Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь
Материал из SEWiki
Версия от 17:30, 26 июня 2017; Goryachko (обсуждение | вклад)
3 Билинейная и полилинейная алгебра
3.1 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
3.1.1 ¯-Билинейные формы
- Пространство билинейных форм . Примеры: (, ), (, ).
- Поля с инволюцией. Пространство : . Пространство ¯-билинейных (полуторалинейных, если ) форм: .
- Матрица Грама формы : (). ¯-Билинейная форма в координатах: .
- Изоморфизм (). Преобразов.-я при замене базиса: и .
- Простр.-ва (над полем ) и .
- Пр.-ва (над полем ) и .
- , .
- Группа автоморфизмов простр.-ва с формой: и ().
3.1.2 ¯-Квадратичные формы
- Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
- ¯-Квадратичная форма в коорд.: ; если , то — однор. многочлен степени от .
- Гиперповерхность второго порядка в пространстве : множество вида , где , , .
- Примеры кривых второго порядка (, ): , , .
- Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующие факты:
— симметричная билинейная форма (то есть ) и ;
(2) отображение — изоморфизм векторных пространств. - Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение ,
имеем следующие факты: — полуторалинейная форма (то есть ) и ;
(2) отображение — изоморфизм векторных пространств. - Утверждение: пусть и , или и ; тогда .