Алгебра phys 1 осень 2017
Лектор и преподаватели практики
Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/1.
Преподаватель практики у подгруппы 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/2.
Дополнительная литература
[1] Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
[2] А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5] Ю.И. Манин. Математика как метафора.
Книги по алгебре (разного качества) можно скачать через сайт http://eek.diary.ru/p57704941.htm.
Полезные учебные материалы по алгебре имеются на странице А.Л. Городенцева и на странице А.В. Степанова.
Содержание первого семестра курса алгебры
1 Множества, отображения, отношения
- 1.1 Множества
Логические операции. Кванторы. Равенство множеств. Задание множества перечислением элементов. Выделение подмножества. Операции над
множествами. Теорема об операциях над множествами. Числовые множества. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества. - 1.2 Отображения
Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции.
Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение. - 1.3 Отношения
Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения.
Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле. Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.
2 Группы (часть 1)
- 2.1 Множества с операцией
Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Обозначения по
Минковскому. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. - 2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)
Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп.
Группы изометрий. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения. - 2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы
Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок
элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах. - 2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание группы образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
3 Кольца (часть 1)
- 3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами
Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о
гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. - 3.2 Кольца многочленов
Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков
по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета. - 3.3 Поле комплексных чисел
Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа . Экспонента.
Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями и . - 3.4 Тело кватернионов
Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах
кватернионов. Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.
4 Кольца (часть 2)
- 4.1 Делимость в коммутативных кольцах
Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в области целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах. Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах. - 4.2 Евклидовы кольца и факториальные кольца
Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающего элемента идеала в евклидовом кольце.
Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах. - 4.3 Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида. Китайская
теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера. - 4.4 Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях. Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных
формул Лагранжа и Ньютона. Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к
несократимой записи. Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей. - 4.5 Матрицы, столбцы, строки
Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо . Группа . Столбцы, строки, матрицы с нулями и одной единицей.
Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
5 Группы (часть 2)
- 5.1 Символ Леви-Чивиты и симметрические группы
Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах
знака. Знакопеременные группы. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы образующими и соотношениями. - 5.2 Определитель матрицы и группы матриц
- 5.3 Действия групп на множествах
- 5.4 Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры
Подробный план второй половины первого семестра курса алгебры
Информация об экзамене
Вопросы к экзамену по второй половине первого семестра
- Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в области целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
- Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах.
- Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах.
- Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающего элемента идеала в евклидовом кольце.
- Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах.
- Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- Китайская теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов.
- Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
- Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях.
- Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.
- Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к несократимой записи.
- Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
- Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо . Группа . Столбцы, строки, матрицы с нулями и одной единицей.
- Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
- Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком.
- Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах знака. Знакопеременные группы.
- Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы образующими и соотношениями.
Правила проведения экзамена
- В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, пишущие принадлежности и список
вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций иили подробный план курса, так как их будет
можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже). - Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций иили подробный план курса на специальном
столе (далее «стол знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (один номер будет от 1 до 14, второй номер будет от 15 до 28), затем
начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. В течение подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
столу знаний и в течение не более одной минуты проконсультироваться с конспектом лекций иили подробным планом курса. - Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны). - После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй
половины первого семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача. - При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
использовать стол знаний при подготовке к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).