Алгебра phys 1 апрель–май

2  Линейная алгебра

2.3  Линейные операторы (часть 2)

2.3.1  Многочлены от линейных операторов, спектр и характеристический многочлен линейного оператора

• Эвалюация ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором $a$: $K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)$.
• Минимальный многочлен лин. оператора $a$: $\mu _{a}(a)=0$, $\mu _{a}$ нормирован, $\deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}$; $(\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]$.
• Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) если $f\in K[x]$, то $a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)$ (то есть $\mathrm{Ker}\,f(a)$ — $a$-инвариантное подпространство);
  (2) если $f,g\in K[x]$ и $f$ делит $g$, то $\,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)$;
  (3) если $k\in \mathbb {N} _{0}$, $f_1,\ldots,f_k\in K[x]$ и многочлены $f_{1},\ldots ,f_{k}$ попарно взаимно просты, то $\,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)$
  (и, значит, $(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)$).
• Проектор (идемпотент): $a^{2}=a\,\Leftrightarrow \,V=\mathrm {Ker} \,(a-\mathrm {id} _{V})\oplus \mathrm {Ker} \,a$. Отражение: $a^2=\mathrm{id}_V\,\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V)$ (здесь $\mathrm {char} \,K\neq 2$).
• Собственные число и вектор лин. операт. $a$: $a(v)=c\,v\,\land\,v\ne0$. Спектр лин. операт. $a$: $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}$. Лемма о спектре.

  Лемма о спектре. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное простр.-во над полем $K$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда $\{c\in K\mid\exists\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(a(v)=c\,v\bigr)\}\subseteq\mathrm{Spec}(a)$
  и, если $\dim V<\infty$, то "$\,\subseteq$" можно заменить на "$\,=$".

• Характеристический многочлен матрицы $a$: $\chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)$. Характеристический многочлен лин. оператора $a$: $\chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}$. Корректность опред.-я.
• След линейного оператора $a$: $\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}\,a_e^e$. Корректность определения. Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Теорема Гамильтона–Кэли.

  Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $n=\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}$ (и, значит, $|\mathrm{Spec}(a)|\le\deg\chi_a=n$);
  (2) $\chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a$;
  (3) если $\exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(a^m=0\bigr)$ (то есть $a$ — нильпотентный линейный оператор), то $\chi_a=x^n$.

  Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда $\chi _{a}(a)=0$.

• Кратности: $\alpha(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\chi_a\}$ (алгебраич. кратность), $\beta(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\mu_a\}$. Теорема о минимальном многочлене.

  Теорема о минимальном многочлене. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) $\mu _{a}$ делит $\chi _{a}$ (и, значит, для любых $c\in K$ выполнено $\beta (a,c)\leq \alpha (a,c)$);
  (2) $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}$.

2.3.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора

• Собственные подпространства: $V_1(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)$; геометрическая кратность: $\gamma (a,c)=\dim V_{1}(a,c)$. Лемма о собственных подпространствах.

  Лемма о собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $a\in \mathrm {End} (V)$, $k\in \mathbb {N} _{0}$, $c_1,\ldots,c_k\in K$ и
  $c_1,\ldots,c_k$ попарно различны; тогда
  (1) $\mathrm{Ker}\,((x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_k))(a)=V_1(a,c_1)\oplus\ldots\oplus V_1(a,c_k)$;
  (2) если $C_1\subseteq V_1(a,c_1),\ldots,C_k\subseteq V_k(a,c_k)$ и $C_1,\ldots,C_k$ — независимые множества, то $C_1\cup\ldots\cup C_k$ — независимое множество;
  (3) если $\dim V<\infty$, то для любых $c\in K$ выполнено $\gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)$.

• Теорема о диагонализуемых линейных операторах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$, что $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица;
  (у2) $\mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)$ (то есть многочлен $\mu _{a}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$);
  (у3) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)$ (то есть пространство $V$ раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора $a$);
  (у4) $\dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)$.
• Обобщенные собственные подпростр.-ва: $V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j$; относительные геометрич. кратности: $\gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)$.
• Жорданова клетка: $\mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\underline e_1^2+\underline e_2^3+\ldots+\underline e_{n-1}^n$; если $a=\mathrm{jc}_n(c)$, то $\mu_a=\chi_a=(x-c)^n$ и $\forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\underline e_1,\ldots,\underline e_j\rangle\bigr)$.
• Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и $c\in K$; тогда
  (1) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)$ и, если $V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)$, то $V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)$;
  (2) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $\beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)$;
  (3) $\{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)$ и $V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots$.
• Корневые подпространства: $V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)$. Нильпотентные части линейного оператора $a$: $\mathrm{nil}(a,c)=a|_{V(a,c)\to V(a,c)}\!-c\cdot\mathrm{id}_{V(a,c)}$.
• Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$,
  $a\in \mathrm {End} (V)$ и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$, то это условие выполнено
  для любых линейных операторов $a\in \mathrm {End} (V)$ в силу алгебраической замкнутости поля $\,\mathbb {C}$); тогда
  (1) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)$ (то есть пространство $V$ раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора $a$);
  (2) для любых $c\in K$ имеем следующие факты: $\mathrm{nil}(a,c)^{\beta(a,c)}=0$ (и, значит, $\mathrm {nil} (a,c)$ — нильпотентный лин. оператор) и $\dim V(a,c)=\alpha (a,c)$.

2.3.3  Относительные базисы, жорданова нормальная форма, приложения жордановой нормальной формы

• $C$ — независимое мн.-во относит.-но $U$: $\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow f=0\bigr)$. $D$ — порождающее мн.-во относит.-но $U$: $V=U+\langle D\rangle$.
• Базис в $V$ относительно $U$ — независ. и порожд. подмн.-во в $V$ относительно $U$. Три теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).

  Теорема 1 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $U\leq V$ и $E\subseteq V$; тогда следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) $E$ — базис пространства $V$ относительно $U$;
  (у2) $E$ — независимое множество и $V=U\oplus \langle E\rangle$ (и, значит, если $\dim V<\infty$, то $|E|=\dim V-\dim U$);
  (у3) для любого вектора $v\in V$ существуют единственные такие $u\in U$ и $f\in\mathrm{FinFunc}(E,K)$, что $v=u+\sum_{e\in E}f(e)\,e$;
  (у4) $E$ — максимальное независимое множество относительно $U$;
  (у5) $E$ — минимальное порождающее множество относительно $U$.
  Теорема 2 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $U\leq V$; тогда
  (1) любое независимое подмножество в $V$ относительно $U$ можно дополнить до базиса в $V$ относительно $U$;
  (2) из любого порождающего подмножества в $V$ относительно $U$ можно выделить базис в $V$ относительно $U$.
  Теорема 3 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $U'\leq U\leq V$, $E$ — базис в $V$ относительно $U$ и
  $E'$ — базис в $U$ относительно $U'$; тогда $E\cap E'=\varnothing$ и $E\cup E'$ — базис в $V$ относительно $U'$.

• Теорема об относительно независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$ и
  $a\in \mathrm {End} (V)$, а также $j\in \mathbb {N}$, $V_{j-1}=\mathrm{Ker}\,a^{j-1}$, $V_j=\mathrm{Ker}\,a^j$ и $V_{j+1}=\mathrm{Ker}\,a^{j+1}$; тогда
  (1) если $C$ — независимое подмножество в $V_{j+1}$ относит.-но $V_{j}$, то $a|_C$ — инъекция и $a(C)$ — независимое подмножество в $V_{j}$ относит.-но $V_{j-1}$;
  (2) если $\dim V<\infty$, то $\dim V_j-\dim V_{j-1}\ge\dim V_{j+1}-\dim V_j$.
• Диаграммы Юнга. Жорданов блок: $\mathrm{jb}_\Delta(c)$ — прямая сумма жордановых клеток $\mathrm{jc}_{n_1}\!(c),\ldots,\mathrm{jc}_{n_r}\!(c)$, где $n_{1},\ldots ,n_{r}$ — длины строк диаграммы Юнга $\Delta$.
• Диаграмма Юнга $\Delta (a,c)$: высоты столбцов диаграммы $\Delta (a,c)$ — относительные геометрич. кратности $\gamma _{1}(a,c),\ldots ,\gamma _{\beta (a,c)}(a,c)$. Корректность опред.-я.
• Теорема о жордановой нормальной форме. Обозначение: $\mathrm{jnf}(a)$. Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Mat} (n,K)$ и $f\in K[x]$; тогда $f(a)=\mathrm c_e^\underline e\!\cdot f(\mathrm{jnf}(a))\cdot\mathrm c_\underline e^e$.

  Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и многочлен
  $\chi _{a}$ раскладывается в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$, то это условие выполнено для любых линейных операторов
  $a\in \mathrm {End} (V)$ в силу алгебраической замкнутости поля $\,\mathbb {C}$); тогда существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$, что матрица $a_{e}^{e}$ —
  прямая сумма жордановых блоков $\,\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)$ по всем $c\in \mathrm {Spec} (a)$.

• Многочлен (ряд) от жордановой клетки: $f(\mathrm{jc}_n(c))=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}\,\mathrm{jc}_n(0)^k$. Экспонента от лин. операт. $a$: $\mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты.
  (1) Пусть $V$ — банахово пространство и $a,b\in\mathrm C^0\mathrm{End}(V)$; тогда $a\circ b=b\circ a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b$, а также $\mathrm e^0\!=\mathrm{id}_V\!$ и $\mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}$.
  (2) Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$; тогда $\det \mathrm {e} ^{a}\!=\mathrm {e} ^{\mathrm {tr} \,a}$, а также $\mathrm e^{a^\mathtt T}\!\!=(\mathrm e^a)^\mathtt T\!$ и $\mathrm e^{\overline a^\mathtt T}\!\!=\bigl(\overline{\mathrm e^a}\bigr)^\mathtt T$.

• Однородная система линейных дифференциальных уравн.-й: $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=a\cdot y$ ($y\in \mathrm {C} ^{1}\!(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ^{n})$, $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$). Решение системы: $y(t)=\mathrm e^{ta}\!\cdot v$, где $v\in \mathbb {C} ^{n}$.

2.4  Алгебры

2.4.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами

• $K$-Алгебра — вект. пространство над $K$ с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из $K$.
• Примеры: $K$-алгебры $\mathrm{Func}(X,K)$, $K[x]$, $K(x)$, $\mathrm {Mat} (n,K)$, $\mathrm {End} (V)$, $K[a]$; $\mathbb {R}$-алгебры $\mathbb {C}$, $\mathbb {H}$, $\mathrm {C} ^{0}\!(X,\mathbb {R} )$, $\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)$ и $\mathbb {R} ^{3}$ с векторным умножением.
• Структурные константы алгебры: $m^i_{j_1,j_2}\!\!=((e_{j_1}e_{j_2})^e)^i$. Утверждение: массив $\bigl(m^i_{j_1,j_2}\bigr)_{1\le i,j_1,j_2\le\dim A}$ однозначно определяет умножение в алгебре $A$.
• Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Инъект. гомоморфизмы $\mathbb {R}$-алгебр: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathrm {Mat} (2,\mathbb {R} )\,\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathrm {Mat} (2,\mathbb {C} )\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\gamma +\delta \,\mathrm {i} \\-\gamma +\delta \,\mathrm {i} &\alpha -\beta \,\mathrm {i} \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.

  Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть $K$ — поле и $A$ — ассоциативная $K$-алгебра с $1$; обозначим через ${}_{K}\!A$ векторное пространство
  над полем $K$, получающееся из алгебры $A$ при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
  (1) для любых $a\in A$, обозначая через $\mathrm {lm} _{a}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт: $\mathrm {lm} _{a}$ — линейный оператор (то есть $\mathrm{lm}_a\!\in\mathrm{End}({}_K\!A)$);
  (2) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to \mathrm {End} ({}_{K}\!A)\\a&\mapsto \mathrm {lm} _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный гомоморфизм алгебр с $1$.

• Алгебры с делением: $\forall \,a\in A\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\mathrm {lm} _{a},\mathrm {rm} _{a}\!\in \mathrm {Bij} (A){\bigr )}$ и $A\ne\{0\}$. Утверждение: конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением.
• Моноидная алгебра ($M$ — моноид): $K[M]=\mathrm{FinFunc}(M,K)$ с операцией свертки; способ записи элементов: $\sum_{m\in M}p_mm$ ($|\{m\in M\mid p_m\ne0\}|<\infty$).
• Алгебра многочленов от свободных переменных: $K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)]$. Одночлены: $x_{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{j_{k}}$. Степень. Однородные многочлены.

2.4.2  Алгебра полилинейных форм

• Тензорное произведение полилинейных форм: $(\omega \otimes \omega ')(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{1}',\ldots ,v_{k'}')=\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})\,\omega '(v_{1}',\ldots ,v_{k'}')$. Свойства тензорного произведения.
• Базис в пространстве $\mathrm {Multi} _{k}V$: $\{e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{k}}\!\mid j_{1},\ldots ,j_{k}\in \{1,\ldots ,n\}\}$. Разложение формы по базису: $\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega(e_{j_1},\ldots,e_{j_k})\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}$.
• Обозначение: $\omega_{j_1,\ldots,j_k}\!=\omega(e_{j_1},\ldots,e_{j_k})$. Пример: $vol^e_{j_1,\ldots,j_n}\!\!=\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}$. Преобразов.-е при замене базиса: $\omega_{\tilde j_1,\ldots,\tilde j_k}\!=\!\!\!\sum_{1\le l_1,\ldots,l_k\le n}\!\!\!(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_k})^{l_k}\,\omega_{l_1,\ldots,l_k}$.
• Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров) над $V$: $\mathrm {Multi} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\mathrm {Multi} _{k}V$. Утверждение: $\mathrm {Multi} (V)$ — ассоциативная $K$-алгебра с $1$.
• Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда
  (1) отображение, продолжающее по линейности частичное отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]&\to \mathrm {Multi} (V)\\x_{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{j_{k}}\!&\mapsto e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{k}}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$, — изоморфизм алгебр с $1$;
  (2) для любых $k\in \mathbb {N} _{0}$ изоморфизм из пункта (1) отображает пространство однородных многочленов степени $k$ в пространство $\mathrm {Multi} _{k}V$.
• Идеалы $I_{\mathrm {S} }$ и $I_{\mathrm {A} }$: $I_{\mathrm {S} }={\bigl (}\{x_{i}\otimes x_{j}-x_{j}\otimes x_{i}\mid i,j\in \{1,\ldots ,n\}\}{\bigr )}$ и $I_{\mathrm {A} }={\bigl (}\{x_{i}\otimes x_{j}+x_{j}\otimes x_{i}\mid i,j\in \{1,\ldots ,n\}\}\cup \{x_{i}\otimes x_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,n\}\}{\bigr )}$.
• Алгебра многочленов от коммутирующих переменных: $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]=K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I_{\mathrm {S} }$. Утверждение: $K[x_1,\ldots,x_n]\cong K[\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)^\mathtt{ab}]$.
• Алгебра многочленов от грассмановых переменных: $K_{\wedge }[x_{1},\ldots ,x_{n}]=K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I_{\mathrm {A} }$. Грассмановы одночлены: $x_{j_1}\!\wedge\ldots\wedge x_{j_k}$, где $j_1<\ldots<j_k$.

2.4.3  Алгебры Ли (основные определения и примеры)

• $K$-Алгебра Ли — $K$-алгебра, умножение в которой антисимметрично ($[a,a]=0$) и удовлетворяет тождеству Якоби ($[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0$).
• Коммутатор в ассоциативной алгебре $A$: $[a,b]=a\,b-b\,a$. Алгебра $A^{-}$: вект. простр.-во ${}_{K}\!A$ с операцией $[\,,]$. Утверждение: алгебра $A^{-}$ — алгебра Ли.
• Примеры: ${\mathfrak {gl}}(V)=\mathrm {End} (V)^{-}$, ${\mathfrak {sl}}(V)=\{a\in {\mathfrak {gl}}(V)\mid \mathrm {tr} \,a=0\}$, $\mathbb {R} ^{3}$ с векторным умножением — алгебра Ли, так как $v\times w={\frac {1}{2}}[v,w]$ в алгебре Ли $\mathbb {H} ^{-}$.
• Матричные алгебры Ли: $\mathfrak{gl}(n,K)$, $\mathfrak{sl}(n,K)$, $\mathfrak o(n)=\mathfrak{so}(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!=-a\}$, $\mathfrak u(n)=\{a\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)\mid\overline a^\mathtt T\!=-a\}$, $\mathfrak{su}(n)=\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)\cap\mathfrak u(n)$.
• Утверждение: $\mathrm e^{\mathfrak{gl}(n,K)}\!\subseteq\mathrm{GL}(n,K)$ и $\mathrm e^{\mathfrak{sl}(n,K)}\!\subseteq\mathrm{SL}(n,K)$ (здесь $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$), а также $\mathrm e^{\mathfrak o(n)}\!=\mathrm e^{\mathfrak{so}(n)}\!\subseteq\mathrm{SO}(n)$, $\mathrm e^{\mathfrak u(n)}\!\subseteq\mathrm U(n)$, $\mathrm e^{\mathfrak{su}(n)}\!\subseteq\mathrm{SU}(n)$.
• Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы $\mathbb {R}$-алгебр Ли: $\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{so}(3)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto\!\biggl(\begin{smallmatrix}0&-\delta&\gamma\\\delta&0&-\beta\\-\gamma&\beta&0\end{smallmatrix}\biggr)\end{align}\!\Biggr)$, $\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}(\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)\end{align}\!\Biggr)$ и $\Biggl(\!\begin{align}\mathbb R^3\!&\to\mathfrak{su}(2)\\\biggl(\begin{smallmatrix}\beta\\\gamma\\\delta\end{smallmatrix}\biggr)\!&\mapsto{\textstyle\frac12}\Bigl(\begin{smallmatrix}\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\Biggr)$.

  Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть $K$ — поле и ${\mathfrak {g}}$ — $K$-алгебра Ли; обозначим через ${}_{K}{\mathfrak {g}}$ векторное пространство над полем $K$, получающееся
  из алгебры ${\mathfrak {g}}$ при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
  (1) для любых $a\in {\mathfrak {g}}$, обозначая через $\mathrm {ad} _{a}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathfrak {g}}&\to {\mathfrak {g}}\\b&\mapsto [a,b]\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт: $\mathrm {ad} _{a}$ — линейный оператор (то есть $\mathrm{ad}_a\!\in\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)$);
  (2) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathfrak {g}}&\to {\mathfrak {gl}}({}_{K}{\mathfrak {g}})\\a&\mapsto \mathrm {ad} _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм алгебр Ли.

• Алгебра дифференцирований $K$-алгебры $A$: $\mathrm {Der} (A)=\{d\in {\mathfrak {gl}}({}_{K}\!A)\mid \forall \,a,b\in A\;{\bigl (}d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b){\bigr )}\}$ — подалгебра алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}({}_{K}\!A)$.
• Пример: пусть $M$ — открытое подмножество в $\mathbb {R} ^{n}$ и $v\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)$; тогда $\Biggl(\begin{align}\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)&\to\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)\\f&\mapsto\sum_{i=1}^nv^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\end{align}\Biggr)$ — дифференцирование алгебры $\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)$.