Алгебра phys 1 апрель–май

2  Линейная алгебра

2.3  Линейные операторы (часть 2)

2.3.1  Многочлены от линейных операторов, спектр и характеристический многочлен линейного оператора

• Эвалюация ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором $a$: $K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)$.
• Минимальный многочлен лин. оператора $a$: $\mu _{a}(a)=0$, $\mu _{a}$ нормирован, $\deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}$; $(\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]$.
• Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) если $f\in K[x]$, то $a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)$, а также, если $f,g\in K[x]$ и $f$ делит $g$, то $\,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)$;
  (2) если $k\in \mathbb {N} _{0}$, $f_1,\ldots,f_k\in K[x]$ и многочлены $f_{1},\ldots ,f_{k}$ попарно взаимно просты, то $\,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)$
  (и, значит, если $(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0$, то $V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)$).
• Проектор (идемпотент): $a^{2}=a\,\Leftrightarrow \,V=\mathrm {Ker} \,(a-\mathrm {id} _{V})\oplus \mathrm {Ker} \,a$. Отражение: $a^2=\mathrm{id}_V\,\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V)$ (здесь $\mathrm {char} \,K\neq 2$).
• Собственные число и вектор лин. операт. $a$: $a(v)=c\,v\,\land\,v\ne0$. Спектр лин. операт. $a$: $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}$. Лемма о спектре.

  Лемма о спектре. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное простр.-во над полем $K$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда $\{c\in K\mid\exists\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(a(v)=c\,v\bigr)\}\subseteq\mathrm{Spec}(a)$
  и, если $\dim V<\infty$, то "$\,\subseteq$" можно заменить на "$\,=$".

• Характеристический многочлен матрицы $a$: $\chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)$. Характеристический многочлен лин. оператора $a$: $\chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}$. Корректность опред.-я.
• След линейного оператора $a$: $\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}\,a_e^e$. Корректность определения. Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Теорема Гамильтона–Кэли.

  Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $n=\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}$ (и, значит, $|\mathrm{Spec}(a)|\le\deg\chi_a=n$);
  (2) $\chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a$;
  (3) если $\exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(a^m=0\bigr)$ (то есть $a$ — нильпотентный линейный оператор), то $\chi_a=x^n$.

  Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда $\chi _{a}(a)=0$.

• Кратности: $\alpha(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\chi_a\}$ (алгебраич. кратность), $\beta(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\mu_a\}$. Теорема о минимальном многочлене.

  Теорема о минимальном многочлене. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) многочлен $\mu _{a}$ делит многочлен $\chi _{a}$ (и, значит, $\forall \,c\in K\;{\bigl (}\beta (a,c)\leq \alpha (a,c){\bigr )}$);
  (2) $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}$ (и, значит, $|\mathrm{Spec}(a)|\le\deg\mu_a$).