Алгебра phys 1 весна 2016

2  Линейная алгебра

2.1  Матрицы, базисы, координаты

2.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк

• Пространство матриц $\mathrm {Mat} (p,n,K)$. Пространство столбцов: $K^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)$. Пространство строк: $K_n=\mathrm{Mat}(1,n,K)$.
• Матричные единицы: $(\mathrm {se} _{i}^{j})_{l}^{k}=\delta _{i}^{k}\delta _{l}^{j}$. Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\{\mathrm {se} _{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Стандартный базис пространства $K^{p}$: $\{\mathrm {se} _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}$. Стандартный базис пространства $K_{n}$: $\{\mathrm {se} ^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Умножение матриц: $(b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо $\mathrm {Mat} (n,K)$. Группа $\mathrm {GL} (n,K)$.
• Строки матрицы: $a^{i}=\mathrm {se} ^{i}\cdot a$. Столбцы матрицы: $a_{j}=a\cdot \mathrm {se} _{j}$. Утверждение: $(b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a^{j}$ и $(b\cdot a)_{k}=b\cdot a_{k}=\sum _{j=1}^{p}a_{k}^{j}\,b_{j}$.
• След матрицы: $\mathrm {tr} \,a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{i}$. Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $b\in \mathrm {Mat} (n,p,K)$; тогда $\mathrm {tr} (b\cdot a)=\mathrm {tr} (a\cdot b)$.
• Транспонирование матрицы: $(a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}$. Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $b\in \mathrm {Mat} (r,p,K)$; тогда $(b\cdot a)^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot b^{\mathtt {T}}$.

2.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: $v=e\cdot v^{e}$. Изоморфизм векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Матрица гомоморфизма: $(a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}$. Утверждение: $a(e)=h\cdot a_{e}^{h}$ и $\forall \,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}$. Утверждение: $(b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}$.
• Изоморфизм векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Изоморфизм колец и векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.

2.1.3  Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: $\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}$. Матрица замены базиса: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}$. Утверждение: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}$ и $\,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}$.
• Преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$. Преобразование координат вектора: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$. Покомпонентная запись: $v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}$.
• Преобразование координат гомоморфизма: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$. Покомпонентная запись (если $a$ — эндоморфизм): $a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}$.

2.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

• Элементарные трансвекции $\{\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}$ и псевдоотражения $\{\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\mathrm {se} _{i}^{k})\cdot a$ и второго типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i})\cdot a$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{l}^{j})$ и второго типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{j}^{j})$.
• Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

  Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть $K$ — поле, $p,n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда
  (1) существуют такие $l\in \mathbb {N} _{0}$ и элементарные матрицы $g_{1},\ldots ,g_{l}$ размера $p\times p$ над полем $K$, что $g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a$ — ступенчатая матрица;
  (2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно $\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle$ (и, значит, не зависит от матриц $g_{1},\ldots ,g_{l}$).

• Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

2.2  Линейные операторы (часть 1)

2.2.1  Ядро и образ линейного оператора

• Отступление о свойствах базиса. Утверждение: $V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y$. Утверждение: пусть $U\leq V$, $\dim U=\dim V<\infty$; тогда $U=V$.
• Ядро линейного оператора: $\mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)\leq V$. Образ линейного оператора: $\mathrm {Im} \,a\leq Y$. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

  Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр. над $K$, $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$, $y\in Y$, $v_{0}\in a^{-1}(y)$; тогда $a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a$.

  Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр. над $K$, $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}$.

• Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$,
  $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда выполнено $\dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V$.
• Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $\dim V=\dim Y<\infty$;
  тогда выполнено $\,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)$.

2.2.2  Ранг линейного оператора

• Ранг линейного оператора: $\mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a$. Ранг матрицы (ранг по столбцам): $\mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle$. Утверждение: $\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})$.
• Утверждение: $\mathrm {rk} (a)\leq \min\{\dim V,\dim Y\}$. Утверждение: $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim V$ и $a\in \mathrm {Surj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim Y$.
• Теорема о свойствах ранга. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда
  (1) для любых матриц $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$ выполнено $\mathrm {rk} (g\cdot a\cdot g')=\mathrm {rk} (a)$;
  (2) существуют такие матрицы $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g\cdot a\cdot g'=\mathrm {se} _{1}^{1}+\mathrm {se} _{2}^{2}+\ldots +\mathrm {se} _{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}$;
  (3) $\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle$ и $\,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})$ (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).

2.2.3  Системы линейных уравнений

• Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть $a\cdot v_{0}=y$; тогда $\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=y\}=v_{0}+\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}$.
• Теорема Кронекера–Капелли. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$, $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $y\in K^{p}$; тогда $\exists \,v\in K^{n}\;{\bigl (}a\cdot v=y{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} ((a\;\,y))$.
• Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства $\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}$.

2.3  Конструкции над векторными пространствами

2.3.1  Факторпространства и прямая сумма векторных пространств

• Факторпространство: $V/U$. Утверждение: пусть $U\leq V$, $A$ — базис в $U$, $B$ — базис в $V$, $A\subseteq B$; тогда $\{b+U\mid b\in B\setminus A\}$ — базис в $V/U$.
• Теорема о гомоморфизме. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда $V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a$.
• Прямая сумма векторных пространств: $U\oplus W$. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.

  Теорема о прямой сумме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $U,W\leq V$;
  обозначим через $\mathrm {add} _{U,W}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{aligned}}\!{\biggr )}$; тогда
  (1) $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Hom} (U\oplus W,V)$, $\mathrm {Ker} \,\mathrm {add} _{U,W}\cong U\cap W$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {add} _{U,W}=U+W$;
  (2) $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)$$\;\Leftrightarrow \,$$\forall \,v\in V\;\exists !\,u\in U,\,w\in W\;{\bigl (}v=u+w{\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \;$$U\cap W=\{0\}\;\land \;U+W=V$;
  (3) если $\dim V<\infty$, то $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)$$\;\Leftrightarrow \;$$U\cap W=\{0\}\;\land \;\dim U+\dim W=\dim V$;
  (4) если $\dim U,\dim W<\infty$, то $\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W$ (это формула Грассмана).

• Подпространство, инвариантное относительно эндоморфизма: $a(U)\leq U$. Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
• Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.

2.3.2  Двойственное пространство

• Двойственное пространство: $V^{*}\!=\mathrm {Hom} (V,K)$. Двойственный базис: $e^{j}(v)=(v^{e})^{j}$. Утверждение: $\lambda =\!\sum _{j=1}^{\dim V}\!\lambda (e_{j})e^{j}$. Столбец $e^{*}$.
• Строка координат ковектора. Утверждение: $\lambda =\lambda _{e}\cdot e^{*}$. Преобразования при замене базиса: ${\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}$, $\lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ и $\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}$.
• Отождествление пространств $V$ и $V^{**}$ в случае конечномерного пространства $V$ при помощи изоморфизма $\,v\mapsto \!{\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K\\\lambda &\mapsto \lambda (v)\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Сводная таблица о координатах. (В таблице $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$ и $e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$.)

Инвариантный объект	Координаты относительно базиса	Преобразование координат при замене базиса	Пример использования в геометрии и физике
вектор $v$ — элемент пространства $V$ (тензор типа $(1,0)$ над $V$)	${\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм векторных пространств)	матричная запись: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}{\Bigr )}$ преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$	скорость в точке гладкого пути на многообразии
ковектор $\lambda$ — элемент пространства $V^{*}$ (тензор типа $(0,1)$ над $V$)	${\begin{aligned}V^{*}\!&\to K_{n}\\\lambda &\mapsto \lambda _{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм векторных пространств)	матричная запись: $\lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}{\Bigr )}$ преобразование базиса: ${\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}$	дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии
эндоморфизм $a$ — элемент пространства $\mathrm {End} (V)$ (тензор типа $(1,1)$ над $V$)	${\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм колец и векторных пространств)	матричная запись: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot a_{e}^{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,i,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}{\Bigr )}$	дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя

2.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель

2.4.1  Отступление о симметрических группах

• Симметрическая группа: $\mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})$. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
• Утверждение: $(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})$. Утверждение: $u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))$.
• Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s,{\breve {s}}\in \mathrm {S} _{n}$; тогда перестановки $s$ и ${\breve {s}}$ сопряжены, если и только
  если (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок $s$ и ${\breve {s}}$ равны.
• Транспозиции $\{(i\;\,j)\mid i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i<j\}$ и фундаментальные транспозиции $\{(i\;\,i+1)\mid i\in \{1,\ldots ,n-1\}\}$. Число циклов $\kappa (u)$.
• Лемма об умножении на транспозицию. Пусть $n\in \mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}$, $u\in \mathrm {S} _{n}$, $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i<j$; тогда
  (1) если числа $i$ и $j$ принадлежат одному циклу в перестановке $u$, то $\kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)+1$;
  (2) если числа $i$ и $j$ принадлежат разным циклам в перестановке $u$, то $\kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)-1$.
• Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $u\in \mathrm {S} _{n}$; обозначим через $l$ число $n-\kappa (u)$; тогда
  (1) существуют такие транспозиции $u_{1},\ldots ,u_{l}\in \mathrm {S} _{n}$, что $u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{l}$;
  (2) для любых $t\in \mathbb {N} _{0}$ из существования таких транспозиций $u_{1},\ldots ,u_{t}\in \mathrm {S} _{n}$, что $u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{t}$, следует, что $t\geq l$ и $t\equiv l\;(\mathrm {mod} \;2)$.
• Знак перестановки: $\mathrm {sgn} (u)=(-1)^{n-\kappa (u)}$. Утверждение: $\mathrm {sgn}$ — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: $\mathrm {A} _{n}=\{u\in \mathrm {S} _{n}\!\mid \mathrm {sgn} (u)=1\}\trianglelefteq \mathrm {S} _{n}$.

2.4.2  Полилинейные отображения и формы объема

• Пространства полилинейных отображений $\mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)$, $\mathrm {Multi} _{k}(V,Y)$ и полилинейных форм $\mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},K)$, $\mathrm {Multi} _{k}V$.
• Пространства билинейных отображений $\mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},Y)$, $\mathrm {Bi} (V,Y)$ и билинейных форм $\mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},K)$, $\mathrm {Bi} (V)$. Примеры полилинейных форм.
• Пространство симметричных полилинейных форм $\mathrm {SMulti} _{k}V$. Пространство антисимметричных полилинейных форм $\mathrm {AMulti} _{k}V$.
• Лемма об антисимметричных формах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V$; тогда
  следующие условия эквивалентны (если $\mathrm {char} \,K=2$, то исключаются импликации (2)$\;\Rightarrow \,$(1) и (3)$\;\Rightarrow \,$(1)):
  (1) $\omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V$;
  (2) для любых $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ и таких $u\in \mathrm {S} _{k}$, что $u$ — транспозиция, выполнено $\omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=-\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})$;
  (3) для любых $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ и $u\in \mathrm {S} _{k}$ выполнено $\omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=\mathrm {sgn} (u)\,\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})$.
• Пространство форм объема $\mathrm {AMulti} _{n}V$ ($n=\dim V$). Форма объема, связанная с базисом: $\mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,(v_{1}^{e})^{u(1)}\!\ldots (v_{n}^{e})^{u(n)}$.
• Теорема о формах объема. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над $K$, $\dim V<\infty$; обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда
  (1) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $\omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V$ выполнено $\omega =\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {vol} ^{e}$;
  (2) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ множество $\{\mathrm {vol} ^{e}\}$ — базис пространства $\,\mathrm {AMulti} _{n}V$;
  (3) для любых $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ и $\omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V\!\setminus \!\{0\}$ выполнено $(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathrm {OB} (V)\,\Leftrightarrow \,\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})\neq 0$.

2.4.3  Определитель линейного оператора

• Определитель линейного оператора: $\omega (a(v_{1}),\ldots ,a(v_{n}))=\det a\cdot \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})$, где $\omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V\!\setminus \!\{0\}$. Корректность определения.
• Теорема о главных свойствах определителя. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) $\mathrm {GL} (V)=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid \det a\neq 0\}$ (напоминание: $\mathrm {GL} (V)=\mathrm {End} (V)^{\times }$);
  (2) для любых $a,b\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $\det(a\circ b)=\det a\cdot \det b$
  (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {GL} (V)&\to K^{\times }\\a&\mapsto \det a\end{aligned}}\!{\biggr )}$ определено корректно и является гомоморфизмом групп).
• Определитель матрицы: $\det a=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,a_{1}^{u(1)}\!\ldots a_{n}^{u(n)}$. Утверждение: пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда $\mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\det \!{\bigl (}v_{1}^{e}\;\ldots \;v_{n}^{e}{\bigr )}$.
• Лемма об определителе оператора и определителе матрицы. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$,
  $a\in \mathrm {End} (V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда $\det a=\mathrm {vol} ^{e}(a(e_{1}),\ldots ,a(e_{n}))=\det a_{e}^{e}$.
• Утверждение: $\det a=\det a^{\mathtt {T}}$ и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
• Специальные линейные группы: $\mathrm {SL} (V)=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (V)$ и $\mathrm {SL} (n,K)=\{a\in \mathrm {GL} (n,K)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (n,K)$.

2.4.4  Миноры матрицы и присоединенная матрица

• Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: $\mathrm {adj} (a)_{j}^{i}=(-1)^{i+j}$${\bigl (}$дополнительный минор матрицы $a$ в позиции $(j,i)$${\bigr )}$.
• Теорема о присоединенной матрице. Пусть $K$ — поле, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,K)$; тогда
  (1) $\forall \,i,k\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{k}^{j}=\det a\cdot \delta _{k}^{i}{\Bigr )}$ и $\forall \,j,l\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{l}\,a_{j}^{i}=\det a\cdot \delta _{j}^{l}{\Bigr )}$ (в частности,
  при $i=k$ имеем $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}=\det a{\Bigr )}$ и при $j=l$ имеем $\forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}\,a_{j}^{i}=\det a{\Bigr )}$;
  это формулы разложения определителя матрицы $a$ по $i$-й строке матрицы $a$ и по $j$-му столбцу матрицы $a$ соответственно);
  (2) $a\cdot \mathrm {adj} (a)=\mathrm {adj} (a)\cdot a=\det a\cdot \mathrm {id_{n}}$ и, если $a\in \mathrm {GL} (n,K)$, то $a^{-1}={\frac {1}{\det a}}\,\mathrm {adj} (a)$.
• Правило Крамера. Пусть $K$ — поле, $n\in \mathbb {N} _{0}$, $a\in \mathrm {GL} (n,K)$, $y\in K^{n}$ и $j\in \{1,\ldots ,n\}$; тогда $(a^{-1}\!\cdot y)^{j}={\frac {\det \!{\bigl (}a_{1}\;\ldots \;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots \;a_{n}{\bigr )}}{\det a}}$.
• Теорема о базисном миноре. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда $\mathrm {rk} (a)$ равен максимальному среди всех таких чисел
  $m\in \mathbb {N} _{0}$, что в матрице $a$ существует такая подматрица $a'$ размера $m\times m$, что $\det a'\neq 0$ (то есть $a'\in \mathrm {GL} (m,K)$).

2.5  Линейные операторы (часть 2)

2.5.1  Многочлены от операторов

• Многочлен от оператора: $f(a)=\sum _{k=0}^{\deg f}f_{k}a^{k}$. Эвалюация ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм колец и векторных пространств.
• Кольцо, порожденное оператором: $K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm {Im} \,\mathrm {eval} _{a}$ — коммутативное подкольцо и подпространство в $\mathrm {End} (V)$.
• Минимальный многочлен оператора: $\mu _{a}(a)=0$, $\mu _{a}$ приведен, $\deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}$; $(\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]$.
• Утверждение: пусть $a\in \mathrm {End} (V)$ и $f\in K[x]$; тогда $a{\bigl (}\mathrm {Ker} \,f(a){\bigr )}\leq \mathrm {Ker} \,f(a)$ и, если $g\in K[x]$ и $f$ делит $g$, то $\,\mathrm {Ker} \,f(a)\leq \mathrm {Ker} \,g(a)$.
• Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $a\in \mathrm {End} (V)$,
  $f,g\in K[x]$ и $\gcd(f,g)=1$; тогда $\,\mathrm {Ker} \,(fg)(a)=\mathrm {Ker} \,f(a)\oplus \mathrm {Ker} \,g(a)$.
• Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $a\in \mathrm {End} (V)$,
  $f\in K[x]$, $f(a)=0$ и $f=\prod _{i=1}^{t}f_{i}$, где $t\in \mathbb {N} _{0}$, $f_{1},\ldots ,f_{t}\in K[x]$ и $f_{1},\ldots ,f_{t}$ попарно взаимно просты; тогда $V=\bigoplus _{i=1}^{t}\mathrm {Ker} \,f_{i}(a)$.
• Проектор (идемпотент): $a^{2}=a\,\Leftrightarrow \,V=\mathrm {Ker} \,(a-\mathrm {id} _{V})\oplus \mathrm {Ker} \,a$. Нильпотентный оператор: $\exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}a^{m}=0{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}\mu _{a}=x^{m}{\bigr )}$.

2.5.2  Спектр оператора и характеристический многочлен оператора

• Спектр оператора: $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}$; если $\dim V<\infty$, то $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mathrm {Ker} \,(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\neq \{0\}\}$.
• Характеристический многочлен матрицы: $\chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)$. Характеристический многочлен оператора: $\chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}$. Корректность определения.
• Утверждение: $\chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a$. Утверждение: $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}$ (и, значит, $|\mathrm {Spec} (a)|\leq \dim V$).
• Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда $\chi _{a}(a)=0$.
• Две кратности: $\alpha (a,c)$ — кратность $c$ как корня многочлена $\chi _{a}$ (алгебраическая кратность) и $\beta (a,c)$ — кратность $c$ как корня многочлена $\mu _{a}$.
• Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$, $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) многочлен $\mu _{a}$ делит многочлен $\chi _{a}$ (и, значит, $\forall \,c\in K\;{\bigl (}\beta (a,c)\leq \alpha (a,c){\bigr )}$);
  (2) $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}$;
  (3) если $a$ — нильпотентный оператор, то $\chi _{a}=x^{\dim V}$.

2.5.3  Собственные и корневые подпространства оператора

• Обобщенные собственные подпространства: $V_{j}(a,c)=\mathrm {Ker} \,(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})^{j}\leq V$. Корневые подпространства: $V(a,c)=\bigcup _{j=0}^{\infty }V_{j}(a,c)\leq V$.
• Цепь $a$-инвариантных подпространств: $\{0\}<V_{1}(a,c)<\ldots <V_{p-1}(a,c)<V_{p}(a,c)=V_{p+1}(a,c)=\ldots$; вывод: $V(a,c)=V_{p}(a,c)$.
• Относительные геометрические кратности: $\gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)$ и $\gamma (a,c)=\gamma _{1}(a,c)$. Утверждение: $\gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)$.
• Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$;
  тогда следующие условия эквивалентны:
  (1) существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$, что $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица;
  (2) $\mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)$ (то есть $\mu _{a}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$);
  (3) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)$ (это разложение пространства $V$ в прямую сумму собственных подпространств оператора $a$);
  (3') $\dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)$.
• Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$, $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$, $c\in K$; тогда
  (1) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $\beta (a,c)\leq j\,\Leftrightarrow \,V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{j}(a,c)$;
  (2) $\beta (a,c)=\min\{j\in \mathbb {N} _{0}\mid V_{j}(a,c)=V_{j+1}(a,c)\}$ и $V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)$.
• Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$,
  $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$, то
  это условие выполнено для любого оператора $a$ в силу алгебраической замкнутости поля $\,\mathbb {C}$); тогда
  (1) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)$ (это разложение пространства $V$ в прямую сумму корневых подпространств оператора $a$);
  (2) для любых $c\in \mathrm {Spec} (a)$, обозначая через $\mathrm {nil} (a,c)$ оператор $(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})|_{V(a,c)\to V(a,c)}$, имеем следующий факт: для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$
  выполнено $\,\mathrm {Ker} \,\mathrm {nil} (a,c)^{j}=V_{j}(a,c)$, а также $\mathrm {nil} (a,c)$ — нильпотентный оператор и $\dim V(a,c)=\alpha (a,c)$.

2.6  Линейные операторы (часть 3)

2.6.1  Относительные базисы

• Независимое подмножество в $V$ относительно $U$: $\sum _{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow \,f=0$. Порождающее подмножество в $V$ относительно $U$: $U+\langle D\rangle =V$.
• Базис в $V$ относительно $U$: одновременно независимое и порождающее подмножество в $V$ относительно $U$. Три леммы-упражнения.

  Лемма 1 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$, $U\leq V$, $E\subseteq V$; тогда следующие условия эквивалентны:
  (1) $E$ — базис в $V$ относительно $U$;
  (1') $E$ — независимое подмножество в $V$ и $U\oplus \langle E\rangle =V$;
  (2) $E$ — максимальное независимое подмножество в $V$ относительно $U$;
  (3) $E$ — минимальное порождающее подмножество в $V$ относительно $U$.
  Лемма 2 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$, $\dim V<\infty$, $U\leq V$; тогда
  (1) любое независимое подмножество в $V$ относительно $U$ можно дополнить до базиса в $V$ относительно $U$;
  (2) из любого конечного порождающего подмножества в $V$ относительно $U$ можно выделить базис в $V$ относительно $U$.
  Лемма 3 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$, $U'\leq U\leq V$, $E$ — базис в $V$ относительно $U$, $E'$ — базис в $U$
  относительно $U'$; тогда $E\cup E'$ — базис в $V$ относительно $U'$.

• Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и $j\in \mathbb {N}$;
  обозначим через $V_{j-1}$, $V_{j}$, $V_{j+1}$ пространства $\,\mathrm {Ker} \,a^{j-1}$, $\mathrm {Ker} \,a^{j}$, $\mathrm {Ker} \,a^{j+1}$ соответственно; пусть $C$ — независимое подмножество в $V_{j+1}$
  относительно $V_{j}$; тогда $a|_{C\to a(C)}$ — биекция и $a(C)$ — независимое подмножество в $V_{j}$ относительно $V_{j-1}$.
• Следствие из теоремы об относительно независимых подмножествах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$,
  $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и $j\in \mathbb {N}$; тогда $\dim \mathrm {Ker} \,a^{j}-\dim \mathrm {Ker} \,a^{j-1}\geq \dim \mathrm {Ker} \,a^{j+1}-\dim \mathrm {Ker} \,a^{j}$.

2.6.2  Жорданова нормальная форма оператора

• Жордановы клетки: $\mathrm {jc} _{n}(0)=\mathrm {se} _{1}^{2}+\mathrm {se} _{2}^{3}+\ldots +\mathrm {se} _{n-1}^{n}$ и $\mathrm {jc} _{n}(c)=c\cdot \mathrm {id} _{n}+\mathrm {jc} _{n}(0)$. Прямая сумма матриц: $a\oplus b\oplus \ldots =\!{\Biggl (}{\begin{smallmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&\ddots \end{smallmatrix}}{\Biggr )}$.
• Диаграммы Юнга. Жорданов блок: $\mathrm {jb} _{\Delta }(c)=\mathrm {jc} _{n_{1}}\!(c)\oplus \ldots \oplus \mathrm {jc} _{n_{r}}\!(c)$, где числа $n_{1},\ldots ,n_{r}$ суть длины строк диаграммы Юнга $\Delta$.
• Диаграмма Юнга $\Delta (a,c)$: высоты столбцов диаграммы $\Delta (a,c)$ суть относительные геометрические кратности $\gamma _{1}(a,c),\ldots ,\gamma _{\beta (a,c)}(a,c)$.
• Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над $K$, $\dim V<\infty$,
  $a\in \mathrm {End} (V)$, $a$ — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$, что $a_{e}^{e}=\mathrm {jb} _{\Delta (a,0)}(0)$.
• Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$
  и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$, то это условие выполнено для
  любого оператора $a$ в силу алгебраической замкнутости поля $\,\mathbb {C}$); тогда существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$, что
  $a_{e}^{e}=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\mathrm {jb} _{\Delta (a,c)}(c)$ (то есть матрица $a_{e}^{e}$ раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).

2.6.3  Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике

• Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Mat} (n,K)$ и $f\in K[x]$; тогда $f(a)=\mathrm {c} _{e}^{\mathrm {se} }\cdot f(\mathrm {jnf} (a))\cdot \mathrm {c} _{\mathrm {se} }^{e}$. Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
• Экспонента от оператора: $\mathrm {e} ^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$. Пример вычисления экспоненты: $\mathrm {e} ^{{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\varphi \\\varphi &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}\!={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты. Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\,\mathbb {C}$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) для любых таких $a,b\in \mathrm {End} (V)$, что $a\circ b=b\circ a$, выполнено $\mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\circ \mathrm {e} ^{b}$;
  (2) для любых $a\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $\mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}$, а также $\det \mathrm {e} ^{a}\!=\mathrm {e} ^{\mathrm {tr} \,a}$.

• Однородная система линейных дифференциальных уравнений: $y'=a\cdot y$ ($y\in \mathrm {C} ^{1}\!(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ^{n})$, $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$). Решение: $y(x)=\mathrm {e} ^{xa}\!\cdot v$ ($v\in \mathbb {C} ^{n}$).
• Сведе́ние уравнения $y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +p_{0}y=0$ к системе уравнений ${\Biggl (}{\begin{smallmatrix}y\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}}{\Biggr )}'\!=a\cdot \!{\Biggl (}{\begin{smallmatrix}y\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}}{\Biggr )}$. Фундаментальная система решений.
• Стационарное ур.-е Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ''=E\psi$ и $\psi (0)=\psi (l)=0$.
• Выводы из ур.-я Шрёдингера для частицы в потенциальной яме: $|\psi _{n}(x)|^{2}={\frac {2}{l}}\sin ^{2}\!{\Bigl (}{\frac {\pi n}{l}}x{\Bigr )}$ — плотность вероятности, $E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2ml^{2}}}n^{2}$ — энергия.

2.7  Алгебры

2.7.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами

• $K$-Алгебра — векторное пространство над $K$ с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из $K$.
• Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство.
• Примеры алгебр: $K$-алгебры $K[x]$, $K[[x]]$, $K(x)$, $\mathrm {End} (V)$, $\mathrm {Mat} (n,K)$, $\mathrm {Map} (X,K)$; $\mathbb {R}$-алгебры $\mathbb {C}$, $\mathbb {R} ^{3}$ с векторным умножением, $\mathrm {C} ^{0}\!(X,\mathbb {R} )$.
• Структурные константы алгебры: ${\stackrel {e}{m}}\!\,_{j_{1},j_{2}}^{i}\!=((e_{j_{1}}e_{j_{2}})^{e})^{i}$. Утверждение: массив ${\bigl (}{\stackrel {e}{m}}\!\,_{j_{1},j_{2}}^{i}{\bigr )}_{1\leq i,j_{1},j_{2}\leq \dim A}$ определяет умножение в $K$-алгебре $A$.
• Теорема Кэли для алгебр. Пусть $K$ — поле и $A$ — ассоциативная $K$-алгебра с $1$; обозначим через ${}_{K}\!A$ векторное пространство над
  полем $K$, получающееся из $K$-алгебры $A$ при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
  (1) для любых $a\in A$, обозначая через $\mathrm {lm} _{a}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт: $\mathrm {lm} _{a}$ — линейный оператор на векторном
  пространстве ${}_{K}\!A$ (то есть элемент $K$-алгебры $\,\mathrm {End} ({}_{K}\!A)$);
  (2) обозначая через $\mathrm {lm}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to \mathrm {End} ({}_{K}\!A)\\a&\mapsto \mathrm {lm} _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт: $\mathrm {lm}$ — инъективный гомоморфизм алгебр с $1$.
• Алгебра с делением: $\forall \,a\in A\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\mathrm {lm} _{a},\mathrm {rm} _{a}\!\in \mathrm {Bij} (A){\bigr )}$. Утверждение: конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением.

2.7.2  Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных

• Тензорное произведение полилинейных форм: $(\omega \otimes \omega ')(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{1}',\ldots ,v_{k'}')=\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})\,\omega '(v_{1}',\ldots ,v_{k'}')$. Свойства операции $\otimes$.
• Утверждение: пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $n=\dim V$; тогда множество $\{e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{k}}\!\mid j_{1},\ldots ,j_{k}\in \{1,\ldots ,n\}\}$ — базис пространства $\,\mathrm {Multi} _{k}V$.
• Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров): $\mathrm {Multi} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\mathrm {Multi} _{k}V$. Утверждение: $\mathrm {Multi} (V)$ — ассоциативная $K$-алгебра с $1$.
• Моном (слово) от свободных переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ степени $k$: $x_{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{j_{k}}$ ($j_{1},\ldots ,j_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$). Моноид слов $\mathrm {W} _{\otimes }(x_{1},\ldots ,x_{n})$.
• Пространство однородных многочленов степени $k$: $K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{k}$. Алгебра многочленов: $K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\bigoplus _{k=0}^{\infty }K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{k}$.
• Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$, $\dim V<\infty$, $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$;
  тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]&\to \mathrm {Multi} (V)\\x_{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{j_{k}}&\mapsto e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{k}}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$, — изоморфизм алгебр с $1$.

2.7.3  Тело кватернионов

• $\mathbb {R}$-Алгебра кватернионов: $\mathbb {H} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} \mid \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R} \}$, где $\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=-1$ и $\mathrm {i} \,\mathrm {j} =-\mathrm {j} \,\mathrm {i} =\mathrm {k}$, $\mathrm {j} \,\mathrm {k} =-\mathrm {k} \,\mathrm {j} =\mathrm {i}$, $\mathrm {k} \,\mathrm {i} =-\mathrm {i} \,\mathrm {k} =\mathrm {j}$.
• Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: $\mathrm {re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\alpha$ и $\mathrm {im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k}$.
• Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {re} (a)-\mathrm {im} (a)$. Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {re} (a)^{2}+\|\mathrm {im} (a)\|^{2}}}$. Чистые кватернионы: $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }=\{v\in \mathbb {H} \mid \mathrm {re} (v)=0\}=\{v\in \mathbb {H} \mid {\overline {v}}=-v\}$.
• Теорема о свойствах кватернионов.
  (1) Для любых $\alpha ,\alpha '\in \mathbb {R}$ и $v,v'\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ выполнено $(\alpha +v)(\alpha '+v')=(\alpha \alpha '-(v,v'))+(\alpha v'+\alpha 'v+v\times v')$.
  (2) Для любых $a\in \mathbb {H}$ выполнено $a\,{\overline {a}}={\overline {a}}\,a=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$, то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {H}$ — тело).
  (3) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено ${\overline {a\,b}}={\overline {b}}\,{\overline {a}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathbb {H} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — антиавтоморфизм алгебры $\,\mathbb {H}$).
  (4) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} ^{\times }\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
• Трехмерная сфера: $\mathrm {S} ^{3}\!=\{g\in \mathbb {H} \mid |g|=1\}\triangleleft \mathbb {H} ^{\times }$. Утверждение: пусть $g,g'\in \mathrm {S} ^{3}$; тогда $\forall \,a\in \mathbb {H} \;{\bigl (}|g\,a\,g'|=|a|{\bigr )}$ и $\forall \,v\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }\,{\bigl (}g\,v\,g^{-1}\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }{\bigr )}$.
• Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами. Отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathrm {Mat} (2,\mathbb {C} )\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\gamma +\delta \,\mathrm {i} \\-\gamma +\delta \,\mathrm {i} &\alpha -\beta \,\mathrm {i} \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный
  гомоморфизм алгебр с $1$, и его образ есть ${\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}c&d\\-{\overline {d}}&{\overline {c}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid c,d\in \mathbb {C} {\bigr \}}$ (и, значит, $\mathbb {H} \cong {\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}c&d\\-{\overline {d}}&{\overline {c}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid c,d\in \mathbb {C} {\bigr \}}$).

2.7.4  Алгебры Ли (основные определения и примеры)

• Условия на умножение в алгебре Ли: билинейность, антисимметричность ($[a,a]=0$), тождество Якоби ($[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0$).
• Коммутатор в ассоциативной алгебре $A$: $[a,b]=a\,b-b\,a$. Алгебра $A^{-}$: пространство ${}_{K}\!A$ с операцией $[\,,]$. Утверждение: $A^{-}$ — алгебра Ли.
• Примеры алгебр Ли: ${\mathfrak {gl}}(V)=\mathrm {End} (V)^{-}$, ${\mathfrak {sl}}(V)=\{a\in {\mathfrak {gl}}(V)\mid \mathrm {tr} \,a=0\}$, $\mathbb {R} ^{3}$ с векторным умножением ($v\times w={\frac {1}{2}}[v,w]$ в алгебре Ли $\mathbb {H} ^{-}$).
• Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть $K$ — поле и ${\mathfrak {g}}$ — $K$-алгебра Ли; тогда
  (1) для любых $a\in {\mathfrak {g}}$, обозначая через $\mathrm {ad} _{a}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathfrak {g}}&\to {\mathfrak {g}}\\b&\mapsto [a,b]\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт: $\mathrm {ad} _{a}$ — линейный оператор на векторном
  пространстве ${}_{K}{\mathfrak {g}}$ (то есть элемент алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}({}_{K}{\mathfrak {g}})$);
  (2) обозначая через $\mathrm {ad}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathfrak {g}}&\to {\mathfrak {gl}}({}_{K}{\mathfrak {g}})\\a&\mapsto \mathrm {ad} _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт: $\mathrm {ad}$ — гомоморфизм алгебр Ли.
• Алгебра дифференцирований алгебры $A$: $\mathrm {Der} (A)=\{d\in {\mathfrak {gl}}({}_{K}\!A)\mid \forall \,a,b\in A\;{\bigl (}d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b){\bigr )}\}$ — подалгебра алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}({}_{K}\!A)$.
• Теорема об алгебре Ли векторных полей. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $M$ — открытое подмножество в $\,\mathbb {R} ^{n}$; обозначим через $\,\mathrm {Func} (M)$ и $\,\mathrm {Vect} (M)$
  алгебру $\,\mathrm {C} ^{\infty }\!(M,\mathbb {R} )$ и векторное пространство $\,\mathrm {C} ^{\infty }\!(M,\mathbb {R} ^{n})$ соответственно; тогда
  (1) для любых $v\in \mathrm {Vect} (M)$, обозначая через $\mathrm {der} _{v}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Func} (M)&\to \mathrm {Func} (M)\\f&\mapsto \mathrm {d} f\cdot v\end{aligned}}\!{\biggr )}$ (здесь $\mathrm df\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R_n)$), имеем следующий
  факт: $\mathrm {der} _{v}$ — дифференцирование алгебры $\,\mathrm {Func} (M)$ (то есть элемент алгебры Ли $\mathrm {Der} (\mathrm {Func} (M))$);
  (2) обозначая через $\mathrm {der}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Vect} (M)&\to \mathrm {Der} (\mathrm {Func} (M))\\v&\mapsto \mathrm {der} _{v}\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт: $\mathrm {der}$ — инъективный линейный оператор,
  а также $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {der}$ — подалгебра алгебры Ли $\mathrm {Der} (\mathrm {Func} (M))$;
  (3) определим на векторном пространстве $\,\mathrm {Vect} (M)$ бинарную операцию $[\,,]$ так, что для любых $v,w\in \mathrm {Vect} (M)$ выполнено
  $\mathrm {der} _{[v,w]}=[\mathrm {der} _{v},\mathrm {der} _{w}]$ (из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию $[\,,]$); тогда для любых $v,w\in \mathrm {Vect} (M)$
  выполнено $[v,w]=\mathrm {d} w\cdot v-\mathrm {d} v\cdot w$ (здесь $\mathrm {d} v,\mathrm {d} w\in \mathrm {C} ^{\infty }\!(M,\mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} ))$), а также $\,\mathrm {Vect} (M)$ — алгебра Ли относительно операции $[\,,]$.