степень. Однор. многочлены.
• Алгебра многочленов от антикомм. перем.: $K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]=K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]/\bigl(\{x_i\otimes x_j+x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_1\otimes x_1,\ldots,x_n\otimes x_n\}\bigr)$.

10.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)

• $K$-Алгебра Ли — $K$-алгебра, умножение в которой антисимметрично ($[a,a]=0$) и удовлетв.-т тождеству Якоби ($[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0$).
• Коммутатор эл.-тов ассоциативной алгебры: $[a,b]=a\,b-b\,a$. Алгебра $A^{(-)}{}$: вект. простр.-во ${}_{K}\!A$ с операцией $[\,,]$. Утверждение: $A^{(-)}{}$ — алгебра Ли.
• Примеры: $\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^{(-)}{}$, ${\mathfrak {sl}}(V)=\{a\in {\mathfrak {gl}}(V)\mid \mathrm {tr} \,a=0\}$, трехмерн. евклид. пр.-во с ориент. относ.-но $\times{}$, $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ — подалгебра алгебры Ли $\mathbb H^{(-)}{}$.
• Матричные алгебры Ли: $\mathfrak{gl}(n,K)$, $\mathfrak{sl}(n,K)$, $\mathfrak o(n)=\mathfrak{so}(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!=-a\}$, $\mathfrak u(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!=-\overline a\}{}$, $\mathfrak{su}(n)=\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)\cap\mathfrak u(n)$.
• Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть $\alpha\in[-\infty;0){}$, $\beta\in(0;\infty]{}$, $n\in \mathbb {N} _{0}$, $\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)){}$ и $\gamma(0)=\mathrm{id}_n{}$; тогда
  (1) если $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R){}$, то $\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R){}$, и, если $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C){}$, то $\dot\gamma(0)\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C){}$;
  (2) если $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n){}$, то $\dot\gamma(0)\in\mathfrak{so}(n){}$, а также, если $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n){}$, то $\dot\gamma(0)\in\mathfrak u(n){}$, и, если $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n){}$, то $\dot\gamma(0)\in\mathfrak{su}(n){}$.
• Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы $\mathbb {R}$-алгебр Ли: $\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{so}(3)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto\!\biggl(\begin{smallmatrix}0&-\delta&\gamma\\\delta&0&-\beta\\-\gamma&\beta&0\end{smallmatrix}\biggr)\end{align}\!\Biggr)$, $\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}(\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)\end{align}\!\Biggr)$ и $\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{su}(2)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}\Bigl(\begin{smallmatrix}\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)$.

  Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть $K$ — поле и ${\mathfrak {g}}$ — $K$-алгебра Ли; обозначим через ${}_{K}{\mathfrak {g}}$ векторное пространство над полем $K$, получающееся
  из алгебры ${\mathfrak {g}}$ при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
  (1) для любых $a\in {\mathfrak {g}}$, обозначая через $\mathrm {ad} _{a}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathfrak {g}}&\to {\mathfrak {g}}\\b&\mapsto [a,b]\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт: $\mathrm {ad} _{a}$ — линейный оператор (то есть $\mathrm{ad}_a\!\in\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)$);
  (2) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathfrak {g}}&\to {\mathfrak {gl}}({}_{K}{\mathfrak {g}})\\a&\mapsto \mathrm {ad} _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм алгебр Ли.

• Алгебра дифференцирований $K$-алгебры $A$: $\mathrm {Der} (A)=\{d\in {\mathfrak {gl}}({}_{K}\!A)\mid \forall \,a,b\in A\;{\bigl (}d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b){\bigr )}\}$ — подалгебра алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}({}_{K}\!A)$.
• Пример: пусть $M$ — открытое множество в $\mathbb {R} ^{n}$ и $v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)$; тогда $\Biggl(\begin{align}\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)&\to\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)\\f&\mapsto\sum_{i=1}^nv^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\end{align}\Biggr)$ — дифференцирование алгебры $\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)$.