Алгебра phys 1 апрель–май

2  Линейная алгебра

2.3  Линейные операторы (часть 2)

2.3.1  Многочлены от линейных операторов, спектр и характеристический многочлен линейного оператора

• Эвалюация ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором $a$: $K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)$.
• Минимальный многочлен лин. оператора $a$: $\mu _{a}(a)=0$, $\mu _{a}$ нормирован, $\deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}$; $(\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]$.
• Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) если $f\in K[x]$, то $a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)$ (то есть $\mathrm{Ker}\,f(a)$ — $a$-инвариантное подпространство);
  (2) если $f,g\in K[x]$ и $f$ делит $g$, то $\,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)$;
  (3) если $k\in \mathbb {N} _{0}$, $f_1,\ldots,f_k\in K[x]$ и многочлены $f_{1},\ldots ,f_{k}$ попарно взаимно просты, то $\,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)$
  (и, значит, $(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)$).
• Проектор (идемпотент): $a^{2}=a\,\Leftrightarrow \,V=\mathrm {Ker} \,(a-\mathrm {id} _{V})\oplus \mathrm {Ker} \,a$. Отражение: $a^2=\mathrm{id}_V\,\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V)$ (здесь $\mathrm {char} \,K\neq 2$).
• Собственные число и вектор лин. операт. $a$: $a(v)=c\,v\,\land\,v\ne0$. Спектр лин. операт. $a$: $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}$. Лемма о спектре.

  Лемма о спектре. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное простр.-во над полем $K$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда $\{c\in K\mid\exists\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(a(v)=c\,v\bigr)\}\subseteq\mathrm{Spec}(a)$
  и, если $\dim V<\infty$, то "$\,\subseteq$" можно заменить на "$\,=$".

• Характеристический многочлен матрицы $a$: $\chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)$. Характеристический многочлен лин. оператора $a$: $\chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}$. Корректность опред.-я.
• След линейного оператора $a$: $\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}\,a_e^e$. Корректность определения. Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Теорема Гамильтона–Кэли.

  Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $n=\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}$ (и, значит, $|\mathrm{Spec}(a)|\le\deg\chi_a=n$);
  (2) $\chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a$;
  (3) если $\exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(a^m=0\bigr)$ (то есть $a$ — нильпотентный линейный оператор), то $\chi_a=x^n$.

  Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда $\chi _{a}(a)=0$.

• Кратности: $\alpha(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\chi_a\}$ (алгебраич. кратность), $\beta(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\mu_a\}$. Теорема о минимальном многочлене.

  Теорема о минимальном многочлене. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) $\mu _{a}$ делит $\chi _{a}$ (и, значит, для любых $c\in K$ выполнено $\beta (a,c)\leq \alpha (a,c)$);
  (2) $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}$.

2.3.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора

• Собственные подпространства: $V_1(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)$; геометрическая кратность: $\gamma (a,c)=\dim V_{1}(a,c)$. Лемма о собственных подпространствах.

  Лемма о собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $a\in \mathrm {End} (V)$, $k\in \mathbb {N} _{0}$, $c_1,\ldots,c_k\in K$ и
  $c_1,\ldots,c_k$ попарно различны; тогда
  (1) $\mathrm{Ker}\,((x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_k))(a)=V_1(a,c_1)\oplus\ldots\oplus V_1(a,c_k)$;
  (2) если $C_1\subseteq V_1(a,c_1),\ldots,C_k\subseteq V_k(a,c_k)$ и $C_1,\ldots,C_k$ — независимые множества, то $C_1\cup\ldots\cup C_k$ — независимое множество;
  (3) если $\dim V<\infty$, то для любых $c\in K$ выполнено $\gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)$.

• Теорема о диагонализуемых линейных операторах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$, что $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица;
  (у2) $\mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)$ (то есть многочлен $\mu _{a}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$);
  (у3) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)$ (то есть пространство $V$ раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора $a$);
  (у4) $\dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)$.
• Обобщенные собственные подпростр.-ва: $V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j$; относительные геометрич. кратности: $\gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)$.
• Жордановы клетки: $\mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\underline e_1^2+\ldots+\underline e_{n-1}^n$ (если $a=\mathrm{jc}_n(c)$, то $\mu_a=\chi_a=(x-c)^n$ и $\forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\underline e_1,\ldots,\underline e_j\rangle\bigr)$).
• Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и $c\in K$; тогда
  (1) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)$ и, если $V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)$, то $V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)$;
  (2) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $\beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)$;
  (3) $\{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)$ и $V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots$.
• Корневые подпространства: $V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)$. Нильпотентные части линейного оператора $a$: $\mathrm{nil}(a,c)=(a-c\cdot\mathrm{id}_V)|_{V(a,c)\to V(a,c)}$.
• Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$,
  $a\in \mathrm {End} (V)$ и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$, то это условие выполнено
  для любого линейного оператора $a$ в силу алгебраической замкнутости поля $\,\mathbb {C}$); тогда
  (1) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)$ (то есть пространство $V$ раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора $a$);
  (2) для любых $c\in K$ выполнено $\forall\,j\in\mathbb N_0\,\bigl(\mathrm{Ker}\,\mathrm{nil}(a,c)^j=V_j(a,c)\bigr)$, $\mathrm {nil} (a,c)$ — нильпотентный линейный оператор и $\dim V(a,c)=\alpha (a,c)$.