Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь

1  Основы алгебры

										Читателю может потребоваться усилие воли, чтобы увидеть в математике воспитателя образного мышления. Чаще с ней связы- вается представление о жесткой логике и вычислительном формализме. Но это — лишь дисциплина, линейка, которой нас учат не умирать. Вычислительный формализм математики — мысль, экстериоризованная до такой степени, что она на время отчуж- дается и превращается в технологический процесс. Математический образ формируется в затяжном приживлении к человеку этой временно отторгнутой мысли. Думать — значит вычислять, волнуясь. Ю.И. Манин. Математика и физика
										Развитие современной физики потребовало такого математического аппарата, который непрерывно расширяет свои основания и становится все более и более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые одно время считались чистой игрой разума и упражнениями для логических размышлений, теперь оказались необходимыми для описания весьма общих закономерностей физического мира. Похоже, что этот процесс возрастания степени абстракции будет продолжаться и в будущем и что развитие физики следует связывать с непрерывной модификацией и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а не с логическим развитием какой бы то ни было математической схемы, построенной на фиксированном основании. П.А.М. Дирак. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле

1.1  Множества, отображения, отношения

1.1.1  Множества

• Логические связки: $\lnot$ — отрицание («не»), $\lor$ — дизъюнкция («или»), $\land$ — конъюнкция («и»), $\Rightarrow$ — импликация («влечет»), $\Leftrightarrow$ — эквивалентность.
• Лемма о логических связках. Пусть $a,b,c$ — высказывания; тогда
  (1) $(a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)$, $a\lor b=b\lor a$, $(a\land b)\land c=a\land (b\land c)$, $a\land b=b\land a$;
  (2) $a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)$, $a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)$;
  (3) $\lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b$, $\lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b$, $(a\Rightarrow b)=\lnot a\lor b$, $(a\Rightarrow b)=(\lnot b\Rightarrow \lnot a)$.
• Кванторы: $\exists$ — существование («существует»), $\forall$ — всеобщность («для любых»), $\exists !$ — существование и единственность («существует единственный»).
• Задание множества перечислением элементов: $\{\ldots \}$; $\in$ — принадлежность, $\varnothing$ — пустое множество, $\subseteq$ — включение, $\subset$ — строгое включение.
• Выделение подмножества: $\{x\in X\mid p(x)\}$. Операции над множествами: $\cup$ — объединение, $\cap$ — пересечение, $\setminus$ — разность, $\times$ — произведение.
• Лемма об операциях над множествами. Пусть $X,Y,Z$ — множества; тогда
  (1) $(X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)$, $X\cup Y=Y\cup X$, $(X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)$, $X\cap Y=Y\cap X$;
  (2) $X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)$, $X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup Z)$;
  (3) если $U$ — множество и $X,Y\subseteq U$, то $U\setminus (X\cup Y)=(U\setminus X)\cap (U\setminus Y)$ и $U\setminus (X\cap Y)=(U\setminus X)\cup (U\setminus Y)$.
• Числовые множества: $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$, $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ — натуральные, целые, рациональные, вещественные числа; $\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}$ и $\mathbb {Z} /n=\{0,\ldots ,n-1\}$ ($n\in \mathbb {N}$).
• $|X|$ — порядок (количество элементов) мн.-ва $X$ ($|X|\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}$), $2^{X}$ — множество подмножеств мн.-ва $X$, $X^{n}$ — $n$-я степень мн.-ва $X$ ($n\in \mathbb {N} _{0}$).

1.1.2  Отображения

• Множество отображений, действующих из мн.-ва $X$ в мн.-во $Y$: $\mathrm {Map} (X,Y)$. Область отобр.-я $f$: $\mathrm {Dom} \,f$, кообласть отобр.-я $f$: $\mathrm {Codom} \,f$. Примеры.
• Образ множества $A$ относительно $f$ ($A\subseteq X$): $f(A)$, прообраз множества $B$ относительно $f$ ($B\subseteq Y$): $f^{-1}(B)$, образ отображения $f$: $\mathrm {Im} \,f=f(X)$.
• Сужения отображения $f$ ($A\subseteq X$ и $f(A)\subseteq B\subseteq Y$): $f|_{A}$ и $f|_{A\to B}$. Сокращенная запись образа: $\{f(x)\mid x\in X\}=\{y\in Y\mid \exists \,x\in X\;{\bigl (}f(x)=y{\bigr )}\}$.
• Инъекции: $\mathrm {Inj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\leq 1{\bigr )}\}$. Сюръекции: $\mathrm {Surj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\geq 1{\bigr )}\}$.
• Биекции: $\mathrm {Bij} (X,Y)=\mathrm {Inj} (X,Y)\cap \mathrm {Surj} (X,Y)$. Композиция отображений $g$ и $f$: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$. Тождественное отображение: $\mathrm {id} _{X}(x)=x$.
• Теорема о композиции отображений. Пусть $X,Y$ — множества и $f\in \mathrm {Map} (X,Y)$; тогда
  (1) $f\circ \mathrm {id} _{X}=f$, $\mathrm {id} _{Y}\circ f=f$ и, если $Z,W$ — множества, $g\in \mathrm {Map} (Y,Z)$ и $h\in \mathrm {Map} (Z,W)$, то $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$;
  (2) если $X\neq \varnothing$, то $f$ — инъекция, если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}{\bigr )}$;
  (3) $f$ — сюръекция, если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}$;
  (4) $f$ — биекция, если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}\,\land \,f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}$.
• Отображение $f^{-1}$, обратное к отображению $f$: $f^{-1}\!\circ f=\mathrm{id}_X$ и $f\circ f^{-1}\!=\mathrm{id}_Y$. Пример: взаимно обратные биекции $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathbb R_{>0}\!\\x&\mapsto\mathrm e^x\end{align}\!\biggr)$ и $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R_{>0}\!&\to\mathbb R\\x&\mapsto\ln x\end{align}\!\biggr)$.

1.1.3  Отношения

• Множество отношений между множествами $X$ и $Y$: $\mathrm {Rel} (X,Y)$. Область отношения $\Delta$: $\mathrm {Dom} \,\Delta$, кообласть отношения $\Delta$: $\mathrm {Codom} \,\Delta$. Примеры.
• Отношения эквивалентности: $\mathrm {EquivRel} (X)=\{{\sim }\in \mathrm {Rel} (X,X)\mid \forall \,x,y,z\in X\;{\bigl (}x\sim x\,\land \,(x\sim y\,\Rightarrow \,y\sim x)\,\land \,(x\sim y\,\land \,y\sim z\,\Rightarrow \,x\sim z){\bigr )}\}$.
• Класс эквивалентности: $\mathrm {cl} _{\sim }\!(x)=\{{\breve {x}}\in X\mid x\sim {\breve {x}}\}$. Утверждение: $x\sim {\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {cl} _{\sim }\!(x)=\mathrm {cl} _{\sim }\!({\breve {x}})$. Фактормножество: $X/{\sim }=\{\mathrm {cl} _{\sim }\!(x)\mid x\in X\}$.
• Разбиения: $\mathrm {Part} (X)=\{{\mathcal {P}}\subseteq 2^{X}\!\setminus \!\{\varnothing \}\mid \bigcup _{A\in {\mathcal {P}}}\!A=X\;\land \;\forall \,A,B\in {\mathcal {P}}\;{\bigl (}A\neq B\,\Rightarrow \,A\cap B=\varnothing {\bigr )}\}$. Утверждение: $X/{\sim }\in \mathrm {Part} (X)$. Трансверсали.
• Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Пусть $X$ — множество; тогда отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {EquivRel} (X)&\to \mathrm {Part} (X)\\\sim &\mapsto X/{\sim }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — биекция.
• Отношение ${\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$: $x\;{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}\;{\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,f(x)=f({\breve {x}})$. Слои отображения $f$: $\{f^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,f\}$ ($=X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$). Факторотображение ${\Biggl (}\!\!{\begin{aligned}X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}&\to \mathrm {Im} \,f\\\mathrm {cl} \,_{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}(x)&\mapsto f(x)\end{aligned}}{\Biggr )}$ — биекция.
• Утверждение: $\sum _{y\in \mathrm {Im} \,f}\!\!|f^{-1}(y)|=|X|$. Принцип Дирихле. Пусть $X,Y$ — множества и $|X|=|Y|<\infty$; тогда $\,\mathrm {Inj} (X,Y)=\mathrm {Surj} (X,Y)=\mathrm {Bij} (X,Y)$.

1.2  Группы (часть 1)

1.2.1  Множества с операцией

• Внутренняя $n$-арная операция на мн.-ве $S$ — отображение, действующее из $S^{n}$ в $S$ (нульарная операция на $S$ — выделенный элемент множества $S$).
• Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: $\mathrm {Hom} (S,V)=\{f\in \mathrm {Map} (S,V)\mid \forall \,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S\;{\bigl (}f(o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n}))=o_{V}(f(s_{1}),\ldots ,f(s_{n})){\bigr )}\}$.
• Изоморфизмы: $\mathrm {Iso} (S,V)=\mathrm {Hom} (S,V)\cap \mathrm {Bij} (S,V)$. Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: $\mathrm {End} (S)=\mathrm {Hom} (S,S)$. Автоморфизмы: $\mathrm {Aut} (S)=\mathrm {Iso} (S,S)$.
• Теорема о композиции гомоморфизмов. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $S,V,Y$ — множества с $n$-арной операцией; тогда
  (1) для любых $f\in \mathrm {Hom} (S,V)$ и $g\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ выполнено $g\circ f\in \mathrm {Hom} (S,Y)$;
  (2) для любых $f\in \mathrm {Iso} (S,V)$ выполнено $f^{-1}\!\in \mathrm {Iso} (V,S)$.
• Обозначение по Минковскому: $o_{S}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\{o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n})\mid s_{1}\in S_{1},\ldots ,s_{n}\in S_{n}\}$. Примеры: $\mathbb {N} +\mathbb {N} =\mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}$, $\mathbb {N} \cdot \mathbb {N} =\mathbb {N}$, $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$.
• Инфиксная запись бинарн. опер.-й. Ассоциативность: $\forall \,s,t,u\in S\;{\bigl (}(s\cdot t)\cdot u=s\cdot (t\cdot u){\bigr )}$. Коммутативность (абелевость): $\forall \,s,t\in S\;{\bigl (}s\cdot t=t\cdot s{\bigr )}$.
• Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Примеры полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.

  Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть $S$ — полугруппа, $n\in \mathbb {N}$ и $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$; тогда значение выражения $s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}$ не зависит от
  расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

1.2.2  Моноиды и группы (основные определения и примеры)

• Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
• Примеры: числовые моноиды, моноиды функций $\mathrm {Func} (X,M)$, моноиды слов $\mathrm {W} (x_{1},\ldots ,x_{n})$ и $\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}$, моноиды отображений $\mathrm {Map} (X)$.
• Обратимые элементы: $M^{\times }\!=\{m\in M\mid \exists \,m'\in M\;{\bigl (}m'\,m=m\,m'=1{\bigr )}\}$. Единственность обратного элемента. Утверждение: $M^{\times }\!\cdot M^{\times }\!\subseteq M^{\times }$.
• Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа $M^{\times }$ ($M$ — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: $G\cong J$.
• Примеры: числовые группы, группы остатков, группы функций $\mathrm {Func} (X,G)$, свободные группы $\mathrm {F} (x_{1},\ldots ,x_{n})$, группы биекций $\mathrm {Bij} (X)$ ($=\mathrm{Map}(X)^\times\!$).
• Мультипликативные обозначения в группе $G$: $g\,h$, $1$, $g^{-1}$ и $g^{n}$ ($n\in \mathbb {Z}$). Аддитивные обозначения в абелевой группе $A$: $a+b$, $0$, $-a$ и $n\,a$ ($n\in \mathbb {Z}$).
• Симметрические группы: $\mathrm {S} _{n}=\mathrm {Bij} (\{1,\ldots ,n\})$. Запись перестановки в виде послед.-сти значений, цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.

  Лемма о циклах. Пусть $l,m,n\in \mathbb {N}$, $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k\in \{1,\ldots ,n\}$, числа $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k$ попарно различны и $u\in \mathrm {S} _{n}$; тогда
  $(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})$, а также $u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}\!=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))$.

• Группа изометрий пр.-ва $\mathbb {R} ^{n}$: $\mathrm{Isom}(\mathbb R^n)=\{f\in\mathrm{Bij}(\mathbb R^n)\mid\forall\,v,v'\in\mathbb R^n\,\bigl(\|f(v)-f(v')\|=\|v-v'\|\bigr)\}$ ($\|(v^1,\ldots,v^n)\|=\!\sqrt{(v^1)^2+\ldots+(v^n)^2}$).

1.2.3  Подгруппы, классы смежности, циклические группы

• Подгруппа: $H\leq G\,\Leftrightarrow \,H\cdot H\subseteq H\,\land \,1\in H\,\land \,H^{-1}\!\subseteq H$. Подгруппа, порожденная мн.-вом $D$: $\langle D\rangle$ — наименьшая подгруппа, содержащая $D$.
• Утверждение: $\langle D\rangle =\{d_{1}^{\varepsilon _{1}}\!\cdot \ldots \cdot d_{n}^{\varepsilon _{n}}\!\mid n\in \mathbb {N} _{0},\,d_{1},\ldots ,d_{n}\in D,\,\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{1,-1\}\}$, а также $\langle g\rangle =\{g^{a}\!\mid a\in \mathbb {Z} \}$. Пример: $\mathbb {Z} ^{+}\!=\langle 1\rangle =\langle -1\rangle$.
• Отношения ${\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и ${\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$: $g\,{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,g^{-1}{\breve {g}}\in H$ ($\Leftrightarrow \,gH={\breve {g}}H$) и $g\;{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\,{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,{\breve {g}}\,g^{-1}\!\in H$ ($\Leftrightarrow \,Hg=H{\breve {g}}$). Утверждение: $\mathrm {cl} \!_{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\!(g)=gH$ и $\mathrm {cl} _{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\!\!(g)=Hg$.
• Множества классов смежности: $G/H=\{gH\mid g\in G\}=G/{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и $H\backslash G=\{Hg\mid g\in G\}=G/{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$. Теорема Лагранжа. Индекс: $|G:H|=|G/H|$.

  Теорема Лагранжа. Пусть $G$ — группа, $|G|<\infty$ и $H\leq G$; тогда $|G|=|H|\,|G/H|=|H|\,|H\backslash G|$ (и, значит, $|H|$ делит $|G|$).

• Порядок элемента: $\mathrm {ord} (g)=\min\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=1\}$ ($\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$). Утверждение: пусть $n=\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N}$; тогда $\{a\in \mathbb {Z} \mid g^{a}=1\}=n\,\mathbb {Z}$.
• Лемма о порядке элемента. Пусть $G$ — группа и $g\in G$; тогда $\mathrm {ord} (g)=|\langle g\rangle |$ и, если $|G|<\infty$, то $\mathrm {ord} (g)$ делит $|G|$ и $g^{|G|}\!=1$.
• Теорема об обратимых остатках.
  (1) Пусть $n\in \mathbb {N}$ и $a\in(\mathbb Z/n)^+\!$; тогда $\mathrm{ord}(a)=\frac n{\gcd(a,n)}$.
  (2) Пусть $n\in \mathbb {N}$; тогда $(\mathbb {Z} /n)^{\times }\!=\{a\in \mathbb {Z} /n\mid \gcd(a,n)=1\}$ (в частности, если $p\in \mathbb {P}$, то $(\mathbb {Z} /p)^{\times }\!=(\mathbb {Z} /p)\!\setminus \!\{0\}$).
  (3) Пусть $p\in \mathbb {P}$, $a\in \mathbb {Z}$ и $p$ не делит $a$; тогда $a^{p-1}\!\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;p)$ (это малая теорема Ферма).
• Циклическая группа: $\exists \,d\in G\;{\bigl (}G=\langle d\rangle {\bigr )}$. Примеры: $(\mathbb {Z} /n)^{+}$ для любых $n\in \mathbb {N}$, $\mathbb {Z} ^{+}$, $(\mathbb {Z} /n)^{\times }$ для некоторых $n\in \mathbb {N}$. Теорема о циклических группах.

  Теорема о циклических группах. Пусть $G$ — циклическая группа и $n=|G|$; тогда, если $n\in \mathbb {N}$, то $G\cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$, и, если $n=\infty$, то $G\cong \mathbb {Z} ^{+}$.

1.2.4  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп

• Нормальная подгруппа: $H\trianglelefteq G\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gHg^{-1}\!\subseteq H{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gH=Hg{\bigr )}$. Пример: $|G:H|=2\,\Rightarrow \,H\trianglelefteq G$.
• Автоморфизм сопряжения при помощи элемента $g$: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}G&\to G\\x&\mapsto g\,x\,g^{-1}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Отношение сопряженности: ${\bigl (}$$x$ и ${\breve {x}}$ сопряжены${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow \;$$\exists \,g\in G\;{\bigl (}{\breve {x}}=g\,x\,g^{-1}{\bigr )}$.
• Нормальная подгруппа, порожденная множеством $T$: $(T)$ — наименьшая нормальная подгруппа, содержащая $T$. Утверждение: $(T)={\bigl \langle }\!\bigcup _{g\in G}g\,Tg^{-1}{\bigr \rangle }$.
• Ядро и образ гомоморфизма $f$: $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(1)$ и $\mathrm {Im} \,f$. Утверждение: $\mathrm {Ker} \,f\trianglelefteq G$ и $\,\mathrm {Im} \,f\leq J$. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.

  Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$; тогда
  (1) для любых $j\in J$ и $g_{0}\in f^{-1}(j)$ выполнено $f^{-1}(j)=g_{0}\,\mathrm {Ker} \,f$;
  (2) $f$ — инъекция, если и только если $\,\mathrm {Ker} \,f=\{1\}$.

• Факторгруппа: $G/H$ с фактороперациями ($H\trianglelefteq G$). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: $\mathbb {Z} ^{+}\!/n\,\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$; тогда $G/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$.

• Прямое произведение групп: $F\times H$ с покомпонентными операциями. Утверждение: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to F\\(f,h)&\mapsto f\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизмы групп.
• Теорема о прямом произведении. Пусть $G$ — группа и $F,H\leq G$; обозначим через $\mathrm {mult}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{aligned}}\!{\biggr )}$; тогда
  (1) $\mathrm {mult} \in \mathrm {Hom} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$, $\mathrm {mult} ^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {mult} =FH$;
  (2) $\mathrm {mult} \in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,G=FH\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$;
  (3) если $|G|<\infty$, то в пункте (2) условие "$G=FH\!$" можно заменить на условие "$\,|G|=|F|\,|H|$".

1.3  Кольца (часть 1)

1.3.1  Определения и конструкции, связанные с кольцами

• Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
• Примеры: числовые кольца, кольца функций. Аддитивная и мультипликативная группы кольца $R$: $R^{+}$ и $R^{\times }$. Характеристика кольца $R$: $\mathrm {char} \,R$.
• Подкольцо: $S\leq R\,\Leftrightarrow \,S+S\subseteq S\,\land \,0\in S\,\land \,-S\subseteq S\,\land \,S\cdot S\subseteq S\,\land \,1\in S$. Подкольцо, порожд. мн.-вом $D$: $\langle D\rangle$. Кольца вида $S[r_{1},\ldots ,r_{n}]$.
• Идеал: $I\trianglelefteq R\,\Leftrightarrow \,I+I\subseteq I\,\land \,0\in I\,\land \,R\cdot I\cdot R\subseteq I$. Идеал, порожд. мн.-вом $T$: $(T)$. Идеал, порожд. элементом $r$ коммут. кольца $R$: $(r)=rR$.
• Ядро и образ гомоморфизма $f$: $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(0)$ и $\mathrm {Im} \,f$. Утверждение: $\mathrm {Ker} \,f\trianglelefteq R$ и $\,\mathrm {Im} \,f\leq U$. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.

  Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть $R,U$ — кольца и $f\in \mathrm {Hom} (R,U)$; тогда
  (1) для любых $u\in U$ и $r_{0}\in f^{-1}(u)$ выполнено $f^{-1}(u)=r_{0}+\mathrm {Ker} \,f$;
  (2) $f$ — инъекция, если и только если $\,\mathrm {Ker} \,f=\{0\}$.

• Факторкольцо: $R/I$ с фактороперациями ($I\trianglelefteq R$). Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение колец: $Q\times S$ с покомпонентными операциями.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть $R,U$ — кольца и $f\in \mathrm {Hom} (R,U)$; тогда $R/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$.

• Кольцо без делителей нуля: $(R\!\setminus \!\{0\})\,(R\!\setminus \!\{0\})\subseteq R\!\setminus \!\{0\}$ и $R\neq \{0\}$. Область целостности — коммут. кольцо без делит. нуля. Тело: $K^{\times }\!=K\!\setminus \!\{0\}$.
• Поле — коммутативное тело. Гомоморфизмы полей. Примеры: числовые поля, поля $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p$, где $p\in \mathbb {P}$. Подполя. Подполе, порожденное мн.-вом.

1.3.2  Кольца многочленов

• Кольцо многочленов от переменной $x$ над кольцом $R$: $R[x]=\mathrm{FinFunc}(\mathrm W(x),R)$; отождествл.-е $\delta_{x^i}$ и $x^i$; общий вид многочлена: $f_nx^n+\ldots+f_0$.
• Умножение в $R[x]$. Степень и старший коэфф.-т. Утверждение: $R[x]^{\times }\!=R^{\times }$. Делимость в $R[x]$ ($R$ — комм. кольцо): $g\,|\,f\;\Leftrightarrow\;\exists\,h\in R[x]\;\bigl(f=g\,h\bigr)$.
• Неприводимые многочлены в $R[x]$: $\mathrm{Irr}(R[x])=(R[x]\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{g\,h\mid g,h\in R[x]\!\setminus\!R^\times\!\}$. Пример: $\{f\in K[x]\mid\deg f=1\}\subseteq\mathrm{Irr}(K[x])$ ($K$ — поле).
• Лемма о делении с остатком. Операции $\mathrm {div}$ и $\mathrm {mod}$ (старший коэфф.-т многочл. $f$ обратим): $g=(g\;\mathrm{div}\;f)\,f+(g\;\mathrm{mod}\;f)$ и $\deg\,(g\;\mathrm{mod}\;f)<\deg f$.

  Лемма о делении с остатком. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $f,g\in R[x]$ и старший коэффициент многочлена $f$ обратим; тогда
  существуют единственные такие многочлены $q,t\in R[x]$, что $g=q\,f+t$ и $\deg t<\deg f$.

• Кольцо остатков по модулю многочлена $f$ ($K$ — поле, $f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}$): $K[x]/f=\{a\in K[x]\mid \deg a<\deg f\}$. Утверждение: $K[x]/(f)\cong K[x]/f$.
• Сопоставление многочлену полиномиальной функции ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {pf} _{A}\colon R[x]&\to \mathrm {Func} (A,A)\\f_{n}x^{n}+\ldots +f_{0}&\mapsto {\bigl (}a\mapsto f_{n}a^{n}+\ldots +f_{0}{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм ($A$ — комм. кольцо, $R\leq A$).
• Обозначение: $f(a)={\bigl (}\mathrm {pf} _{A}(f){\bigr )}(a)$. Корни многочлена $f$: $\{r\in R\mid f(r)=0\}$. Теорема Безу. Теорема о корнях многочлена и следствие из нее.

  Теорема Безу. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $f\in R[x]$ и $r\in R$; тогда $f\;\mathrm {mod} \;(x-r)=f(r)$ (и, значит, $(x-r)\,|\,f\;\Leftrightarrow\,f(r)=0$).

  Теорема о корнях многочлена. Пусть $R$ — область целостности и $f\in R[x]\!\setminus \!\{0\}$; тогда $|\{r\in R\mid f(r)=0\}|\leq \deg f$.

  Следствие из теоремы о корнях многочлена. Пусть $R$ — область целостности, $|R|=\infty$, $f\in R[x]$ и $\forall \,r\in R\;{\bigl (}f(r)=0{\bigr )}$; тогда $f=0$.

1.3.3  Поле комплексных чисел

• Кольцо комплексных чисел: $\mathbb {C} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} \mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}$, где $\mathrm {i} ^{2}=-1$. Утверждение: $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$. Комплексные числа как точки плоскости $\mathbb {R} ^{2}$.
• Вещественная и мнимая части: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\beta$. Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)\,\mathrm {i}$. Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\mathrm {Im} (a)^{2}}}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых $a\in \mathbb {C}$ выполнено $a\,{\overline {a}}=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$, то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {C}$ — поле).
  (2) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {a}}\,{\overline {b}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — автоморфизм поля $\,\mathbb {C}$).
  (3) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
• Единичная окружность в $\mathbb {C}$: $\mathrm S^1\!=\{g\in\mathbb C\mid|g|=1\}<\mathbb C^\times\!$. Экспонента от комплексного числа $a$: $\mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты.
  (1) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $\mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\cdot \mathrm {e} ^{b}$, а также $\mathrm e^0\!=1$ и $\mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}$.
  (2) Для любых $\varphi \in \mathbb {R}$ выполнено $\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }\!=\cos \varphi +\sin \varphi \,\mathrm {i}$ (и, значит, $\mathrm {S} ^{1}\!=\{\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }\!\mid \varphi \in [0;2\pi )\}\cong \mathbb {R} ^{+}\!/2\pi \,\mathbb {Z}$).

• Тригонометрическая форма компл. числа: $r\,(\cos \varphi +\sin \varphi \,\mathrm {i} )=r\,\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }$. Утверждение: $\{a\in \mathbb {C} \mid a^{n}\!=r\,\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }\}=\{{\sqrt[{n}]{r}}\,\mathrm {e} ^{{\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\mathrm {i} }\!\mid k\in \{0,\ldots ,n-1\}\}$.
• Группа корней $n$-й степени из $1$: $\{a\in \mathbb {C} \mid a^{n}\!=1\}=\{\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi k}{n}}\mathrm {i} }\!\mid k\in \{0,\ldots ,n-1\}\}=\langle \mathrm {e} ^{{\frac {2\pi }{n}}\mathrm {i} }\rangle \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$. Первообразные корни $n$-й степени из $1$.
• Формула Кардано (без доказательства). Алгебраическая замкнутость поля $\mathbb {C}$: пусть $f\in \mathbb {C} [x]\!\setminus \!\mathbb {C}$; тогда $\exists \,a\in \mathbb {C} \;{\bigl (}f(a)=0{\bigr )}$ (без доказательства).
• Лемма о вещественных многочленах. Пусть $f\in \mathbb {R} [x]$, $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$; тогда $f(\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=0\,\Leftrightarrow f(\alpha -\beta \,\mathrm {i} )=0\,\Leftrightarrow (x^{2}-2\alpha \,x+\alpha ^{2}+\beta ^{2})\,|\,f$.

1.3.4  Тело кватернионов

• Кольцо кватернионов: $\mathbb {H} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} \mid \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R} \}$, где $\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=-1$, а также $\mathrm {i} \,\mathrm {j} =-\mathrm {j} \,\mathrm {i} =\mathrm {k}$, $\mathrm {j} \,\mathrm {k} =-\mathrm {k} \,\mathrm {j} =\mathrm {i}$, $\mathrm {k} \,\mathrm {i} =-\mathrm {i} \,\mathrm {k} =\mathrm {j}$.
• Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k}$.
• Чистые кватернионы: $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }=\{v\in \mathbb {H} \mid \mathrm {Re} (v)=0\}$. Скалярное произв.-е, векторное произв.-е и норма в $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$: $(v\!\mid \!v')$, $v\times v'$ и $\|v\|=\!{\sqrt {(v\!\mid \!v)}}$.
• Лемма об умножении кватернионов. Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)$. Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\|\mathrm {Im} (a)\|^{2}}}$. Утверждение: $v\in\mathbb H_\mathrm{vect}\Leftrightarrow\,\overline v=-v$.

  Лемма об умножении кватернионов. Для любых $\alpha ,\alpha '\in \mathbb {R}$ и $v,v'\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ выполнено $(\alpha +v)(\alpha '+v')=(\alpha \alpha '-(v\!\mid \!v'))+(\alpha v'+\alpha 'v+v\times v')$.

• Теорема о свойствах кватернионов.
  (1) Для любых $a\in \mathbb {H}$ выполнено $a\,{\overline {a}}={\overline {a}}\,a=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$, то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {H}$ — тело).
  (2) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {b}}\,{\overline {a}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathbb {H} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — антиавтоморфизм тела $\,\mathbb {H}$).
  (3) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
• Трехмерная сфера: $\mathrm {S} ^{3}\!=\{g\in \mathbb {H} \mid |g|=1\}\triangleleft \mathbb {H} ^{\times }$. Утверждение: пусть $g,g'\in \mathrm {S} ^{3}$; тогда $\forall \,a\in \mathbb {H} \;{\bigl (}|g\,a\,g'|=|a|{\bigr )}$ и $\forall \,v\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }\,{\bigl (}g\,v\,g^{-1}\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }{\bigr )}$.
• Изометрии в $\mathbb {C}$: $\mathrm{Isom}(\mathbb C)=\bigl\{\bigl(v\mapsto g\,v+v_0\bigr)\mid g\in\mathrm S^1,\,v_0\in\mathbb C\bigr\}\cup\bigl\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v+v_0\bigr)\mid g\in\mathrm S^1,\,v_0\in\mathbb C\bigr\}$ (доказательство только включения $\supseteq$).
• Изометрии в $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$: $\mathrm{Isom}(\mathbb H_\mathrm{vect})=\bigl\{\bigl(v\mapsto g\,v\,g^{-1}\!+v_0\bigr)\mid g\in\mathrm S^3,\,v_0\in\mathbb H_\mathrm{vect}\bigr\}\cup\bigl\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v\,g^{-1}\!+v_0\bigr)\mid g\in\mathrm S^3,\,v_0\in\mathbb H_\mathrm{vect}\bigr\}$ (док.-во только $\supseteq$).