Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск

1  Основы алгебры

1.4  Кольца (часть 2)

1.4.1  Делимость в коммутативных кольцах
  • Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммутат. кольце : ; ; .
  • Утверждение: пусть — обл. цел.-сти, и ; тогда и . Обозн.-е в обл. цел.-сти.
  • Наибольший относ.-но общий делитель и : ; наименьшее относ.-но общее кратное и : ; и опред.-ны с точностью до .
  • Нормировка и (если они не ) в и : и — в , многочлены и нормированы — в .
  • Главный идеал — идеал вида . Пример неглавн. идеала: в . Область главных идеалов — обл. цел.-сти, в которой все идеалы главные.
  • Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) ; ; ; ;
    (2) если идеал главный, то , и, если идеал главный, то ;
    (3) если в кольце все идеалы главные, то и существуют, а также .
  • Неприводимые и простые эл.-ты: и .
  • Теорема о неприводимых и простых элементах. Пусть — коммутативное кольцо; тогда
    (1) если — область целостности, то ;
    (2) если — область главных идеалов, то ;
    (3) для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) и (у2) — область целостности;
    (4) если — область главных идеалов, то для любых следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) ,
    (у3) — область целостности и (у4) — поле.
1.4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца
  • Евклидова норма — такая функция , что относ.-но можно делить с остатком на ненул. эл.-ты и не убывает относ.-но на .
  • Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: (); (); , , ().
  • Теорема о евклидовых кольцах. Пусть — евклидово кольцо с евклидовой нормой ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) в невозможна бесконечная строгая делимость (то есть в не существует такой бесконечной послед.-сти , что );
    (3) если , то для любых выполнено ;
    (4) — область главных идеалов (в частности, кольца и , где — поле, являются областями главных идеалов).
  • Факториальное кольцо — обл. цел.-сти с единств. (с точностью до и перестановок) разложением любого эл.-та () в произв.-е неприводимых эл.-тов.
  • Примеры: — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если кольцо факториально, то и факториально (без доказательства).
  • Теорема о факториальности евклидовых колец.
    (1) Пусть — область целостности, в невозможна бесконечная строгая делимость и ; тогда — факториальное кольцо.
    (2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (в частности, кольца и , где — поле, являются факториальными кольцами).
  • Теорема о факториальных кольцах. Пусть — факториальное кольцо и ; разложим и в произведение неприводимых элементов:
    и , где , , попарно неассоциированы и ; тогда
    (1) и ;
    (2) и .
1.4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
  • Соотношение Безу для эл.-тов и евклидова кольца: , где и — коэффициенты Безу. Нахождение в кольце .
  • Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: и ; на -м шаге и ; тогда, если , то .
  • Расширенный алгоритм Евклида в евклидовом кольце: ; на -м шаге ; тогда .
  • Китайская теорема об остатках для целых чисел. Пусть , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Китайская теорема об остатках для многочленов. Пусть — поле, , и попарно взаимно просты (то есть
    ); тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Функция Эйлера от : . Пример: если и , то . Утверждение: .
  • Теорема о свойствах функции Эйлера.
    (1) Пусть , и ; тогда (это теорема Эйлера).
    (2) Пусть и ; тогда .
    (3) Пусть ; разложим в произведение простых чисел: , где , , попарно различны и
    ; тогда .
1.4.4  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
  • Производная многочлена: . Правило Лейбница. Пусть — кольцо и ; тогда .
  • Корень кратности многочлена : (). Теорема о кратных корнях.

    Теорема о кратных корнях. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
    (1) если — корень кратности не меньше многочлена , то — корень кратности не меньше многочлена ;
    (2) если — область целостности, не делит и — корень кратности многочлена , то — корень кратности многочлена ;
    (3) — кратный корень многочлена (то есть корень кратности не меньше ), если и только если — корень многочленов и .

  • Теорема об интерполяции. Пусть — поле, , и попарно различны; тогда существует единственный
    такой многочлен , что и , и этот многочлен можно найти по следующим формулам:
    (1) , где (это интерполяционная формула Лагранжа);
    (2) , где и (это интерполяционная формула Ньютона).
  • Поле частных: , где и , .
  • Теорема о поле частных. Отождествл.-е и . Примеры: , — поле рацион.-х дробей.

    Теорема о поле частных. Пусть — область целостности; тогда отображение — инъективный гомоморфизм колец, а также
    для любых и выполнено (и, значит, ).

  • Несократимая запись: (, нормир.). Приведение к несократ. записи. Правильная дробь: (). Выделение правил. дроби.
  • Примарная дробь: (, нормир., , ). Простейшая дробь: (, нормир., , ).
  • Метод неопределенных коэффиц.-тов для разложения правильной дроби в сумму простейших дробей (док.-во корректности см. в п. 3 в § 4 главы 5 в [3]).
1.4.5  Матрицы, столбцы, строки
  • Множества матриц, столбцов и строк: , и . Сложение матриц и умножение матриц на скаляры.
  • Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения. Кольцо , группа .
  • Матрицы специального вида: диагональные, скалярные, верхнетреугольные, нижнетреугольные, треугольные. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
  • Матрицы, столбцы, строки с одной единицей: , , . Утверждение: , , .
  • Строки матрицы : . Столбцы матрицы : . Утверждение: , а также .
  • Транспонирование матрицы : . След квадратной матрицы : . Теорема о транспонировании, следе и произведении матриц.

    Теорема о транспонировании, следе и произведении матриц. Пусть — коммутативное кольцо, , и ;
    тогда , а также, если , то .

  • Симметрич. и антисимм. матрицы: и .
  • Операторы умн.-я на матрицу между и : — группа по сложению. Теорема об операторах умножения на матрицу.

    Теорема об операторах умножения на матрицу. Пусть — кольцо и ; тогда
    (1) — изоморфизм групп по сложению и, если , то это отобр.-е — изоморфизм колец;
    (2) если — комм. к.-цо, то .

1.5  Группы (часть 2)

1.5.1  Симметрические группы
  • Транспозиции: (, ). Фундаментальные транспозиции: (). Число циклов в перестановке : .
  • Множество инверсий последовательности : . Лемма о количестве инверсий.

    Лемма о количестве инверсий. Пусть , , и ; тогда
    (1) ;
    (2) если , то , и, если , то .

  • Теорема о сортировке пузырьком. Пусть , и ; обозначим через числа ,
    упорядоченные по неубыванию (то есть ); тогда
    (1) существуют такие фундаментальные транспозиции , что ;
    (2) для любых из существования таких фундаментальных транспозиций , что ,
    следует, что , а также в том случае, когда числа попарно различны, что .
  • Знак последовательности : , если числа попарно различны; иначе .
  • Знак перестановки : . Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: .

    Теорема о свойствах знака. Пусть ; тогда
    (1) отображение — гомоморфизм групп и, если , то это отображение — сюръекция и ;
    (2) для любых таких , что , выполнено и ;
    (3) для любых и попарно различных чисел выполнено ;
    (4) для любых выполнено .

  • Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть и ; тогда перестановки и сопряжены, если и только если
    (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок и (то есть цикловые типы перестановок и ) равны.
  • Задание группы коксетеровскими образующими и соотношениями (без доказат.-ва). Примеры: , задание группы .
1.5.2  Группы матриц
  • Определитель квадр. матрицы над коммут. кольцом: . Определитель и расстановки ладей на шахматной доске.
  • Примеры: , . Определитель и объем. Теорема о свойствах определителя.

    Теорема о свойствах определителя. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) для любых , и выполнено
    ;
    (2) для любых таких , что не попарно различны, выполнено ;
    (3) для любых выполнено ;
    (4) для любых , , и выполнено .

  • Анонс: пусть — поле; тогда и отобр. — гомоморфизм моноидов по умножению.
  • Специальная линейн. группа: . Утверждение: .
  • Ортогональная группа: . Специальная ортогон. группа: .
  • Унитарная группа: . Специальная унитарная группа: .
  • Изометрии в : (док.-во только ). Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.

    Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах. Отображение — изоморфизм колец, а также
    и отображение — изоморфизм групп.

  • Аффинная линейная группа: . Геометрический смысл: .
1.5.3  Действия групп на множествах
  • Действие группы на мн.-ве — гомоморфизм моноидов . Утверждение: . Обозначение: .
  • Примеры: группа действует на , группы матриц действуют на , группа действует на сдвигами (где ) и на сопряжениями.
  • Динамическая система с дискретнымнепрерывным временем (каскадпоток) — множество с действием группы группы . Теорема Кэли.

    Теорема Кэли. Пусть — группа; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — биекция (то есть );
    (2) отображение — инъективный гомоморфизм групп.

  • -Множество — множество с действием группы . Гомоморфизмы -множеств: .
  • Орбита точки : (, где ). Разбиение -множества на орбиты: .
  • Транзитивное действие (однородное -мн.-во): . Стабилизатор: . Точное действие: .
  • Свободное действие (свободное -мн.-во): . Торсор над — однородн. свободн. -мн.-во ().
  • Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки: . Лемма Бернсайда. Пример: .

    Теорема о классах смежности по стабилизатору. Пусть — группа, -множество и ; тогда
    (1) отображение определено корректно, является инъективным гомоморфизмом -множеств и его образ есть ;
    (2) если , то .

    Лемма Бернсайда. Пусть — группа, -множество и ; тогда .

1.5.4  Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
  • Группа автоморфизмов: . Пример: . Группа внутренних автоморф.-в: .
  • Центр: . Теорема о внутренних автоморфизмах. Группа внешних автоморф.-в: .

    Теорема о внутренних автоморфизмах. Пусть — группа; тогда отображение — гомоморфизм групп, его ядро есть ,
    его образ есть (и, значит, ) и, кроме того, .

  • Коммутатор элементов группы (мультипликативный коммутатор): . Коммутант группы : .
  • Утверждение: . Теорема о коммутанте. Пример: (док.-во только включения ). Абелианизация группы : .

    Теорема о коммутанте. Пусть — группа и ; тогда группа абелева, если и только если (и, значит, абелева).

  • Простая группа: . Примеры: группы (), , ( — поле, ) простые (без доказ.-ва).
  • Полупрямое произвед.-е относ.-но действия (): с бинарной операцией .
  • Утверждение: — гомоморфизм групп. Пример: , где .
  • Теорема о полупрямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
    (1) , и ;
    (2) ;
    (3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "".