Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

11   Линейные операторы (часть 2)

11.1  Многочлены и ряды от линейных операторов

• Эвалюация ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм. Алгебра, порожденная лин. оператором $a$: $K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)$.
• Минимальный многочлен лин. оператора $a$: $\mu _{a}(a)=0$, $\mu _{a}$ нормирован, $\deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}$; $(\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]$.
• Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный лин. оператор: $\exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(a^m=0\bigr)$. Утверждение: пусть $a$ — нильпот. лин. оператор; тогда $\chi_a=x^{\dim V}\!{}$.

  Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда $\chi _{a}(a)=0$.

• Кратности: $\alpha(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\chi_a\}$ (алгебраич. кратность), $\beta(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\mu_a\}$. Теорема о минимальном многочлене.

  Теорема о минимальном многочлене. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда $\mu _{a}$ делит $\chi _{a}$
  (и, значит, для любых $c\in K$ выполнено $\beta (a,c)\leq \alpha (a,c)$), а также $\,\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}$.

• Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) если $f\in K[x]$, то $a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)$ (то есть $\mathrm{Ker}\,f(a)$ — $a$-инвариантное подпространство);
  (2) если $f,g\in K[x]$ и $f$ делит $g$, то $\,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)$;
  (3) если $k\in \mathbb {N} _{0}$, $f_1,\ldots,f_k\in K[x]$ и многочлены $f_{1},\ldots ,f_{k}$ попарно взаимно просты, то $\,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)$
  (и, значит, $(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)$).
• Проектор (идемпотент): $a^2=a{}$ ($\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,a{}$). Отражение: $a^2=\mathrm{id}_V{}$ ($\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V){}$, если $\mathrm {char} \,K\neq 2$).
• Ряд от лин. оператора $a$ ($V$ — нормир. пр.-во): $\sum_{k=0}^\infty f_ka^k{}$; достаточное усл.-е сход.-сти ($V$ — банах. пр.-во, $a\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V){}$): $\sum_{k=0}^\infty|f_k|\|a\|^k<\infty{}$.
• Экспонента от непрерывного линейн. оператора $a$ в банах. пр.-ве: $\mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$. Пример: $\mathrm {e} ^{{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\varphi \\\varphi &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}\!={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты.
  Пусть $V$ — банахово пр.-во; тогда для любых $a,b\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V)$ выполнено $a\circ b=b\circ a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b$, а также $\mathrm e^0\!=\mathrm{id}_V\!$ и $\mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}$.

11.2  Собственные и корневые подпространства линейного оператора

• Собственные подпространства: $V_1(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)$; геометрическая кратность: $\gamma (a,c)=\dim V_{1}(a,c)$. Лемма о собственных подпространствах.

  Лемма о собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $a\in \mathrm {End} (V)$, $k\in \mathbb {N} _{0}$, $c_1,\ldots,c_k\in K$ и
  $c_1,\ldots,c_k$ попарно различны; тогда
  (1) $\mathrm{Ker}\,((x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_k))(a)=V_1(a,c_1)\oplus\ldots\oplus V_1(a,c_k)$;
  (2) если $C_1\subseteq V_1(a,c_1),\ldots,C_k\subseteq V_1(a,c_k)$ и $C_1,\ldots,C_k$ — независимые множества, то $C_1\cup\ldots\cup C_k$ — независимое множество;
  (3) если $\dim V<\infty$, то для любых $c\in K$ выполнено $\gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)$.

• Теорема о диагонализуемых линейных операторах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$, что $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица;
  (у2) $\mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)$ (то есть многочлен $\mu _{a}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$);
  (у3) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)$ (то есть пространство $V$ раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора $a$);
  (у4) $\dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)$.
• Обобщенные собственные подпростр.-ва: $V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j$; относительные геометрич. кратности: $\gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)$.
• Жорданова клетка: $\mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\mathbf e_1^2+\ldots+\mathbf e_{n-1}^n{}$. Пример: если $a=\mathrm{jc}_n(c)$, то $\mu_a=\chi_a=(x-c)^n$ и $\forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_j\rangle\bigr){}$.
• Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и $c\in K$; тогда
  (1) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)$ и, если $V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)$, то $V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)$;
  (2) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $\beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)$;
  (3) $\{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)$ и $V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots$.
• Корневые подпространства: $V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)$. Нильпотентные части линейного оператора $a$: $\mathrm{nil}(a,c)=a|_{V(a,c)\to V(a,c)}\!-c\cdot\mathrm{id}_{V(a,c)}$.
• Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$,
  $a\in \mathrm {End} (V)$ и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$, то это условие выполнено для
  любых линейных операторов $a\in \mathrm {End} (V)$ в силу алгебраической замкнутости поля $\,\mathbb {C}$); тогда
  (1) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)$ (то есть пространство $V$ раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора $a$);
  (2) для любых $c\in K$ выполнено $\mathrm{nil}(a,c)^{\beta(a,c)}\!=0$ (и, значит, $\mathrm {nil} (a,c)$ — нильпотентный линейный оператор) и $\dim V(a,c)=\alpha (a,c)$.

11.3  Жорданова нормальная форма линейного оператора

• $C$ — независимое мн.-во относит.-но $U$: $\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow f=0\bigr)$. $D$ — порождающее мн.-во относит.-но $U$: $V=U+\langle D\rangle$.
• Базис в $V$ относительно $U$ — независ. и порожд. подмн.-во в $V$ относительно $U$. Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).

  Теорема 1 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $U\leq V$ и $E\subseteq V$; тогда следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) $E$ — базис пространства $V$ относительно $U$;
  (у2) $E$ — независимое множество и $V=U\oplus \langle E\rangle$ (и, значит, если $\dim V<\infty$, то $|E|=\dim V-\dim U$);
  (у3) для любого вектора $v\in V$ существуют единственные такие $u\in U$ и $f\in\mathrm{FinFunc}(E,K)$, что $v=u+\sum_{e\in E}f(e)\,e$;
  (у4) $E$ — максимальное независимое множество относительно $U$;
  (у5) $E$ — минимальное порождающее множество относительно $U$.

  Теорема 2 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $U\leq V$; тогда
  (1) любое независимое подмножество в $V$ относительно $U$ можно дополнить до базиса в $V$ относительно $U$;
  (2) из любого порождающего подмножества в $V$ относительно $U$ можно выделить базис в $V$ относительно $U$.

• Теорема об относительно независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$ и
  $a\in \mathrm {End} (V)$, а также $j\in \mathbb {N}$, $V_{j-1}=\mathrm{Ker}\,a^{j-1}$, $V_j=\mathrm{Ker}\,a^j$ и $V_{j+1}=\mathrm{Ker}\,a^{j+1}$; тогда
  (1) если $C$ — независимое подмножество в $V_{j+1}$ относительно $V_{j}$, то $a|_C$ — инъекция и $a(C)$ — независимое подмножество в $V_{j}$ относительно $V_{j-1}$;
  (2) если $\dim V<\infty$, то $\dim V_j-\dim V_{j-1}\ge\dim V_{j+1}-\dim V_j$.
• Диаграммы Юнга. Жорданов блок: $\mathrm{jb}_\Delta(c)$ — прямая сумма жордановых клеток $\mathrm{jc}_{n_1}\!(c),\ldots,\mathrm{jc}_{n_r}\!(c)$, где $n_{1},\ldots ,n_{r}$ — длины строк диаграммы Юнга $\Delta$.
• Диаграмма Юнга $\Delta (a,c)$: высоты столбцов диаграммы $\Delta (a,c)$ — относительные геометрич. кратности $\gamma _{1}(a,c),\ldots ,\gamma _{\beta (a,c)}(a,c)$. Корректность опред.-я.
• Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в
  произведение многочленов степени $1$ в $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$, то это условие выполнено для любых $a\in \mathrm {End} (V)$ в силу алгебраической замкнутости
  поля $\,\mathbb {C}$); тогда существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$, что $a_{e}^{e}$ — прямая сумма жордановых блоков $\,\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)$ по всем $c\in \mathrm {Spec} (a)$.
• Вычисление рядов от лин. операторов при помощи жордановой нормальной формы. Утверждение: $\sum_{k=0}^\infty f_k\,\mathrm{jc}_n(c)^k=\sum_{l=0}^{n-1}\frac1{l!}\Bigl(\sum_{k=l}^\infty\frac{k!}{(k-l)!}f_kc^{k-l}\Bigr)\,\mathrm{jc}_n(0)^l{}$.
• Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$, $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$ и для любых $\tau\in\mathbb R{}$ выполнено $\gamma(\tau)=\mathrm e^{\tau a}{}$; тогда
  (1) если $a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R){}$, то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R){}$, и, если $a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C){}$, то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C){}$;
  (2) если $a\in\mathfrak{so}(n){}$, то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n){}$, а также, если $a\in\mathfrak u(n){}$, то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n){}$, и, если $a\in\mathfrak{su}(n){}$, то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n){}$;
  (3) $\det \mathrm {e} ^{a}\!=\mathrm {e} ^{\mathrm {tr} \,a}$, а также $\mathrm e^{a^\mathtt T}\!\!=(\mathrm e^a)^\mathtt T\!$ и $\mathrm e^{\overline a^\mathtt T}\!\!=\bigl(\overline{\mathrm e^a}\bigr)^\mathtt T$.

12   Линейные операторы и ¯-билинейные формы

12.1  Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы

• Группа автоморфизмов пр.-ва с ¯-билинейной формой: $\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(w))=\sigma(v,w)\bigr)\}$.
• Утверждение: пусть $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$, или $K=\mathbb {C}$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$; тогда $\,\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \forall \,v\in V\;{\bigl (}\sigma (a(v),a(v))=\sigma (v,v){\bigr )}\}$.
• Ортогональная группа ($V$ — в. пр. над $\mathbb {R}$, $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$): $\mathrm {O} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$. Унитарная группа ($V$ — в. пр. над $\mathbb {C}$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$): $\mathrm {U} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$.
• Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.
  (1) Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда
  $a\in\mathrm{Aut}(V,\sigma)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)\,\land\,(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}=\sigma_{e,e}$ и, если форма $\sigma$ невырождена, то условие "$\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)$" можно убрать.
  (2) Пусть $V$ — псевдоевклидово пространство сигнатуры $(p,q)$ и $e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)$; тогда $(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\mathrm c_\tilde e^e=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)$.
  (3) Пусть $V$ — псевдоунитарное пространство сигнатуры $(p,q)$ и $e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)$; тогда $(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)$.
• Матричные ортогонал. группы: $\mathrm O(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}$, $\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)\cap\mathrm O(p,q)$, $\mathrm O(n)$, $\mathrm{SO}(n)$.
• Матричные унитарные группы: $\mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}$, $\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)$, $\mathrm U(n)$, $\mathrm{SU}(n)$.
• Примеры: $\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}$, $\mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}$, $\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}a&b\\-\overline b&\overline a\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid a,b\in\mathbb C,\,|a|^2\!+|b|^2\!=1\bigr\}$.
• Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: $\mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(a(v),a(w))=\mathrm{dist}(v,w)\bigr)\}$. Теорема об описании изометрий.

  Теорема об описании изометрий. Пусть $V$ — предгильбертово пространство над полем $\,\mathbb {R}$; тогда
  (1) $\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)$;
  (2) обозначая через $G$, $F$ и $H$ группу $\,\mathrm{Isom}(V)$ и ее подгруппы $\{\bigl(v\mapsto v+z\bigr)\!\mid z\in V\}$ и $\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}$ соответственно, имеем
  следующие факты: $F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}$, $G=F\circ H$ и $\forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)$, а также $F\cong V^+\!$ (и, значит, $\mathrm{Isom}(V)\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)$).

12.2  Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы

• Пр.-во симметричных операторов: $\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)\}$; условие в коорд.: $(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}$.
• Пр.-во антисимм. операторов: $\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=-\sigma(v,a(w))\bigr)\}$; условие в коорд.: $(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=-\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}$.
• Мн.-во положительно опред. операторов ($\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$): $\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{SEnd}(V,\sigma)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(a(v),v)>0\bigr)\}$.
• Пример: $V=\{f\in\mathrm C^\infty\!([\alpha;\beta],\mathbb C)\mid\forall\,k\in\mathbb N_0\,\bigl(f^{(2k)}\!(\alpha)=f^{(2k)}\!(\beta)=0\bigr)\}$, $\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g\,$ и $a\,\colon f\mapsto-f''$; тогда $a$ — положит. определ. оператор.
• Линейный оператор, сопряженный к линейн. оператору $a$ ($\sigma$ невырождена): $a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)$ ($\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)$).
• Сопряженный оператор в координатах: $(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T$. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.

  Теорема о свойствах сопряжения. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$ и форма $\sigma$ невырождена; тогда
  (1) для любых $a,b\in \mathrm {End} (V)$ и $c\in K$ выполнено $(a+b)^{*}\!=a^{*}\!+b^{*}$, $(c\,a)^{*}\!={\overline {c}}\,a^{*}$ и $(a\circ b)^{*}\!=b^{*}\!\circ a^{*}$
  (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {End} (V)\\a&\mapsto a^{*}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — ¯-антиэндоморфизм $K$-алгебры $\,\mathrm {End} (V)$);
  (2) $\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}$, а также $\,\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=a\}$ и $\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=-a\}$;
  (3) если $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, то для любых $a\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $a^{**}\!=a$ и $\,\mathrm {Spec} (a^{*})={\overline {\mathrm {Spec} (a)}}$.

  Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, форма $\sigma$ невырождена,
  $a\in \mathrm {End} (V)$ и $U\leq V$; тогда $a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\subseteq U^\perp$, а также $\,\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp$ и $\,\mathrm{Im}\,a^*\!\subseteq(\mathrm{Ker}\,a)^\perp\!=(\mathrm{Im}\,a^*)^{\perp\perp}$.

• Форма, связанная с линейн. оператором $a$: $\sigma _{a}(v,w)=\sigma (a(v),w)$. Форма $\sigma_a$ в коорд.: $(\sigma _{a})_{e,e}=(a_{e}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}$. Лемма о форме, связанной с оператором.

  Лемма о форме, связанной с оператором. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$; тогда
  (1) если форма $\sigma$ невырождена, то отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\a&\mapsto \sigma _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств;
  (2) если $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, то $\,\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}(V)\}$ и $\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{ABi}}(V)\}$;
  (3) если $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то $\,\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(V)\}$.

• Мн.-во нормальных операторов ($\sigma$ невырождена): $\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}$; условие в коорд. ($\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n$): $a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e$.

12.3  Спектральная теория в унитарных пространствах

• Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$; тогда
  для любых $c\in \mathrm {Spec} (a)$ выполнено $V_{1}(a,c)=V_{1}(a^{*}\!,{\overline {c}})$, а также для любых таких $c,c'\in\mathrm{Spec}(a)$, что $c\ne c'$, выполнено $V_1(a,c)\perp V_1(a,c')$.
• Спектральная теорема для унитарных пространств. Пусть $V$ — унитарное пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) $a\in\mathrm{NEnd}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$;
  (2) $a\in \mathrm {U} (V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с числами вида $\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$, где $\varphi \in [0;2\pi )$, на диагонали${\bigr )}$;
  (3) $a\in\mathrm{SEnd}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали${\bigr )}$;
  (4) $a\in\mathrm{AEnd}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с числами вида $\beta \,\mathrm {i}$, где $\beta \in \mathbb {R}$, на диагонали${\bigr )}$;
  (5) $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали${\bigr )}$.
• Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть $V$ — унитарное пространство и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$; тогда
  $a\in\mathrm U(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1$, $a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R$, $a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i$, $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}$.
• Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$; тогда
  (1) $a\cdot {\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!={\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!\cdot a$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица${\bigr )}$;
  (2) $a\in\mathrm U(n)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с числами вида $\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$, где $\varphi \in [0;2\pi )$, на диагонали${\bigr )}$;
  (3) $a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали${\bigr )}$;
  (4) $a\in\overline{\mathrm A}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с числами вида $\beta \,\mathrm {i}$, где $\beta \in \mathbb {R}$, на диагонали${\bigr )}$;
  (5) $a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}_{>0}(n,\mathbb C)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали${\bigr )}$.
• Теорема о спектральном разложении нормального оператора. Пусть $V$ — унитарное пространство и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$; тогда
  (1) $a=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!c\cdot \mathrm {proj} _{V_{1}(a,c)}$ (это спектральное разложение оператора $a$) и для любых $f\in\mathbb C[x]$ выполнено $f(a)=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!f(c)\cdot\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}$;
  (2) для любых таких $c,c'\in\mathrm{Spec}(a)$, что $c\ne c'$, выполнено $\,\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}^2\!=\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}\!=\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}^*$ и $\,\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}\!\circ\mathrm{proj}_{V_1(a,c')}\!=0$.
• Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
  Пусть $V$ — предгильбертово пространство над полем $\,\mathbb {C}$ и $a\in\mathrm U(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)$; тогда для любого собственного числа $c$
  оператора $a$ выполнено $a\in\mathrm U(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathrm S^1$, $a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R$, $a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R\,\mathrm i$, $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}$, а также
  для любых двух различных собственных чисел $c$ и $c'$ оператора $a$ выполнено $V_1(a,c)\perp V_1(a,c')$.
• Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).

12.4  Спектральная теория в евклидовых пространствах

• $\mathbb {C}$-Диагональная матрица — блочно-диагональная матрица над полем $\mathbb {R}$ с блоками размера $1\times 1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$.
• $\mathbb {C}$-Спектр линейного оператора $a$ в конечномерном пр.-ве над $\mathbb {R}$: $\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)=\{c\in \mathbb {C} \mid \chi _{a}(c)=0\}$. Пример: $\mathbb {C} \mathrm {Spec} {\bigl (}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr )}=\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} ,\alpha -\beta \,\mathrm {i} \}$.
• Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем R. Пусть $V$ — евклидово пространство, $V\neq \{0\}$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и $\,\mathrm {Spec} (a)=\varnothing$; тогда
  (1) существует такое подпространство $U$ пространства $V$, что $\dim U=2$, $a(U)\subseteq U$ и, если $a\in\mathrm{NEnd}(V)$, то $a^*(U)\subseteq U$;
  (2) если $\dim V=2$, то для любых $e\in \mathrm {OnOB} (V)$ выполнено $a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}$.
• Спектральная теорема для евклидовых пространств. Пусть $V$ — евклидово пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) $a\in\mathrm{NEnd}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица${\bigr )}$;
  (2) $a\in \mathrm {O} (V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$-диагон. матрица с числами $1$, $-1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\varphi \in (0;2\pi )\!\setminus \!\{\pi \}$, на диагонали${\bigr )}$;
  (3) $a\in\mathrm{SEnd}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$;
  (4) $a\in\mathrm{AEnd}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица с числом $0$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\beta \\\beta &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\beta \in \mathbb {R} \!\setminus \!\{0\}$, на диагонали${\bigr )}$;
  (5) $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали${\bigr )}$.
• Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть $V$ — евклидово пространство и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$; тогда
  $a\in\mathrm O(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1$, $a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R$, $a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i$, $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}$.
• Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} )$; тогда
  (1) $a\cdot a^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot a$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица${\bigr )}$;
  (2) $a\in\mathrm O(n)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$-диагон. матрица с числами $1$, $-1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\varphi \in (0;2\pi )\!\setminus \!\{\pi \}$, на диагонали${\bigr )}$;
  (3) $a\in\mathrm{SMat}(n,\mathbb R)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица${\bigr )}$;
  (4) $a\in\mathrm{AMat}(n,\mathbb R)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица с числом $0$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\beta \\\beta &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\beta \in \mathbb {R} \!\setminus \!\{0\}$, на диагонали${\bigr )}$;
  (5) $a\in\mathrm{SMat}_{>0}(n,\mathbb R)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали${\bigr )}$.
• Теорема Эйлера о вращениях. Пусть $V$ — ориентированное евклидово пространство, $\dim V=3$ и $a\in \mathrm {SO} (V)$; тогда существуют такие
  $e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)$ и $\varphi \in [0;2\pi )$, что $a_{e}^{e}={\biggl (}{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &-\sin \varphi \\0&\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\biggr )}$ (и, значит, $a$ — оператор поворота вокруг оси $\langle e_1\rangle$ на угол $\varphi$).
• Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве. Пусть $V$ — евклидово пространство, $\tau \in \mathrm {SBi} (V)$ и $a$ — оператор,
  соответствующий форме $\tau$ относительно изоморфизма $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto(\,\mid\,)_a\end{align}\!\biggr)$ (то есть $\forall\,v,w\in\,V\;\bigl((a(v)\!\mid\!w)=\tau(v,w)\bigr)$); тогда
  (1) в пространстве $V$ существует ортонормированный базис, ортогональный относительно формы $\tau$ (то есть $\mathrm {OnOB} (V)\cap \mathrm {OOB} (V,\tau )\neq \varnothing$);
  (2) множество значений формы $\biggl(\!\begin{align}V&\to\mathbb R\\v&\mapsto\tau(v,v)\end{align}\!\biggr)$ на единичной сфере в $V$ (то есть $\{\tau(v,v)\mid v\in V,\,\|v\|=1\}$) равно $[\min\mathrm{Spec}(a);\max\mathrm{Spec}(a)]$.

12.5  Специальная ортохронная группа Лоренца

• Матричная группа Лоренца: $\mathrm O(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)\mid\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=\eta\}$, где $\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)$. Двумерная сфера: $\mathrm S^2\!=\{v\in\mathbb R^3\!\mid\|v\|=1\}$ ($\|v\|=\!\sqrt{v^\mathtt Tv\,}$).
• Теорема о матричной группе Лоренца.
  (1) Пусть $\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)$; тогда $\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)$, а также $\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1$.
  (2) Пусть $\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)$ и $(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1$; введем следующие обозначения: $\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)$ ($\varepsilon\in\{1,-1\}$), $\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)$ ($\varphi\in[0;\infty)$),
  $\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr)$, $\varphi>0\,\Rightarrow\,v=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)$ ($v,w\in\mathrm S^2\!$) и $f=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)$; тогда $\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\,f\end{smallmatrix}\Bigr)$, а также
  $\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon f^\mathtt Tv\,\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2f^\mathtt Tf-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3$ и $\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det f$.
  (3) $\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\,f\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det f))\end{align}\!\Biggr)$ — сюръективный гомоморфизм групп, и $\{\mathrm{id}_4,-\mathrm{id}_4,\eta,-\eta\}$ — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.
  (4) Обозначая через $\,\mathrm{SO}^+(1,3)$ ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: $\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)$ и $\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}$.
• Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: $\mathrm{SO}^+(1,3)$. Бусты: $\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;v^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,v\,v^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,v\in\mathrm S^2\bigr\}$. Повороты: $\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}$.
• Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры $(1,3)$; $a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)$ (это опр.-е не завис. от выбора базиса).
• Спинорная модель пр.-ва Минковского: $\mathcal M=\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)$ — пр.-во эрмит.-х матриц разм. $2\times 2$. Матрицы Паули: $\sigma_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)$, $\sigma_2=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-\mathrm i\\\mathrm i&0\end{smallmatrix}\bigr)$, $\sigma_3=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr)$.
• Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
  (1) Пусть $i,j\in \{1,2,3\}$; тогда $\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\mathrm{id_2}+\sum_{k=1}^3\varepsilon_{i,j,k}\,\mathrm i\,\sigma_k$ и $\,\mathrm{tr}\,(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}$.
  (2) Пусть $\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr),\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)\!\in\mathbb R^4$, $l=l^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3l^i\sigma_i$ и $m=m^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3m^i\sigma_i$; тогда $l=\Bigl(\begin{smallmatrix}l^0+l^3&l^1-l^2\,\mathrm i\!\\l^1+l^2\,\mathrm i&l^0-l^3\end{smallmatrix}\Bigr)$ и $\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2=\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr)^{\!\!\mathtt T}\eta\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)$.
  (3) Форма $\biggl(\!\begin{align}\mathcal M\times\mathcal M&\to\mathbb R\\(l,m)&\mapsto\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)$ определяет на $\mathcal M$ структуру пространства Минковского, и $(\mathrm{id_2},\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal M)$.
  (4) Обозначая через $\mathcal E$ подпространство $\langle\mathrm{id}_2\rangle^\perp\!$ в $\mathcal M$, имеем следующие факты: $\mathcal E=\mathcal M\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)$, сужение формы из пункта (3), взятое с
  противоположным знаком, определяет на $\mathcal E$ структуру евклидова пространства, и $(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal E)$, а также $\forall\,u\in\mathcal E\;\bigl(u^2=\|u\|^2\,\mathrm{id}_2\bigr)$.
• Утверждение: $\forall\,\varphi\in\mathbb R,\,u\in\mathcal E\;\bigl(\|u\|=1\,\Rightarrow\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\mathrm{ch}\,\varphi\;\mathrm{id}_2+\mathrm{sh}\,\varphi\;u\,\land\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!=\cos\varphi\;\mathrm{id}_2+\sin\varphi\;\mathrm i\,u\bigr)$. Теорема о бустах и поворотах (эскиз доказ.-ва).

  Теорема о бустах и поворотах. Пусть $\varphi \in \mathbb {R}$, $u\in\mathcal E$ и $\|u\|=1$; тогда $\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)$ — буст в $\mathcal M$ с быстротой $2\,\varphi$ вдоль оси с направляющим
  вектором $u$, и $\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{-\varphi\,\mathrm i\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!\end{align}\!\biggr)$ — поворот в $\mathcal M$ на угол $2\,\varphi$ вокруг оси с направляющим вектором $u$.

• Спинорные представления: $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SL}(2,\mathbb C)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}^+(\mathcal M)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,\overline g^\mathtt T\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ и $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}(\mathcal E)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизмы групп (без доказ.-ва).

13   Многообразия (часть 1)

13.1  Определения и конструкции, связанные с многообразиями

• $n$-Мерная система координат на топол. пр.-ве $M$ — гомеоморфизм между областями в $M$ и в $\mathbb {R} ^{n}$; отн.-е согласованности: $\tilde\xi\circ\xi^{-1}$ — диффеоморфизм.
• $n$-Мерный атлас на $M$ — множество попарно согласованных $n$-мерных систем координат на $M$, области определения которых покрывают $M$. Примеры.
• $n$-Мерное многообразие $M$ — хаусдорфово топол. пр.-во (со счетной базой) $M$ с максимальным $n$-мерным атласом $\mathcal A$. Примеры: $\mathbb {R} ^{n}$, области в $\mathbb {R} ^{n}$, $\mathrm S^n$.
• Обозн.-е: $\mathcal A_m\!=\{\xi\in\mathcal A\mid m\in\mathrm{Dom}\,\xi\}$. Отобр.-е $\varphi$ — гладкое в $m$: существуют такие $\xi\in\mathcal A_m$ и $\rho\in\mathcal A_{\varphi(m)}$, что отобр.-е $\rho\circ\varphi\circ\xi^{-1}\!$ — гладкое в $\xi(m)$.
• Утверждение: гладкость отобр.-я не зависит от выбора систем координат. Множество гладких отображений между многообр.-ми $M$ и $P$: $\mathrm C^\infty\!(M,P)$.
• Обозначения: $\mathrm{Curv}_m(M)=\!\!\!\bigcup_{\alpha\in[-\infty;0),\,\beta\in(0;\infty]}\!\!\{\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),M)\mid\gamma(0)=m\}$ — множество кривых, $\mathrm {Func} (M)=\mathrm {C} ^{\infty }\!(M,\mathbb {R} )$ — $\mathbb {R}$-алгебра функций.
• Скорость в координатах ($-\infty\le\alpha<\tau<\beta\le\infty$, $\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),M)$, $\xi\in\mathcal A_{\gamma(\tau)}$): $\gamma'(\tau)^\xi=(\xi\circ\gamma)'(\tau)\in\mathbb R^n$ и $\gamma'(\tau)^i=(\gamma'(\tau)^\xi)^i=\bigl((\xi\circ\gamma)^i\bigr)'(\tau)$.
• Обозначения: $\xi(m)=(x^1(m),\ldots,x^n(m))$ и $\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)=\mathrm d(\tilde\xi\circ\xi^{-1})(\xi(m))\in\mathrm{GL}(n,\mathbb R)$ (тогда $\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)_i^\tilde i=\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^i}(\xi(m))$). Лемма о замене координат.

  Лемма о замене координат. Пусть $M$ — многообразие, $n=\dim M$, $m\in M$, $\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)$ и $\xi,\tilde\xi\in\mathcal A_m$; тогда
  (1) $\gamma'(0)^\tilde\xi=\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)\cdot\gamma'(0)^\xi$ (это матричная запись) и $\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\gamma'(0)^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,\gamma'(0)^k\Bigr)$ (это покомпонентная запись);
  (2) для любых $\breve\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)$ выполнено $\gamma'(0)^\xi=\breve\gamma'(0)^\xi\,\Leftrightarrow\,\gamma'(0)^\tilde\xi=\breve\gamma'(0)^\tilde\xi$.

13.2  Касательные пространства и кокасательные пространства

• Отношение касания в точке $m$: $\gamma\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\breve\gamma\,\Leftrightarrow\,\exists\,\xi\in\mathcal A_m\,\bigl(\gamma'(0)^\xi=\breve\gamma'(0)^\xi\bigr)$. Инвариантная скорость ($\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)$): $\gamma'(0)=\mathrm{cl}\,_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim(\gamma)\in\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim$.
• Касательное пр.-во в точке $m$: $\mathrm T_mM=\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim$. Базисные векторы, определ. системой координат $\xi$: $\frac\partial{\partial x^i}(m)=\bigl(\tau\mapsto\xi^{-1}(\xi(m)+\tau\underline e_i)\bigr)'(0)$.
• Теорема о касательном пространстве. Преобразования при замене координат на $M$: $v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,v^k$ и $\frac\partial{\partial x^\tilde i}(m)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^k}{\partial x^\tilde i}(\tilde\xi(m))\,\frac\partial{\partial x^k}(m)$.

  Теорема о касательном пространстве. Пусть $M$ — многообразие, $n=\dim M$, $m\in M$ и $\xi\in\mathcal A_m$; тогда
  (1) для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$, выбирая такую кривую $\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)$, что $v=\gamma'(0)$, и обозначая через $v^\xi$ столбец $\gamma'(0)^\xi$, имеем следующий факт:
  столбец $v^\xi$ не зависит от выбора кривой $\gamma$;
  (2) отображение $\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R^n\\v&\mapsto v^\xi\end{align}\!\biggr)$ — биекция; определим на $\,\mathrm {T} _{m}M$ структуру вект. простр.-ва над $\,\mathbb {R}$ так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом
  вект. простр.-в (то есть $\forall\,v,w\in\mathrm T_mM,\,c,d\in\mathbb R\;\bigl((c\,v+d\,w)^\xi=c\,v^\xi+d\,w^\xi\bigr)$); тогда эта структура не зависит от выбора системы координат $\xi$;
  (3) множество ${\Bigl \{}{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}(m),\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}(m){\Bigr \}}$ — базис пространства $\,\mathrm {T} _{m}M$;
  (4) для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$ выполнено $v=\sum_{i=1}^n(v^\xi)^i\frac\partial{\partial x^i}(m)$ (это формула разложения по базису в $\,\mathrm {T} _{m}M$).

• Кокасательное пр.-во в точке $m$: $\mathrm T^*_mM=(\mathrm T_mM)^*$. Базисные ковекторы, определ. сист. коорд. $\xi$: $\mathrm dx^j(m)=\Bigl(\frac\partial{\partial x^j}(m)\Bigr)^{\!*}$. Строка коорд. ковектора: $\lambda_\xi$.
• Разложение по базису в $\mathrm T^*_mM$: $\lambda=\sum_{j=1}^n(\lambda_\xi)_j\,\mathrm dx^j(m)$. Преобр.-я при замене координат: $\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}(\tilde\xi(m))\,\lambda_l$ и $\mathrm dx^\tilde j(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^\tilde j}{\partial x^l}(\xi(m))\,\mathrm dx^l(m)$.
• Теорема о дифференциале функции. Пусть $M$ — многообразие, $m\in M$ и $f\in \mathrm {Func} (M)$; тогда
  (1) для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$, выбирая такую кривую $\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)$, что $v=\gamma'(0)$, и обозначая через $(\mathrm df(m))(v)$ число $(f\circ\gamma)'(0)$, имеем
  следующий факт: число $(\mathrm df(m))(v)$ не зависит от выбора кривой $\gamma$;
  (2) для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$ и $\xi\in\mathcal A_m$ выполнено $(\mathrm df(m))(v)=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\cdot v^\xi$;
  (3) обозначая через $\mathrm df(m)$ отображение $\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R\\v&\mapsto(\mathrm df(m))(v)\end{align}\!\biggr)$, имеем следующий факт: $\mathrm df(m)\in\mathrm T^*_mM$.
• Дифференциал в координатах: $\mathrm df(m)_\xi=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\in\mathbb R_n$ и $(\mathrm df(m)_\xi)_j=\frac{\partial(f\circ\xi^{-1})}{\partial x^j}(\xi(m))=\partial_jf(m)$; тогда $\mathrm {d} f(m)=\sum _{j=1}^{n}\partial _{j}f(m)\,\mathrm {d} x^{j}(m)$.
• Производная Ли функции вдоль вектора ($v\in \mathrm {T} _{m}M$): ${\mathcal {L}}_{v}(f)=(\mathrm {d} f(m))(v)$. Утверждение: ${\mathcal {L}}_{v}(fg)={\mathcal {L}}_{v}(f)\,g(m)+f(m)\,{\mathcal {L}}_{v}(g)$ и ${\mathcal {L}}_{\!{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}(m)\!}(f)=\partial _{i}f(m)$
• Касательное и кокасательное расслоения: $\mathrm {T} M=\!\bigsqcup _{m\in M}\!\mathrm {T} _{m}M$ и $\mathrm {T} ^{*}M=\!\bigsqcup _{m\in M}\!\mathrm {T} _{m}^{*}M$. Структура многообр.-я на $\mathrm TM$ и $\mathrm T^*M$; отобр.-е проекции на $M$: $\mathrm {pr} _{M}$.
• Векторные поля и ковекторные поля ($1$-формы): $\mathrm {Vect} (M)=\{v\in \mathrm {C} ^{\infty }\!(M,\mathrm {T} M)\mid \mathrm {pr} _{M}\!\circ v=\mathrm {id} _{M}\}$ и $\Omega^1(M)=\{\lambda\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\lambda=\mathrm{id}_M\}$.
• Пример: $\mathrm df\in\Omega^1(M)$. Сложение и умножение на функцию в $\mathrm {Vect} (M)$ и $\Omega^1(M)$. Действие $1$-формы на векторное поле: $(\lambda(v))(m)=(\lambda(m))(v(m))$.
• Векторные и ковекторные поля в координатах: $v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ и $\lambda =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}\,\mathrm {d} x^{j}$. Преобр.-я при замене: $v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}\!\circ\xi\Bigr)\,v^k$ и $\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\lambda_l$.
• Тензорное расслоение типа $(0,k)$: $\mathcal T_{\,k}\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm{Multi}_k(\mathrm T_mM)$. Тензорные поля типа $(0,k)$: $\mathrm{Tens}_k(M)=\{\omega\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathcal T_{\,k}\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\omega=\mathrm{id}_M\}$.
• Тенз. произвед.-е тенз. полей типа $(0,k)$ и $(0,k')$. Действие тенз. поля типа $(0,k)$ на $k$ вект. полей: $(\omega(v_1,\ldots,v_k))(m)=(\omega(m))(v_1(m),\ldots,v_k(m))$.
• Тенз. поля типа $(0,k)$ в коорд.: $\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}$. Преобр.-е при замене: $\omega_{\tilde j_1,\ldots,\tilde j_k}\!=\!\!\!\sum_{1\le l_1,\ldots,l_k\le n}\!\!\!\Bigl(\frac{\partial x^{l_1}}{\partial x^\tilde{j_1}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^{l_k}}{\partial x^\tilde{j_k}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\omega_{l_1,\ldots,l_k}$.
• Произв.-я Ли функции вдоль вект. поля: $\mathcal L_v(f)=\mathrm df(v)$. Теорема об алгебре Ли векторных полей. Коммутатор в коорд.: $[v,w]^i=\sum_{j=1}^n\bigl(v^j\,\partial_jw^i-w^j\,\partial_jv^i\bigr)$.

  Теорема об алгебре Ли векторных полей. Пусть $M$ — многообразие; тогда
  (1) для любых $v\in \mathrm {Vect} (M)$ имеем следующий факт: $\mathcal L_v$ — дифференцирование алгебры $\,\mathrm {Func} (M)$ (то есть $\mathcal L_v\!\in\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))$);
  (2) отображение $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))\\v&\mapsto\mathcal L_v\end{align}\!\biggr)$ — инъективный линейный оператор, и его образ — подалгебра алгебры Ли $\,\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))$;
  определим на векторном пространстве $\,\mathrm {Vect} (M)$ бинарную операцию $[\,,]$ так, чтобы этот инъективный линейный оператор стал гомоморфизмом
  алгебр Ли (то есть $\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\mathcal L_{[v,w]}=[\mathcal L_v,\mathcal L_w]\bigr)$); тогда $\,\mathrm {Vect} (M)$ — алгебра Ли относительно операции $[\,,]$.