Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь

Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры

In the 20th century, the subject came to be known as tensor analysis, and achieved broader acceptance with the introduction of Einstein's theory of general relativity, around 1915. General relativity is formulated completely in the language of tensors. Einstein had learned about them, with great difficulty, from the geometer Marcel Grossmann. Tullio Levi-Civita then initiated a correspondence with Einstein to correct mistakes Einstein had made in his use of tensor analysis. The correspondence lasted 1915–1917, and was characterized by mutual respect: "I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot" (from Einstein's letter to Levi-Civita). Статья «Tensor» в англоязычной Википедии

14   Тензорные произведения векторных пространств

14.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами

• Тензорное произведение пространств: $V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}={\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}_{0}$, где ${\mathcal {F}}=\mathrm {FinFunc} (V_{1}\times \ldots \times V_{k},K)$ и ${\mathcal {F}}_{0}$ — подпространство полилинеаризации.
• Разложимый тензор: $v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}=(v_{1},\ldots ,v_{k})+{\mathcal {F}}_{0}$. Ранг тензора $T$: $\mathrm {rk} (T)$ — минимум среди всех таких $m$, что $T$ равен сумме $m$ разл. тензоров.
• Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $V_{1},\ldots ,V_{k}$ — векторные простр.-ва над полем $K$; тогда
  $V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\bigl\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\bigr\rangle$ и отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V_{1}\times \ldots \times V_{k}&\to V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}\\(v_{1},\ldots ,v_{k})&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — полилинейный оператор.
• Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $V_{1},\ldots ,V_{k},Y$ — вект. простр.-ва над полем $K$; тогда для любых
  $\omega \in \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)$ существ. единств. такой $a\in \mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)$, что $\forall\,v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\;\bigl(a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)$
  (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)&\to \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)\\a&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto a(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств).
• Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$, $V_{1},\ldots ,V_{k}$ — векторные пространства над полем $K$ и $B_{1},\ldots ,B_{k}$ — базисы
  пространств $V_{1},\ldots ,V_{k}$ соответственно; тогда все тензоры $b_{1}\otimes \ldots \otimes b_{k}$, где $b_{1}\in B_{1},\ldots ,b_{k}\in B_{k}$, попарно различны и вместе образуют базис
  пространства $V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}$, а также, если $\dim V_{1},\ldots ,\dim V_{k}<\infty$, то $\dim(V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k})=\dim V_{1}\cdot \ldots \cdot \dim V_{k}$.
• Тензорное произв.-е тензоров: $T\otimes T'$. Тензорное произв.-е линейных операторов ($a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$, $b\in\mathrm{Hom}(W,Z)$): $(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)$.
• Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть $K$ — поле и $U,V,W$ — векторные пространства над полем $K$; тогда $V\otimes K\cong K\otimes V\cong V$,
  $(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W$ и $V\otimes W\cong W\otimes V$.
• Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть $K$ — поле и $V,W,Y$ — векторные пространства над полем $K$; тогда
  (1) ${\biggl (}\!{\begin{aligned}Y\otimes V^{*}\!&\to \mathrm {Hom} (V,Y)\\y\otimes \lambda &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \lambda (v)\,y{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный линейный оператор и, если $\dim V,\dim Y<\infty$, то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
  (2) ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes W^{*}\!&\to (V\otimes W)^{*}\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}v\otimes w\mapsto \lambda (v)\,\mu (w){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъект. лин. оператор и, если $\dim V,\dim W<\infty$, то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.

14.2  Тензоры типа $(p,q)$ и тензорная алгебра

• Пространство тензоров типа $(p,q)$ над $V$: ${\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V=V^{\otimes p}\!\otimes (V^{*})^{\otimes q}$. Примеры: ${\mathcal {T}}_{\,\,0}^{0}V=K$, ${\mathcal {T}}^{1}V=V$, ${\mathcal {T}}_{\,1}V=V^{*}$, ${\mathcal {T}}_{\,\,1}^{1}V\cong \mathrm {End} (V)$, ${\mathcal {T}}_{\,2}V\cong \mathrm {Bi} (V)$.
• Примеры: ${\mathcal {T}}_{\,\,2}^{1}V\cong \mathrm {Bi} (V,V,V)$ — простр.-во структур алгебры на $V$, ${\mathcal {T}}_{\,\,1}^{2}V\cong \mathrm {Hom} (V,V\otimes V)$ — простр.-во структур коалгебры на $V$, $\mathcal T_{\,q}V=\mathcal T^qV^*$.
• Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $p,q\in\mathbb N_0$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) $\biggl(\!\begin{align}\mathcal T_{\,q}V&\to\mathrm{Multi}_qV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_q)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(v_q)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизм векторных пространств;
  (2) $\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V,\ldots,V}^q,V^{\otimes p})\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((w_1,\ldots,w_q)\mapsto\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_p\bigr)\end{align}\!\Biggr)$ — изоморфизм векторных пространств;
  (3) $\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V^*,\ldots,V^*}^p,\overbrace{V,\ldots,V}^q,K)\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((\mu_1,\ldots,\mu_p,w_1,\ldots,w_q)\mapsto\mu_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\mu_p(v_p)\,\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\bigr)\end{align}\!\Biggr)$ — изоморфизм вект. простр.-в.
• Тензор типа $(p,q)$ в координатах: $T=\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\,e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\!\otimes e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_q}$. Примеры: $v=\sum_{i=1}^nv^i\,e_i$, $\lambda=\sum_{j=1}^n\lambda_j\,e^j$, $a=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!a^i_j\;e_i\otimes e^j$.
• Примеры: $\sigma=\!\!\sum_{1\le j_1,j_2\le n}\!\!\sigma_{j_1,j_2}\,e^{j_1}\!\otimes e^{j_2}$ — метрический тензор, $\mathrm{vol}^e\!=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_n}$ — форма объема, связанная с упоряд. базисом $e$.
• Преобразование при замене базиса: $T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!(e_{k_1})^\tilde{i_1}\!\ldots(e_{k_p})^\tilde{i_p}(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_q})^{l_q}\;T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}$. Примеры: $v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}$, $\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}$.
• Тензорная алгебра над $V$: ${\mathcal {T}}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathcal {T}}^{k}V$ — ассоциативная $K$-алгебра с $1$ (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ${\mathcal {T}}^{k}V\otimes {\mathcal {T}}^{k'}\!V\cong {\mathcal {T}}^{k+k'}\!V$).
• Теорема о тензорной алгебре. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда множество
  $\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\}$ — базис алгебры $\,{\mathcal {T}}(V)$, и для любых его элементов $e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}$ и $\,e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!$ выполнено
  $(e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!$, а также $\,\mathcal T(V)\cong K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]$ — алгебра многочленов от своб. перем.-х.

14.3  Операции над тензорами

• Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: $\bigl(T\otimes T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q\;\;\;\;\;\;\;j_1',\ldots,j_{q'}'}\!\!=T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\!j_1',\ldots,j_{q'}'}\!$. Кронекерово пр.-е матриц.
• Перестановка компонент: $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{pat}_u\colon\mathcal T^kV&\to\mathcal T^kV\\v_1\otimes\ldots\otimes v_k&\mapsto v_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes v_{u^{-1}(k)}\end{align}\!\biggr)$. Действие $\mathrm{pat}$ группы $\mathrm {S} _{k}$. Перест.-ка в коорд.-х: $\bigl(\mathrm{pat}_u(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}$.
• Свертка по $b$-й и $d$-й позициям: $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{tr}^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p-1}_{\;q-1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\lambda_d(v_b)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)$.
• Свертка по $b$-й и $d$-й позициям в координатах: $\bigl(\mathrm{tr}^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{h=1}^nT^{i_1,\ldots,i_{b-1},h,i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},h,j_{d+1},\ldots,j_q}$. Теорема о свертках тензоров малой валентности.

  Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) для любых $v\in V$, $\lambda \in V^{*}$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $\lambda(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\lambda)$, $\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}^1_1(a)$, $a(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes a)$ и $\lambda\circ a=\mathrm{tr}^1_2(a\otimes\lambda)$;
  (2) для любых $v,w\in V$ и $\sigma \in \mathrm {Bi} (V)$ выполнено $\sigma(v,w)=\mathrm{tr}^1_1(\mathrm{tr}^1_1(v\otimes w\otimes\sigma))$ и $\flat_\sigma v=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\sigma)$.

• Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in \mathrm {Bi} (V)$ и форма $\sigma$ невырождена; тогда
  (1) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ выполнено $(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)=\!\!\sum_{1\le i_1,i_2\le n}\!\!\sigma^{i_1,i_2}\,e_{i_1}\!\otimes e_{i_2}$ (тензор $(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)$ — обратный тензор по отношению к тензору $\sigma$);
  (2) под действием канонического изоморфизма $\biggl(\!\begin{align}V\otimes V&\to\mathrm{Bi}(V^*)\\v\otimes w&\mapsto\bigl((\lambda,\mu)\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ тензор $(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)$ переходит в форму $(\lambda,\mu)\mapsto\sigma(\sharp^\sigma\lambda,\sharp^\sigma\mu)$;
  (3) для любых $\lambda \in V^{*}$ выполнено $\sharp^\sigma\lambda=\mathrm{tr}^2_1((\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)\otimes\lambda)$.
• Опускание индекса с $b$-й позиции: $(\mathrm{id}_V)^{\otimes(b-1)}\!\otimes\flat_\sigma\!\otimes(\mathrm{id}_V)^{\otimes(p-b)}\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes q}$. Подъем индекса с $d$-й поз.-и: $(\mathrm{id}_V)^{\otimes p}\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes(d-1)}\!\otimes\sharp^\sigma\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes(q-d)}$.
• Опускание индекса с $b$-й позиции в коорд. (применение операции выражается в располож.-и индексов): $T^{i_1,\ldots,i_{b-1}\,\,i_{b+1},\ldots,i_p}_{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,j\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q}\!=\sum_{i_b=1}^nT^{i_1,\ldots,i_b,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\sigma_{i_b,j}$.
• Подъем индекса с $d$-й позиции в коорд. (применение операции выражается в расположении индексов): $T^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,i}_{\;\;\;\;\;\;\;\;\,j_1,\ldots,j_{d-1}\,\,j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{j_d=1}^n\sigma^{i,j_d}\,T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_d,\ldots,j_q}\!$.

15   Симметрические и внешние степени векторных пространств

15.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами

• Симметрическая степень: $\mathsf S^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=T\bigr)\}$. Внешняя степень: $\mathsf\Lambda^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=\mathrm{sgn}(u)\,T\bigr)\}$.
• Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — вект. пр.-во над $K$,
  $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $\dim V<\infty$; обозначим через $\iota$ канонический изоморфизм $\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$; тогда
  (1) $\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\iota\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{paf}_u\!\circ\iota\bigr)$ (напоминание: $\mathrm{pat}_u(\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k)=\lambda_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_{u^{-1}(k)}$ и $(\mathrm{paf}_u(\omega))(v_1,\ldots,v_k)=\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})$);
  (2) $\iota ({\mathsf {S}}^{k}V^{*})=\mathrm {SMulti} _{k}V$ и $\,\mathsf S^kV^*\!\cong\mathrm{SMulti}_kV$ (далее пространства $\,\mathsf S^kV^*$ и $\,\mathrm{SMulti}_kV$ отождествляются);
  (3) $\iota ({\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*})=\mathrm {AMulti} _{k}V$ и $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*}\!\cong \mathrm {AMulti} _{k}V$ (далее пространства $\,\mathsf\Lambda^kV^*$ и $\,\mathrm{AMulti}_kV$ отождествляются).
• Оператор симметризации: $\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{pat}_u$. Оператор альтернирования: $\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{pat}_u$. Лемма о симметризации и альтернировании.

  Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) для любых $u\in \mathrm {S} _{k}$ выполнено $\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sym}_k$ и $\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{alt}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k$;
  (2) для любых $T\in {\mathsf {S}}^{k}V$ выполнено $\mathrm {sym} _{k}(T)=T$ и для любых $T\in {\mathsf {\Lambda }}^{k}V$ выполнено $\mathrm {alt} _{k}(T)=T$;
  (3) $\mathrm {Im} \,\mathrm {sym} _{k}={\mathsf {S}}^{k}V$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {alt} _{k}={\mathsf {\Lambda }}^{k}V$, а также $\mathrm {sym} _{k}^{2}=\mathrm {sym} _{k}$ и $\mathrm {alt} _{k}^{2}=\mathrm {alt} _{k}$ (и, значит, $\mathrm {sym} _{k}$ — проектор на $\,{\mathsf {S}}^{k}V$ и $\mathrm {alt} _{k}$ — проектор на $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$).

• Симметрич. и внешнее произв.-е векторов: $v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}=\mathrm {sym} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})$ и $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}=k!\,\mathrm {alt} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})$. Пример: $\mathrm{vol}^e\!=e^1\wedge\ldots\wedge e^n$.
• Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — вект. пр. над $K$ и $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) $\mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle$ и отображение $\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)$ — симметричный полилинейный оператор;
  (2) $\mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle$ и отображение $\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)$ — антисимметричный полилинейный оператор.
• Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V,Y$ — вект. пр.-ва над $K$ и $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) для любых $\omega\in\mathrm{SMulti}_k(V,Y)$ существует единственный такой $a\in\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)$, что $\forall\,v_1,\ldots,v_k\in V\;\bigl(a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)$;
  (2) для любых $\omega\in\mathrm{AMulti}_k(V,Y)$ существует единственный такой $a\in\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)$, что $\forall\,v_1,\ldots,v_k\in V\;\bigl(a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)$.
• Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $k\in \mathbb {N} _{0}$,
  $n=\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда
  (1) все тензоры $e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}$, где $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства $\,{\mathsf {S}}^{k}V$;
  (2) все тензоры $e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}$, где $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i_{1}<\ldots <i_{k}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$;
  (3) $\dim {\mathsf {S}}^{k}V={\biggl (}\!\!{\binom {n}{k}}\!\!{\biggr )}={\binom {n+k-1}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}$ и $\,\dim {\mathsf {\Lambda }}^{k}V={\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$.
• Симметрич. и внешняя степени лин. оператора ($a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$): $a^{\cdot k}(v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k})=a(v_{1})\cdot \ldots \cdot a(v_{k})$ и $a^{\wedge k}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k})=a(v_{1})\wedge \ldots \wedge a(v_{k})$.

15.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра

• Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров ($T\in {\mathcal {T}}^{k}V$, $T'\!\in {\mathcal {T}}^{k'}\!V$): $T\cdot T'=\mathrm {sym} _{k+k'}(T\otimes T')$ и $T\wedge T'={\frac {(k+k')!}{k!\,k'!}}\,\mathrm {alt} _{k+k'}(T\otimes T')$.
• Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: $T^{(i_1,\ldots,i_k)}\!=\bigl(\mathrm{sym}_k(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}$ и $T^{[i_1,\ldots,i_k]}\!=\bigl(\mathrm{alt}_k(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}$.
• Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: $\bigl(T\cdot T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}\!=T\!\phantom'^{(i_1,\ldots,i_k}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{k'}')}$ и $\bigl(T\wedge T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}\!=\frac{(k+k')!}{k!\,k'!}\,T\!\phantom'^{[i_1,\ldots,i_k}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{k'}']}$.
• Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное простр.-во над полем $K$,
  $k,k',k''\!\in \mathbb {N} _{0}$, $v_{1},\ldots ,v_{k},v_{1}',\ldots ,v_{k'}'\!\in V$ и $T\in {\mathcal {T}}^{k}V$, $T'\!\in {\mathcal {T}}^{k'}\!V$, $T''\!\in {\mathcal {T}}^{k''}\!V$; тогда
  (1) $(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})\cdot (v_{1}'\otimes \ldots \otimes v_{k'}')=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}\cdot v_{1}'\cdot \ldots \cdot v_{k'}'$ и $(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})\wedge (v_{1}'\otimes \ldots \otimes v_{k'}')={\frac {1}{k!\,k'!}}\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\wedge v_{1}'\wedge \ldots \wedge v_{k'}'$;
  (2) $\mathrm {sym} _{k}(T)\cdot T'=T\cdot \mathrm {sym} _{k'}(T')=T\cdot T'$ и $\mathrm {alt} _{k}(T)\wedge T'=T\wedge \mathrm {alt} _{k'}(T')=T\wedge T'$;
  (3) $(T\cdot T')\cdot T''=T\cdot (T'\cdot T'')=\mathrm {sym} _{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')$ и $(T\wedge T')\wedge T''=T\wedge (T'\wedge T'')={\frac {(k+k'+k'')!}{k!\,k'!\,k''!}}\,\mathrm {alt} _{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')$;
  (4) $(\ldots (v_{1}\cdot v_{2})\cdot \ldots \cdot v_{k-1})\cdot v_{k}=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}$ и $(\ldots (v_{1}\wedge v_{2})\wedge \ldots \wedge v_{k-1})\wedge v_{k}=v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$;
  (5) $T\cdot T'=T'\cdot T$ и $T\wedge T'=(-1)^{kk'}T'\wedge T$.
• Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над $V$: ${\mathsf {S}}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathsf {S}}^{k}V$ — ассоциативная коммутативная $K$-алгебра с $1$.
• Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над $V$: ${\mathsf {\Lambda }}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$ — ассоциативная суперкоммутативная $K$-алгебра с $1$.
• Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $n=\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда
  (1) $\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}$ — базис алгебры $\,{\mathsf {S}}(V)$, и для любых его элементов $e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}$ и $\,e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}$
  выполнено $(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!$, где числа ${\hat {i}}_{1},\ldots ,{\hat {i}}_{k+k'}$ суть числа $i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'$, упорядоченные по неубыванию;
  (2) $\bigcup_{k=0}^n\,\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}$ — базис алгебры $\,{\mathsf {\Lambda }}(V)$, и для любых его элементов $e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}$ и $\,e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}$
  выполнено $(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!$, где ${\hat {i}}_{1},\ldots ,{\hat {i}}_{k+k'}$ суть $i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'$, упоряд. по неубыванию;
  (3) $\mathsf S(V)\cong K[x_1,\ldots,x_n]$ — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, и $\,\mathsf\Lambda(V)\cong K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]$ — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х.

15.3  Операции над внешними формами

• Теорема о внешнем произведении антисимметричных полилинейных форм. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$,
  $k,k'\!\in \mathbb {N} _{0}$, $\omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V$ и $\omega'\!\in\mathrm{AMulti}_{k'}V$; тогда
  (1) если $n=\dim V<\infty$, то для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ выполнено $\omega=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}\!=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}$;
  (2) для любых $w_1,\ldots,w_{k+k'}\!\in V$ выполнено $(\omega\wedge\omega')(w_1,\ldots,w_{k+k'})=\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le k+k',\,1\le j_1'<\ldots<j_{k'}'\le k+k'}\!\!\!\!\!\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,j_1',\ldots,j_{k'}'}\omega(w_{j_1},\ldots,w_{j_k})\,\omega'(w_{j_1'},\ldots,w_{j_{k'}'})$.
• Внутреннее произведение с вектором $v$: $\biggl(\!\begin{align}\iota_v\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{k-1}V\\\omega&\mapsto\bigl((v_2,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v,v_2,\ldots,v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$.
• Векторное произведение в коорд.-х: $(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_{n-1}\le n}\!\!\!\varepsilon^{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i}_{j_1,\ldots,j_{n-1}}\,v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}$.
• Оператор Ходжа в псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией: $\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\lambda_1\wedge\ldots\wedge\lambda_k&\mapsto\bigl((v_{k+1},\ldots,v_n)\mapsto\mathrm{vol}(\sharp\,\lambda_1,\ldots,\sharp\,\lambda_k,v_{k+1},\ldots,v_n)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$. Пример: $*\,1=\mathrm{vol}\,$.
• Пример: $\sharp*(\flat\,v_1\wedge\ldots\wedge\flat\,v_{n-1})=v_1\times\ldots\times v_{n-1}$. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.

  Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть $V$ — псевдоевклид. пр.-во с ориент., $\sigma=(\,\mid\,)$, $n=\dim V$, $k\in \{0,\ldots ,n\}$ и $\omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V$; тогда
  (1) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $j_{k+1},\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}$ выполнено $(*\,\omega)_{j_{k+1},\ldots,j_n}\!=\frac1{k!}\,\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le i_1,\ldots,i_k\le n}\!\!\!\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,j_{k+1},\ldots,j_n}\omega^{i_1,\ldots,i_k}$;
  (2) для любых $e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)$ и $j_{1},\ldots ,j_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено $*\,(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=(e_{j_1}\!\!\mid\!e_{j_1})\cdot\ldots\cdot(e_{j_k}\!\!\mid\!e_{j_k})\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}e^{j_{k+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_n}$, где
  $j_{k+1},\ldots,j_n$ образуют дополнительный набор к $j_1,\ldots,j_k$ (то есть $\{j_1,\ldots,j_n\}=\{1,\ldots,n\}$ и $j_{k+1}\!<\ldots<j_n$); в частности, $*\,\mathrm{vol}=(-1)^{\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)}$.

  Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. Пусть $V$ — псевдоевкл. пр.-во с ориент., $q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))$, $n=\dim V$ и $k\in \{0,\ldots ,n\}$; тогда
  (1) для любых $\omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V$ выполнено $*\!*\omega=(-1)^{k(n-k)+q}\,\omega$ (и, значит, $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\omega&\mapsto*\,\omega\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизм векторных пространств);
  (2) для любых $\psi,\omega\in\mathrm{AMulti}_kV$ выполнено $\psi\wedge*\,\omega=(\psi\!\mid\!\omega)\,\mathrm{vol}$, где $(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\,\psi(\sharp^{\wedge k}\omega)$ (в координатах $(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\psi_{j_1,\ldots,j_k}\omega^{j_1,\ldots,j_k}$);
  (3) для любых $v,w\in V$ выполнено $*\,(\flat\,v\wedge*\,\flat\,w)=(-1)^q\,(v\!\mid\!w)$;
  (4) если $n=3$, то для любых $u,v,w\in V$ выполнено $(u\times v)\times w=(-1)^q\,((u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u)$.

16   Многообразия (часть 2)

16.1  Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля

• Касательное и кокасательное расслоения: $\mathrm {T} M=\!\bigsqcup _{m\in M}\!\mathrm {T} _{m}M$ и $\mathrm {T} ^{*}M=\!\bigsqcup _{m\in M}\!\mathrm {T} _{m}^{*}M$. Структура многообр.-я на $\mathrm TM$ и $\mathrm T^*M$; отобр.-е проекции на $M$: $\mathrm {pr} _{M}$.
• Пр.-ва векторн. полей и ковект. полей ($1$-форм): $\mathrm {Vect} (M)=\{v\in \mathrm {C} ^{\infty }\!(M,\mathrm {T} M)\mid \mathrm {pr} _{M}\!\circ v=\mathrm {id} _{M}\}$ и $\Omega^1(M)=\{\lambda\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\lambda=\mathrm{id}_M\}$.
• Умножение вект. полей и $1$-форм на функции. Действие $1$-форм на вект. поля. Локальные вект. поля $\frac\partial{\partial x^i}$ и $1$-формы $\mathrm dx^j$. Утверждение: $\mathrm df=\sum_{j=1}^n\partial_jf\;\mathrm dx^j$.
• Векторные поля и $1$-формы в коорд.: $v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ и $\lambda =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}\,\mathrm {d} x^{j}$. Преобраз.-я при замене коорд.: $v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}\!\circ\xi\Bigr)\,v^k$ и $\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\lambda_l$.
• Расслоение тензоров типа $(p,q)$: ${\mathcal {T}}_{\;q}^{p}\mathrm {T} M=\!\bigsqcup _{m\in M}\!{\mathcal {T}}_{\;q}^{p}(\mathrm {T} _{m}M)$. Пр.-во тензорн. полей типа $(p,q)$: $\mathrm {Tens} _{q}^{p}(M)=\{T\in \mathrm {C} ^{\infty }\!(M,{\mathcal {T}}_{\;q}^{p}\mathrm {T} M)\mid \mathrm {pr} _{M}\!\circ T=\mathrm {id} _{M}\}$.
• В коорд.: $T=\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\frac\partial{\partial x^{i_1}}\!\otimes\ldots\otimes\!\frac\partial{\partial x^{i_p}}\!\otimes\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_q}$. Пример: $\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}$ — поле форм от $k$ перем.-х.
• Преобр.-е координат тензорного поля при замене координат на $M$: $T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_1}}{\partial x^{k_1}}\!\circ\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_p}}{\partial x^{k_p}}\!\circ\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^{l_1}}{\partial x^\tilde{j_1}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^{l_q}}{\partial x^\tilde{j_q}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}\!$.
• Производная Ли: $\mathcal L_vf=\mathrm df(v)$. Коммутатор вект. полей: $\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\mathcal L_{[v,w]}=[\mathcal L_v,\mathcal L_w]\bigr)$. Единственность коммутатора. Теорема о коммутаторе.

  Теорема о коммутаторе. Пусть $M$ — многообразие и $n=\dim M$; тогда
  (1) для любых $v,w\in \mathrm {Vect} (M)$, определяя в координатах векторное поле $[v,w]$ на $M$ по формуле $[v,w]=\!\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!\bigl(v^j\,\partial_jw^i-w^j\,\partial_jv^i\bigr)\frac\partial{\partial x^i}$, имеем
  следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция $[\,,]$ удовлетворяет определению коммутатора;
  (2) $\mathrm {Vect} (M)$ — алгебра Ли относительно операции $[\,,]$, и отображение $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm C^\infty\!(M))\\v&\mapsto\mathcal L_v\end{align}\!\biggr)$ — инъективный гомоморфизм алгебр Ли.

16.2  Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)

• Метрический тензор сигнатуры $(p,q)$: $g\in\mathrm{Tens}_2(M)$ и для любых $m\in M$ выполнено $g(m)$ — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры $(p,q)$ на $\mathrm {T} _{m}M$.
• Риманово многообразие — многообразие с полож. определ. метрическим тензором. Примеры: $\mathbb {R} ^{n}$, подмногообразия в $\mathbb {R} ^{n}$, пространство Лобачевского $\mathrm H^n$.
• Псевдориманово многообр. сигнат. $(p,q)$ — многообр. с метрич. тензором сигнат. $(p,q)$. Бемоль: $(\flat\,v)(m)=\flat_{g(m)}(v(m))$. Диез: $(\sharp\,\lambda)(m)=\sharp^{g(m)}(\lambda(m))$.
• Градиент функции: $\mathrm{grad}\,f=\sharp\,\mathrm df$. В координ.: $(\mathrm{grad}\,f)^i=\sum_{j=1}^ng^{i,j}\,\partial_jf=\partial^if$. Длина кривой ($\forall\,\tau\in(\alpha;\beta)\;\bigl(g(\dot\gamma(\tau),\dot\gamma(\tau))\ge0\bigr)$): $\int_\alpha^\beta\!\!\!\sqrt{g(\dot\gamma(\tau),\dot\gamma(\tau))}\,\mathrm d\tau$.
• Ковариантная произв. вект. полей: $\nabla\in\mathrm{Bi}(\mathrm{Vect}(M),\mathrm{Vect}(M))$ и $\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M),\,f\in\mathrm C^\infty\!(M)\;\bigl(\nabla_{fv}w=f\,\nabla_vw\,\land\,\nabla_v(fw)=(\mathcal L_vf)\,w+f\,\nabla_vw\bigr)$.
• Теорема о ковариантной производной. Пусть $M$ — многообразие, $n=\dim M$ и с каждой системой координат из атласа на $M$ связаны функции $\Gamma^i_{j,k}$,
  где $i,j,k\in\{1,\ldots,n\}$, на $M$, преобразующиеся при замене координат по формуле $\Gamma^\tilde i_{\tilde j,\tilde k}=\!\!\!\sum_{1\le r,s,t\le n}\!\!\Bigl(\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^r}\!\circ\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^s}{\partial x^\tilde j}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^t}{\partial x^\tilde k}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\Gamma^r_{s,t}+\sum_{r=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^r}\!\circ\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial^2x^r}{\partial x^\tilde j\partial x^\tilde k}\!\circ\tilde\xi\Bigr)$;
  тогда для любых $v,w\in \mathrm {Vect} (M)$, определяя в координатах векторное поле $\nabla_vw$ на $M$ по формуле $\nabla_vw=\!\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!\bigl(v^j\,\partial_jw^i+\sum_{k=1}^n\Gamma^i_{j,k}v^jw^k\bigr)\frac\partial{\partial x^i}$,
  имеем следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция $\nabla$ удовлетворяет определению ковариантной производной.
• Символы Кристоффеля: $\Gamma^i_{j,k}=\frac12\sum_{l=1}^ng^{i,l}\bigl(\partial_jg_{k,l}+\partial_kg_{j,l}-\partial_lg_{j,k}\bigr)$. Теорема о ковариантной производной на псевдоримановом многообразии.
• Условие на экстремальную кривую функционала длины (с параметризацией длиной дуги): $\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\ddot\gamma^i+\!\!\!\sum_{1\le j,k\le n}\!\!\bigl(\Gamma^i_{j,k}\!\circ\gamma\bigr)\,\dot\gamma^j\dot\gamma^k=0\Bigr)$.

16.3  Дифференциальные операции на многообразиях

• Пр.-во дифференц. $k$-форм: $\Omega^k(M)=\{\omega\in\mathrm{Tens}_k(M)\mid\forall\,m\in M\;\bigl(\omega(m)\in\mathrm{AMulti}_k(\mathrm T_mM)\bigr)\}$. В коорд.: $\omega=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}$.
• Алгебра дифференциальных форм: $\Omega(M)=\bigoplus_{k=0}^n\Omega^k(M)$ — ассоциат. суперкоммут. $\mathbb {R}$-алгебра с $1$. Теорема о внешнем дифференциале (эскиз доказ.-ва).

  Теорема о внешнем дифференциале. Пусть $M$ — многообразие; тогда существует единственный такой линейный оператор $\mathrm d\in\mathrm{End}(\Omega(M))$, что
  $\forall\,k,k'\!\in\mathbb N_0,\,\omega\in\Omega^k(M),\,\omega'\!\in\Omega^{k'}\!(M)\;\bigl(\mathrm d(\omega\wedge\omega')=\mathrm d\omega\wedge\omega'+(-1)^k\,\omega\wedge\mathrm d\omega'\bigr)$ (то есть $\mathrm {d}$ — супердифференцирование алгебры $\,\Omega(M)$), а также
  для любых $f\in\mathrm C^\infty\!(M)$ выполнено $\mathrm d(f)=\mathrm df$ и $\mathrm d(\mathrm df)=0$ (напоминание: $\forall\,m\in M,\,\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)\;\bigl((\mathrm df(m))(\dot\gamma(0))=(f\circ\gamma)\!\dot{\phantom i}\!(0)\bigr)$).

• Дифференциал в коорд.-х: $\mathrm d(f\,\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k})=\mathrm df\wedge\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}$. Утверждение: $\mathrm d^2=0$. Замкнутая форма: $\mathrm d\omega=0$. Точная форма: $\omega=\mathrm d\psi$.
• Ориентация многообразия $M$ — такой выбор ориентаций всех пространств $\mathrm {T} _{m}M$, где $m\in M$, что $\exists\,\omega\in\Omega^n(M)\;\forall\,m\in M\;\bigl(\omega(m)\in\mathrm{VF}_{>0}(\mathrm T_mM)\bigr)$.
• Атлас $\mathcal A_{>0}$: $\xi\in\mathcal A_{>0}\,\Leftrightarrow\;\forall\,m\in\mathrm{Dom}\,\xi\,\,\bigl(\Bigl(\frac\partial{\partial x^1}(m),\ldots,\frac\partial{\partial x^n}(m)\Bigr)\!\in\mathrm{OB}_{>0}(\mathrm T_mM)\bigr)$; тогда $\forall\,\xi,\tilde\xi\in\mathcal A_{>0},\,m\in\mathrm{Dom}\,\xi\cap\mathrm{Dom}\,\tilde\xi\;\bigl(\det\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)>0\bigr)$.
• Канонич. форма объема на псевдориман. многообр.-и с ориентацией. Оператор Ходжа на псевдориман. многообр.-и с ориентацией: $(*\,\omega)(m)=*\,(\omega(m))$.
• Ротор и дивергенция векторного поля: $\mathrm{rot}\,v=\sharp\,{*}\,\mathrm d\,\flat\,v$ и $\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,\flat\,v$. Лапласиан функции: $\Delta f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,f)=*\,\mathrm d\,{*}\,\mathrm df$.
• Тензор Римана (кривизны): $\mathrm R^i_{j,k,l}=\partial_k\Gamma^i_{j,l}-\partial_l\Gamma^i_{j,k}+\sum_{t=1}^n\bigl(\Gamma^i_{k,t}\Gamma^t_{j,l}-\Gamma^i_{l,t}\Gamma^t_{j,k}\bigr)$. Тензор Риччи: $\mathrm R_{i,j}=\sum_{t=1}^n\mathrm R^t_{i,t,j}$. Скалярная кривизна: $\mathrm R=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!g^{i,j}\,\mathrm R_{i,j}$.