Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь
Материал из SEWiki
Версия от 03:30, 27 июня 2017; Goryachko (обсуждение | вклад)
3 Билинейная и полилинейная алгебра
3.1 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
3.1.1 ¯-Билинейные формы
- Пространство билинейных форм . Примеры: (, ), (, ).
- Поля с инволюцией. Пространство : . Пространство ¯-билинейных (полуторалинейных, если ) форм: .
- Матрица Грама формы : (). ¯-Билинейная форма в координатах: .
- Изоморфизм (). Преобразов.-я при замене базиса: и .
- Простр.-ва (над полем ) и .
- Пр.-ва (над полем ) и .
- , .
- Группа автоморфизмов простр.-ва с формой: и ().
3.1.2 ¯-Квадратичные формы
- Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
- ¯-Квадратичная форма в коорд.: ; если , то — однор. многочлен степени от .
- Гиперповерхность второго порядка в пространстве : множество вида , где , , .
- Примеры кривых второго порядка (, ): , и .
- Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт:
— симметричная билинейная форма (то есть );
(2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение ,
имеем следующий факт: — полуторалинейная форма (то есть );
(2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Утверждение: пусть и , или и ; тогда .
3.1.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
- Оператор бемоль (опускание индекса): . Опускание индекса в координатах: и .
- Случай : невырождена — биекция. Ранг формы : . Утверждение: .
- Топологическая невырожденность: — биекция. Пример: и ; тогда топол. вырождена.
- Оператор диез (подъем индекса): ( невырождена). Подъем индекса в коорд. (): и .
- Лемма о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , и ; обозначим
через пространство ; тогда , если и только если и форма невырождена. - Ортогональность (): . Ортогональное дополнение: .
- Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) , , и ;
(2) и, если , то невырождена;
(3) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор на : );
(4) если форма невырождена и , то .
3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
- Ортогональный базис относит. : — диагональная матрица.
- Ортонормированный базис относительно ( или ): — диагональная матрица с , , на диагонали.
- Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем и ;
тогда существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор). - Теорема Лагранжа и матричная формулировка этой теоремы. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) в пространстве существует ортогональный базис относительно (то есть );
(2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис относительно (то есть ).Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
(1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
(2) если или , то существует такая матрица , что — диагональная матрица с , , на диагонали. - Утверждение: пусть , , и форма невырождена; тогда .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
и ; для любых обозначим через пространство и обозначим через -й угловой минор
матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно тому, что ); для любых
обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) и ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).