Алгебра phys 1 осень 2017

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/1.

Преподаватель практики у подгруппы 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/2.

Дополнительная литература

[1]  Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
[2]  А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  Ю.И. Манин. Математика как метафора.

Книги по алгебре (разного качества) можно скачать через сайт http://eek.diary.ru/p57704941.htm.

Полезные учебные материалы по алгебре имеются на странице А.Л. Городенцева и на странице А.В. Степанова.

Содержание первого семестра курса алгебры

1   Множества, отображения, отношения

• 1.1  Множества
  Логические операции. Кванторы. Равенство множеств. Задание множества перечислением элементов. Выделение подмножества. Операции над
  множествами. Теорема об операциях над множествами. Числовые множества. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества.
• 1.2  Отображения
  Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции.
  Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
• 1.3  Отношения
  Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения.
  Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле. Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.

2   Группы (часть 1)

• 2.1  Множества с операцией
  Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Обозначения по
  Минковскому. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
• 2.2  Моноиды и группы (основные определения и примеры)
  Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп.
  Группы изометрий. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения.
• 2.3  Подгруппы, классы смежности, циклические группы
  Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок
  элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
• 2.4  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
  Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
  Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание группы образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.

3   Кольца (часть 1)

• 3.1  Определения и конструкции, связанные с кольцами
  Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о
  гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей.
• 3.2  Кольца многочленов
  Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков
  по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
• 3.3  Поле комплексных чисел
  Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа $\mathrm S^1$. Экспонента.
  Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$.
• 3.4  Тело кватернионов
  Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах
  кватернионов. Группа $\mathrm {S} ^{3}$. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.

4   Кольца (часть 2)

• 4.1  Делимость в коммутативных кольцах
  Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
  Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах. Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах.
• 4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца
  Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце.
  Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах.
• 4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
  Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида. Китайская
  теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
• 4.4  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
  Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях. Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных
  формул Лагранжа и Ньютона. Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к
  несократимой записи. Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
• 4.5  Матрицы, столбцы, строки
  Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо $\mathrm{Mat}(n,R)$. Группа $\mathrm{GL}(n,R)$. Столбцы, строки, матрицы с нулями и одной единицей.
  Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.

5   Группы (часть 2)

• 5.1  Символ Леви-Чивиты и симметрические группы
  Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах
  знака. Знакопеременные группы. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы $\mathrm S_n$ образующими и соотношениями.
• 5.2  Определитель матрицы и группы матриц
  Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов. Теорема о свойствах
  определителя. Геометрический смысл определителя матрицы. Группа $\mathrm{SL}(n,R)$ и ее геометрический смысл. Группа $\mathrm{AGL}(n,R)$ и ее геометрический
  смысл. Группы $\mathrm O(n)$ и $\mathrm{SO}(n)$. Группы $\mathrm U(n)$ и $\mathrm{SU}(n)$. Описание изометрий в $\mathbb {R} ^{n}$. Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
• 5.3  Действия групп на множествах
  Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия. $G$-Множества. Гомоморфизмы $G$-множеств. Орбиты. Транзитивные
  действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры. Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда.
• 5.4  Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
  Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр. Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморфизмов. Коммутант.
  Теорема о коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.

Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры

Подробный план второй половины первого семестра курса алгебры

Информация об экзамене

Вопросы к экзамену по второй половине первого семестра

1. Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
2. Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах.
3. Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах.
4. Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце.
5. Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах.
6. Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
7. Китайская теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов.
8. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
9. Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях.
10. Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.
11. Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к несократимой записи.
12. Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
13. Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо $\mathrm{Mat}(n,R)$. Группа $\mathrm{GL}(n,R)$. Столбцы, строки, матрицы с нулями и одной единицей.
14. Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
15. Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком.
16. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах знака. Знакопеременные группы.
17. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы $\mathrm S_n$ образующими и соотношениями.
18. Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов.
19. Теорема о свойствах определителя. Геометрический смысл определителя матрицы.
20. Группа $\mathrm{SL}(n,R)$ и ее геометрический смысл. Группа $\mathrm{AGL}(n,R)$ и ее геометрический смысл. Группы $\mathrm O(n)$ и $\mathrm{SO}(n)$. Группы $\mathrm U(n)$ и $\mathrm{SU}(n)$.
21. Описание изометрий в $\mathbb {R} ^{n}$. Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
22. Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия.
23. $G$-Множества. Гомоморфизмы $G$-множеств. Орбиты.
24. Транзитивные действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры.
25. Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда.
26. Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр. Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморфизмов.
27. Коммутант. Теорема о коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп.
28. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.

Правила проведения экзамена

• В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, пишущие принадлежности и список
  вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций и$/$или подробный план курса, так как их будет
  можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
• Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и$/$или подробный план курса на специальном
  столе (далее «стол знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (один номер будет от 1 до 14, второй номер будет от 15 до 28), затем
  начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. В течение подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
  столу знаний и в течение не более одной минуты проконсультироваться с конспектом лекций и$/$или подробным планом курса.
• Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
  если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
• После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
  дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй
  половины первого семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача.
• При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
  использовать стол знаний при подготовке к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).