Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь

3  Билинейная и полилинейная алгебра

						В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности) или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре- менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред. Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран- ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается. Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии
						In the 20th century, the subject came to be known as tensor analysis, and achieved broader acceptance with the introduction of Einstein's the- ory of general relativity, around 1915. General relativity is formulated completely in the language of tensors. Einstein had learned about them, with great difficulty, from the geometer Marcel Grossmann. Tullio Levi-Civita then initiated a correspondence with Einstein to correct mistakes Einstein had made in his use of tensor analysis. The correspondence lasted 1915–1917, and was characterized by mutual respect: "I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot" (from Einstein's letter to Levi-Civita). Статья «Tensor» в англоязычной Википедии

3.4  Тензорные произведения векторных пространств

3.4.1  Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами

• Тензорное произв.-е пространств: $V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}={\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}_{0}$, где ${\mathcal {F}}=\mathrm {FinFunc} (V_{1}\times \ldots \times V_{k},K)$ и ${\mathcal {F}}_{0}$ — подпространство полилинеаризации.
• Разложимый тензор: $v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}=(v_{1},\ldots ,v_{k})+{\mathcal {F}}_{0}\in {\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}_{0}$. Утверждение: $V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}=\langle \{v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\mid v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}\}\rangle$.
• Ранг тензора $T$: $\mathrm {rk} (T)$ равен минимальному среди всех таких чисел $m\in \mathbb {N} _{0}$, что $T=T_{1}+\ldots +T_{m}$, где $T_{1},\ldots ,T_{m}$ — разложимые тензоры.
• Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $V_{1},\ldots ,V_{k},Y$ — векторные пространства над полем $K$;
  тогда отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V_{1}\times \ldots \times V_{k}&\to V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}\\(v_{1},\ldots ,v_{k})&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ полилинейно, и для любых $\omega \in \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)$ существует единственный
  такой гомоморфизм $a\in \mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)$, что для любых $v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}$ выполнено $a(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})=\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})$
  (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)&\to \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)\\a&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto a(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств).
• Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$, $V_{1},\ldots ,V_{k}$ — векторные пространства над полем $K$ и $B_{1},\ldots ,B_{k}$ —
  базисы пространств $V_{1},\ldots ,V_{k}$ соответственно; тогда все тензоры $b_{1}\otimes \ldots \otimes b_{k}$, где $b_{1}\in B_{1},\ldots ,b_{k}\in B_{k}$, попарно различны и вместе
  образуют базис пространства $V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}$, а также, если $\dim V_{1},\ldots ,\dim V_{k}<\infty$, то $\dim(V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k})=\dim V_{1}\cdot \ldots \cdot \dim V_{k}$.
• Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть $K$ — поле и $U,V,W$ — векторные пространства над полем $K$; тогда
  $(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W$ и $V\otimes K\cong K\otimes V\cong V$, а также $V\otimes W\cong W\otimes V$.
• Тензорное произв.-е тензоров: $T\otimes T'$. Тензорное произв.-е гомоморфизмов ($a\in \mathrm {Hom} (V,Y),b\in \mathrm {Hom} (W,Z)$): $(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)$.
• Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть $K$ — поле и $V,W,Y,Z$ — векторные пространства над полем $K$; тогда
  (1) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)\otimes \mathrm {Hom} (W,Z)&\to \mathrm {Hom} (V\otimes W,Y\otimes Z)\\a\otimes b&\mapsto {\bigl (}v\otimes w\mapsto a(v)\otimes b(w){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
  если $\dim V,\dim W,\dim Y,\dim Z<\infty$, то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
  (2) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}Y\otimes V^{*}\!&\to \mathrm {Hom} (V,Y)\\y\otimes \lambda &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \lambda (v)\,y{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если $\dim V,\dim Y<\infty$, то
  данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
  (3) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes W^{*}\!&\to (V\otimes W)^{*}\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}v\otimes w\mapsto \lambda (v)\,\mu (w){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes W^{*}\!&\to \mathrm {Bi} (V,W,K)\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}(v,w)\mapsto \lambda (v)\,\mu (w){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективные гомоморфизмы векторных
  пространств, а также, если $\dim V,\dim W<\infty$, то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.

3.4.2  Тензорная алгебра и тензоры в координатах

• Пространство тензоров типа $(p,q)$: ${\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V=V^{\otimes p}\!\otimes (V^{*})^{\otimes q}$. Примеры: ${\mathcal {T}}_{\,\,0}^{0}V=K$, ${\mathcal {T}}^{1}V=V$, ${\mathcal {T}}_{\,1}V=V^{*}$, ${\mathcal {T}}_{\,\,1}^{1}V\cong \mathrm {End} (V)$, ${\mathcal {T}}_{\,2}V\cong \mathrm {Bi} (V)$.
• Примеры: ${\mathcal {T}}_{\,\,2}^{1}V\cong \mathrm {Bi} (V,V,V)$ — пространство структур алгебры на $V$, ${\mathcal {T}}_{\,\,1}^{2}V\cong \mathrm {Hom} (V,V\otimes V)$ — пространство структур коалгебры на $V$.
• Утверждение: пусть $\dim V<\infty$ и $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathcal {T}}_{\,k}V={\mathcal {T}}^{k}V^{*}\!&\to \mathrm {Multi} _{k}V\\\lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{k}&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto \lambda _{1}(v_{1})\ldots \lambda _{k}(v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм вект. пространств.
• Тензорная алгебра: ${\mathcal {T}}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathcal {T}}^{k}V$ — ассоциативная $K$-алгебра с $1$ (в опред. умножения используются изоморфизмы ${\mathcal {T}}^{k}V\otimes {\mathcal {T}}^{k'}\!V\cong {\mathcal {T}}^{k+k'}\!V$).
• Теорема о тензорной алгебре. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через
  $n$ число $\dim V$; тогда множество $\{e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}\!\mid k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}\}$ — базис алгебры $\,{\mathcal {T}}(V)$, и для любых элементов
  $e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}$ и $e_{i_{1}'}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k'}'}$ этого базиса выполнено $(e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}})\otimes (e_{i_{1}'}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}\!\otimes e_{i_{1}'}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k'}'}$ (и, значит,
  линейное отображение, заданное на базисе по правилу ${\biggl (}\!{\begin{aligned}K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]&\to {\mathcal {T}}(V)\\x_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{i_{k}}\!&\mapsto e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$, — изоморфизм алгебр с $1$).
• Тензор в координатах: $T=\!\!\!\!\!\sum _{i_{1},\ldots ,i_{p},j_{1},\ldots ,j_{q}}\!\!\!\!\!{\stackrel {e}{T}}\!\,_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{p}}\!\otimes e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{q}}$. Примеры: $v=\sum _{i=1}^{n}(v^{e})^{i}e_{i}$, $\lambda =\sum _{j=1}^{n}(\lambda _{e})_{j}\,e^{j}$, $a=\!\!\sum _{1\leq i,j\leq n}\!\!(a_{e}^{e})_{j}^{i}\,e_{i}\otimes e^{j}$.
• Примеры: $\sigma =\!\!\sum _{1\leq j_{1},j_{2}\leq n}\!\!(\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\,e^{j_{1}}\!\otimes e^{j_{2}}$ — метрический тензор, $\omega =\!\!\!\sum _{1\leq j_{1},\ldots ,j_{n}\leq n}\!\!\!\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {sgn} (j_{1},\ldots ,j_{n})\,e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{n}}$ — форма объема.
• Формула замены коорд. тензора: $T_{{\tilde {j_{1}}},\ldots ,{\tilde {j_{q}}}}^{{\tilde {i_{1}}},\ldots ,{\tilde {i_{p}}}}\!=\!\!\!\!\!\sum _{k_{1},\ldots ,k_{p},l_{1},\ldots ,l_{q}}\!\!\!\!\!(e_{k_{1}})^{\tilde {i_{1}}}\!\ldots (e_{k_{p}})^{\tilde {i_{p}}}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}\!\ldots (e_{\tilde {j_{q}}})^{l_{q}}\,T_{l_{1},\ldots ,l_{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}$ (здесь $T_{{\tilde {j_{1}}},\ldots ,{\tilde {j_{q}}}}^{{\tilde {i_{1}}},\ldots ,{\tilde {i_{p}}}}\!={\stackrel {\tilde {e}}{T}}\!\,_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}$ и $T_{l_{1},\ldots ,l_{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}\!={\stackrel {e}{T}}\!\,_{l_{1},\ldots ,l_{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}$).

3.4.3  Операции над тензорами

• Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление $\mathrm {lat}$ группы $\mathrm {S} _{k}$ в простр.-ве ${\mathcal {T}}^{k}V$: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {lat} _{u}\colon {\mathcal {T}}^{k}V&\to {\mathcal {T}}^{k}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}&\mapsto v_{u^{-1}(1)}\!\otimes \ldots \otimes v_{u^{-1}(k)}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Тензорное произведение тензоров в координатах: ${\bigl (}T\otimes T'{\bigr )}_{\;\;\;\;\;\;\;\;j_{1},\ldots ,j_{q}\;\;\;\;\;\;\;j_{1}',\ldots ,j_{q'}'}^{i_{1},\ldots ,i_{p}\;\;\;\;\;\;\;i_{1}',\ldots ,i_{p'}'}\!\!=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}\!\cdot {T'}_{j_{1}',\ldots ,j_{q'}'}^{i_{1}',\ldots ,i_{p'}'}$. Кронекеровское произведение матриц.
• Свертка по паре $(b,d)$: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {con} _{d}^{b}\,\colon {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V&\to {\mathcal {T}}_{\;q-1}^{p-1}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}&\mapsto \lambda _{d}(v_{b})\,v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{d-1}\!\otimes \lambda _{d+1}\!\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Свертка по паре $(b,d)$ в координатах: ${\bigl (}\mathrm {con} _{d}^{b}(T){\bigr )}_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},i_{b+1},\ldots ,i_{p}}\!=\sum _{h=1}^{n}T_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},h,j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},h,i_{b+1},\ldots ,i_{p}}$. Теорема о свертках тензоров малой валентности.

  Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) для любых $v\in V$, $\lambda \in V^{*}$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $\lambda (v)=\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes \lambda )$, $\mathrm {tr} \,a=\mathrm {con} _{1}^{1}(a)$, $a(v)=\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes a)$ и $\lambda \circ a=\mathrm {con} _{2}^{1}(a\otimes \lambda )$;
  (2) для любых $v,w\in V$ и $\sigma \in \mathrm {Bi} (V)$ выполнено $\sigma (v,w)=\mathrm {con} _{1}^{1}(\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes w\otimes \sigma ))$ и ${\downarrow }_{\sigma }v=\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes \sigma )$.

• Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $\sigma \in \mathrm {Bi} (V)$; тогда
  (1) прообраз гомоморфизма $\downarrow _{\sigma }$ относительно изоморфизма ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes V^{*}\!&\to \mathrm {Hom} (V,V^{*})\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \lambda (v)\,\mu {\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ равен тензору $\sigma$;
  (2) если форма $\sigma$ невырождена, то, обозначая через $^{-1}\sigma$ прообраз гомоморфизма $\uparrow ^{\sigma }$ относительно изоморфизма ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V\otimes V&\to \mathrm {Hom} (V^{*},V)\\v\otimes w&\mapsto {\bigl (}\lambda \mapsto \lambda (v)\,w{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$
  (тензор $^{-1}\sigma$ — тензор типа $(2,0)$, обратный к тензору $\sigma$), для любых $\lambda \in V^{*}$ имеем следующий факт: ${\uparrow }^{\sigma }\lambda =\mathrm {con} _{1}^{1}(^{-1}\sigma \otimes \lambda )$.
• Опускание индекса: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}(\downarrow _{\sigma })_{d}^{b}\,\colon {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V&\to {\mathcal {T}}_{\;q+1}^{p-1}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{d-1}\!\otimes ({\downarrow }_{\sigma }v_{b})\otimes \lambda _{d}\!\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Подъем индекса: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}(\uparrow ^{\sigma })_{d}^{b}\,\colon {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V&\to {\mathcal {T}}_{\;q-1}^{p+1}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{b-1}\!\otimes ({\uparrow }^{\sigma }\lambda _{d})\otimes v_{b}\!\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{d-1}\!\otimes \lambda _{d+1}\!\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Опускание и подъем в координатах: ${\bigl (}(\downarrow _{\sigma })_{d}^{b}(T){\bigr )}_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},j,j_{d},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},i_{b+1},\ldots ,i_{p}}\!=\sum _{i_{b}=1}^{n}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b},\ldots ,i_{p}}\sigma _{i_{b},j}$, ${\bigl (}(\uparrow ^{\sigma })_{d}^{b}(T){\bigr )}_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},i,i_{b},\ldots ,i_{p}}\!\!=\sum _{j_{d}=1}^{n}(^{-1}\sigma )^{j_{d},i}\,T_{j_{1},\ldots ,j_{d},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}$.

3.5  Симметрические и внешние степени векторных пространств

3.5.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами

• Симметрическая и внешняя степени: ${\mathsf {S}}^{k}V=\{T\in {\mathcal {T}}^{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {lat} _{u}(T)=T{\bigr )}\}$ и ${\mathsf {\Lambda }}^{k}V=\{T\in {\mathcal {T}}^{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {lat} _{u}(T)=\mathrm {sgn} (u)\,T{\bigr )}\}$.
• Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — вект. пр. над $K$,
  $\dim V<\infty$, $k\in \mathbb {N} _{0}$; обозначим через $\iota$ изоморфизм ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathcal {T}}^{k}V^{*}\!&\to \mathrm {Multi} _{k}V\\\lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{k}&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto \lambda _{1}(v_{1})\ldots \lambda _{k}(v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$; тогда
  (1) для любых $u\in \mathrm {S} _{k}$, обозначая через $\,\mathrm {laf} _{u}$ автоморфизм ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Multi} _{k}V&\to \mathrm {Multi} _{k}V\\\omega &\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto \omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующие факты:
  $\iota \circ \mathrm {lat} _{u}=\mathrm {laf} _{u}\!\circ \iota$, $\mathrm {SMulti} _{k}V=\{\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {laf} _{u}(\omega )=\omega {\bigr )}\}$ и $\,\mathrm {AMulti} _{k}V=\{\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {laf} _{u}(\omega )=\mathrm {sgn} (u)\,\omega {\bigr )}\}$;
  (2) $\iota ({\mathsf {S}}^{k}V^{*})=\mathrm {SMulti} _{k}V$ и $\iota ({\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*})=\mathrm {AMulti} _{k}V$ (и, значит, ${\mathsf {S}}^{k}V^{*}\!\cong \mathrm {SMulti} _{k}V$ и $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*}\!\cong \mathrm {AMulti} _{k}V$).
• Операторы симметризации и альтернирования: $\mathrm {sym} _{k}={\frac {1}{k!}}\!\sum _{u\in \mathrm {S} _{k}}\mathrm {lat} _{u}$ и $\mathrm {alt} _{k}={\frac {1}{k!}}\!\sum _{u\in \mathrm {S} _{k}}\mathrm {sgn} (u)\,\mathrm {lat} _{u}$. Лемма о симметризации и альтернировании.

  Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) для любых $u\in \mathrm {S} _{k}$ выполнено $\mathrm {lat} _{u}\!\circ \mathrm {sym} _{k}=\mathrm {sym} _{k}\circ \mathrm {lat} _{u}=\mathrm {sym} _{k}$ и $\mathrm {lat} _{u}\!\circ \mathrm {alt} _{k}=\mathrm {alt} _{k}\circ \mathrm {lat} _{u}=\mathrm {sgn} (u)\,\mathrm {alt} _{k}$;
  (2) для любых $T\in {\mathsf {S}}^{k}V$ выполнено $\mathrm {sym} _{k}(T)=T$ и для любых $T\in {\mathsf {\Lambda }}^{k}V$ выполнено $\mathrm {alt} _{k}(T)=T$;
  (3) $\mathrm {Im} \,\mathrm {sym} _{k}={\mathsf {S}}^{k}V$, $\mathrm {sym} _{k}^{2}=\mathrm {sym} _{k}$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {alt} _{k}={\mathsf {\Lambda }}^{k}V$, $\mathrm {alt} _{k}^{2}=\mathrm {alt} _{k}$ (то есть $\mathrm {sym} _{k}$ — проектор на $\,{\mathsf {S}}^{k}V$ и $\mathrm {alt} _{k}$ — проектор на $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$).

• Симметрич. произведение векторов: $v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}=\mathrm {sym} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})$. Внешнее произведение векторов: $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}=k!\,\mathrm {alt} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})$.
• Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — вект. пр. над $K$, $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) ${\mathsf {S}}^{k}V=\langle \{v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}\mid v_{1},\ldots ,v_{k}\in V\}\rangle$ и для любых $u\in \mathrm {S} _{k}$ и $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ выполнено $v_{u(1)}\!\cdot \ldots \cdot v_{u(k)}\!=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}$;
  (2) ${\mathsf {\Lambda }}^{k}V=\langle \{v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\mid v_{1},\ldots ,v_{k}\in V\}\rangle$ и для любых $u\in \mathrm {S} _{k}$ и $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ выполнено $v_{u(1)}\!\wedge \ldots \wedge v_{u(k)}\!=\mathrm {sgn} (u)\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$.
• Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$,
  $k\in \mathbb {N} _{0}$, $\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда
  (1) все тензоры $e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}$, где $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства $\,{\mathsf {S}}^{k}V$;
  (2) все тензоры $e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}$, где $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i_{1}<\ldots <i_{k}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$;
  (3) $\dim {\mathsf {S}}^{k}V=\!{\biggl (}\!\!{\binom {n}{k}}\!\!{\biggr )}\!={\binom {n+k-1}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}$ и $\,\dim {\mathsf {\Lambda }}^{k}V={\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$.
• Симметрич. тензор в координатах: $T=\!\!\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}\leq n}\!\!\!\!\!{\stackrel {e}{T}}\!\,^{(i_{1},\ldots ,i_{k})}e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}$. Антисимметрич. тензор в координатах: $T=\!\!\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}\!\!\!\!\!{\stackrel {e}{T}}\!\,^{[i_{1},\ldots ,i_{k}]}e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}$.
• Примеры: $\omega =\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,e^{1}\wedge \ldots \wedge e^{n}$ — форма объема, $\dim V=3\,\Rightarrow \,v\wedge w=(v\times w)^{3}\,e_{1}\wedge e_{2}-(v\times w)^{2}\,e_{1}\wedge e_{3}+(v\times w)^{1}\,e_{2}\wedge e_{3}$.

3.5.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра

• Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: $a^{\cdot k}\!=(a^{\otimes k})|_{{\mathsf {S}}^{k}V\to {\mathsf {S}}^{k}Y}$ и $a^{\wedge k}\!=(a^{\otimes k})|_{{\mathsf {\Lambda }}^{k}V\to {\mathsf {\Lambda }}^{k}Y}$ (корректность следует из $a^{\otimes k}\!\circ \mathrm {lat} _{u}=\mathrm {lat} _{u}\!\circ a^{\otimes k}$).
• Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ и $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$; тогда $a^{\cdot k}(v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k})=a(v_{1})\cdot \ldots \cdot a(v_{k})$ и $a^{\wedge k}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k})=a(v_{1})\wedge \ldots \wedge a(v_{k})$.
• Симметрическое произведение тензоров: $T\cdot T'=\mathrm {sym} _{k+k'}(T\otimes T')$. Внешнее произведение тензоров: $T\wedge T'={\frac {(k+k')!}{k!\,k'!}}\,\mathrm {alt} _{k+k'}(T\otimes T')$.
• Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над
  полем $K$, $k,k',k''\!\in \mathbb {N} _{0}$, $v_{1},\ldots ,v_{k},v_{1}',\ldots ,v_{k'}'\!\in V$ и $T\in {\mathcal {T}}^{k}V$, $T'\!\in {\mathcal {T}}^{k'}\!V$, $T''\!\in {\mathcal {T}}^{k''}\!V$; тогда
  (1) $(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})\cdot (v_{1}'\otimes \ldots \otimes v_{k'}')=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}\cdot v_{1}'\cdot \ldots \cdot v_{k'}'$ и $(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})\wedge (v_{1}'\otimes \ldots \otimes v_{k'}')={\frac {1}{k!\,k'!}}\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\wedge v_{1}'\wedge \ldots \wedge v_{k'}'$;
  (2) $\mathrm {sym} _{k}(T)\cdot T'=T\cdot \mathrm {sym} _{k'}(T')=T\cdot T'$ и $\mathrm {alt} _{k}(T)\wedge T'=T\wedge \mathrm {alt} _{k'}(T')=T\wedge T'$;
  (3) $(T\cdot T')\cdot T''=T\cdot (T'\cdot T'')=\mathrm {sym} _{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')$ и $(T\wedge T')\wedge T''=T\wedge (T'\wedge T'')={\frac {(k+k'+k'')!}{k!\,k'!\,k''!}}\,\mathrm {alt} _{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')$
  (симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
  (4) $(\ldots (v_{1}\cdot v_{2})\cdot \ldots \cdot v_{k-1})\cdot v_{k}=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}$ и $(\ldots (v_{1}\wedge v_{2})\wedge \ldots \wedge v_{k-1})\wedge v_{k}=v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$;
  (5) $T\cdot T'=T'\cdot T$ и $T\wedge T'=(-1)^{kk'}T'\wedge T$ (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно).
• Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): ${\mathsf {S}}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathsf {S}}^{k}V$ — ассоциативная коммутативная $K$-алгебра с $1$.
• Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): ${\mathsf {\Lambda }}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$ — ассоциативная суперкоммутативная $K$-алгебра с $1$.
• Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$
  и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда
  (1) множество $\{e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}\!\mid k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\},\,i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}\}$ — базис алгебры $\,{\mathsf {S}}(V)$, и для любых элементов $e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}$ и
  $e_{i_{1}'}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k'}'}$ этого базиса выполнено $(e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}})\cdot (e_{i_{1}'}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{{\hat {i}}_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{{\hat {i}}_{k+k'}}$, где числа ${\hat {i}}_{1},\ldots ,{\hat {i}}_{k+k'}$ суть числа $i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'$,
  упорядоченные по неубыванию;
  (2) множество $\{e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}\!\mid k\in \{0,\ldots ,n\},\,i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\},\,i_{1}<\ldots <i_{k}\}$ — базис алгебры $\,{\mathsf {\Lambda }}(V)$, и для любых элементов
  $e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}$ и $e_{i_{1}'}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k'}'}$ этого базиса выполнено $(e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}})\wedge (e_{i_{1}'}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm {sgn} (i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'\!)\,e_{{\hat {i}}_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{{\hat {i}}_{k+k'}}$, где
  числа ${\hat {i}}_{1},\ldots ,{\hat {i}}_{k+k'}$ суть числа $i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'$, упорядоченные по возрастанию.

3.5.3  Поливектор ориентации и оператор Ходжа

• Билин. формы $\otimes ^{k}\sigma$ и $\wedge ^{k}\sigma$: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\otimes ^{k}\sigma \,\colon {\mathcal {T}}^{k}V\times {\mathcal {T}}^{k}V&\to K\\(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k},w_{1}\otimes \ldots \otimes w_{k})&\mapsto \sigma (v_{1},w_{1})\cdot \ldots \cdot \sigma (v_{k},w_{k})\end{aligned}}\!{\biggr )}\!\in \mathrm {Bi} ({\mathcal {T}}^{k}V)$ и $\wedge ^{k}\sigma ={\frac {1}{k!}}{\bigl (}{\otimes }^{k}\sigma {\bigr )}|_{{\mathsf {\Lambda }}^{k}V\times {\mathsf {\Lambda }}^{k}V}\!\in \mathrm {Bi} ({\mathsf {\Lambda }}^{k}V)$.
• Лемма о продолжении билинейных форм на тензоры. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — вект. пространство над $K$, $\sigma \in \mathrm {Bi} (V)$, $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) для любых $v_{1},\ldots ,v_{k},w_{1},\ldots ,w_{k}\in V$ выполнено $(\wedge ^{k}\sigma )(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k},w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{k})=\det \!{\Biggl (}{\begin{smallmatrix}\sigma (v_{1},w_{1})&\ldots &\sigma (v_{1},w_{k})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma (v_{k},w_{1})&\ldots &\sigma (v_{k},w_{k})\end{smallmatrix}}{\Biggr )}$;
  (2) если $\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$, то для любых таких $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,\dim V\}$, что $i_{1}<\ldots <i_{k}$, выполнено ${\downarrow _{\wedge ^{k}\sigma }}(e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}})=$
  $=\prod _{h=1}^{k}\sigma (e_{i_{h}},e_{i_{h}})\,(e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}})^{*}$ (и, значит, если форма $\sigma$ невырождена, то и форма $\wedge ^{k}\sigma$ невырождена).
• Отнош.-е одинаковой ориентированности: $e\;{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {or} }{\sim }}\;{\tilde {e}}\,\Leftrightarrow \,\det \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}>0$. Утверждение: $|\mathrm {OB} (V)/{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {or} }{\sim }}|=2$. Ориентация: элемент $\mathrm {OB} _{>0}(V)$ мн.-ва $\mathrm {OB} (V)/{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {or} }{\sim }}$.
• Поливектор ориентации в псевдоевклидовом простр.-ве ($n=\dim V$): элемент $z_{\sigma }$ мн.-ва $\{z\in {\mathsf {\Lambda }}^{n}V\mid (\wedge ^{n}\sigma )(z,z)=\mathrm {sd} (\sigma )\}$ ($\mathrm {sd} (\sigma )=(-1)^{\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )}$).
• Теорема о поливекторе ориентации. Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\,\mathbb {R}$, $\dim V<\infty$, $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$ и форма $\sigma$ невырождена
  (то есть $V$ — псевдоевклидово пространство); обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда
  (1) для любых $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ и $e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$ выполнено $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=\det \!{\bigl (}v_{1}^{e}\;\ldots \;v_{n}^{e}{\bigr )}\,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}$ и ${\tilde {e}}_{1}\wedge \ldots \wedge {\tilde {e}}_{n}=\det \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}\,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}$;
  (2) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {OB} (V)/{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {or} }{\sim }}&\to \{z\in {\mathsf {\Lambda }}^{n}V\mid (\wedge ^{n}\sigma )(z,z)=\mathrm {sd} (\sigma )\}\\\mathrm {cl} \,_{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {or} }{\sim }}(e)&\mapsto |\det \sigma _{e,e}|^{-1/2}\,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ определено корректно и является биекцией;
  (3) если множество $\mathrm {OB} _{>0}(V)$ и поливектор $z_{\sigma }$ соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$
  выполнено $e\in \mathrm {OB} _{>0}(V)\,\Leftrightarrow \,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}=|\det \sigma _{e,e}|^{1/2}z_{\sigma }$ (в частности, если $e\in \mathrm {OnOB} (V,\sigma )$, то $e\in \mathrm {OB} _{>0}(V)\,\Leftrightarrow \,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}=z_{\sigma }$).
• Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: $\omega _{\sigma }(v_{1},\ldots ,v_{n})=z_{\sigma }^{*}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})$; если $e\in \mathrm {OB} _{>0}(V)$, то $\omega _{\sigma }=|\det \sigma _{e,e}|^{1/2}\,e^{1}\wedge \ldots \wedge e^{n}$.
• Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: $*={\uparrow ^{\wedge ^{n-k}\sigma }}\!\circ \!{\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathsf {\Lambda }}^{k}V&\to ({\mathsf {\Lambda }}^{n-k}V)^{*}\\x&\mapsto {\bigl (}y\mapsto z_{\sigma }^{*}(x\wedge y){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$; вект. произвед.-е: $v_{1}\times \ldots \times v_{n-1}=*(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n-1})$.
• Теорема об операторе Ходжа. Пусть $V$ — векторное пространство над $\,\mathbb {R}$, $\dim V<\infty$, $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$, форма $\sigma$ невырождена и $z_{\sigma }$ — поливектор
  ориентации в $V$ (то есть $V$ — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через $n$ число $\dim V$; пусть $k\in \{0,\ldots ,n\}$; тогда
  (1) для любых $x\in {\mathsf {\Lambda }}^{k}V$ поливектор $*x$ однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:
  $\forall \,y\in {\mathsf {\Lambda }}^{n-k}V\;{\bigl (}(\wedge ^{n-k}\sigma )(*x,y)=z_{\sigma }^{*}(x\wedge y){\bigr )}$ и $\forall \,y\in {\mathsf {\Lambda }}^{n-k}V\;{\bigl (}(\wedge ^{n-k}\sigma )(*x,y)\,z_{\sigma }=x\wedge y{\bigr )}$;
  (2) если $e\in \mathrm {OB} _{>0}(V)\cap \mathrm {OnOB} (V,\sigma )$, то для любых таких $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$, что $i_{1}<\ldots <i_{k}$, выполнено $*(e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}})=$
  $=\prod _{h=1}^{n-k}\sigma (e_{{\bar {i}}_{h}},e_{{\bar {i}}_{h}})\,\mathrm {sgn} (i_{1},\ldots ,i_{k},{\bar {i}}_{1},\ldots ,{\bar {i}}_{n-k})\,e_{{\bar {i}}_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{{\bar {i}}_{n-k}}$, где числа ${\bar {i}}_{1},\ldots ,{\bar {i}}_{n-k}$ суть числа из множества $\{1,\ldots ,n\}\setminus \{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$,
  упорядоченные по возрастанию (в частности, $*1=\mathrm {sd} (\sigma )\,z_{\sigma }$ и $*z_{\sigma }=1$);
  (3) оператор ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathsf {\Lambda }}^{k}V&\to {\mathsf {\Lambda }}^{n-k}V\\x&\mapsto *x\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств, и для любых $x\in {\mathsf {\Lambda }}^{k}V$ выполнено $*{*x}=\mathrm {sd} (\sigma )\,(-1)^{k(n-k)}x$;
  (4) если $n\geq 1$, то для любых $v_{1},\ldots ,v_{n-1},w\in V$ выполнено $\sigma (v_{1}\times \ldots \times v_{n-1},w)=\omega _{\sigma }(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)$ и $v_{1}\times \ldots \times v_{n-1}\in \langle v_{1},\ldots ,v_{n-1}\rangle ^{\perp }$.

3.6  Алгебраические основы дифференциальной геометрии

3.6.1  Многообразия с глобальной гладкой структурой

• Глобальная $n$-мерная система координат на $M$ — биекция между $M$ и открытым подмн.-вом в $\mathbb {R} ^{n}$; соглашение: глобальность далее подразумевается.
• Отнош.-е согласованности: ${\tilde {\alpha }}\circ \alpha ^{-1}$ — диффеоморфизм; $n$-мерная гладкая структура — класс согласованности $n$-мерных систем координат (атлас).
• Множество гладких отображений (морфизмов): $\mathrm {C} ^{\infty }\!(M,N)=\{\varphi \in \mathrm {Map} (M,N)\mid \exists \,\alpha \in {\mathcal {A}}_{M},\,\beta \in {\mathcal {B}}_{N}\;{\bigl (}\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\!\in \mathrm {C} ^{\infty }\!(\mathrm {Codom} \,\alpha ,\mathrm {Codom} \,\beta ){\bigr )}\}$.
• Обозначения: $\mathrm {d} \varphi (m)_{\alpha }^{\beta }=\mathrm {d} (\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1})(\alpha (m))$ и $\mathrm {c} _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}(m)=\mathrm {d} ({\tilde {\alpha }}\circ \alpha ^{-1})(\alpha (m))$, $\alpha (m)=(x^{1}(m),\ldots ,x^{n}(m))$ (тогда $\mathrm {c} _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}(m)_{i}^{\tilde {i}}={\frac {\partial x^{\tilde {i}}}{\partial x^{i}}}(\alpha (m))$).
• Лемма о замене координат. Мн.-во $\mathrm {Paths} (M)_{m}\!=\bigcup _{U}\,\{p\in \mathrm {C} ^{\infty }\!(U,M)\mid p(0)=m\}$ ($U$ — откр. в $\mathbb {R}$, $0\in U$) и $\mathbb {R}$-алгебра $\mathrm {Func} (M)=\mathrm {C} ^{\infty }\!(M,\mathbb {R} )$.

  Лемма о замене координат. Пусть $M,N$ — многообразия (с глобальной гладкой структурой), $m\in M$, $\varphi \in \mathrm {C} ^{\infty }\!(M,N)$ и $\alpha ,{\tilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}_{M}$, $\beta ,{\tilde {\beta }}\in {\mathcal {B}}_{N}$;
  тогда $\,\mathrm {d} \varphi (m)_{\tilde {\alpha }}^{\tilde {\beta }}=\mathrm {c} _{\beta }^{\tilde {\beta }}(\varphi (m))\cdot \mathrm {d} \varphi (m)_{\alpha }^{\beta }\cdot \mathrm {c} _{\tilde {\alpha }}^{\alpha }(m)$ (это матричная запись).

• Скорость в координатах ($p\in \mathrm {C} ^{\infty }\!(U,M)$, где $U$ — откр. в $\mathbb {R}$, $\tau \in U$): $p'(\tau )^{\alpha }\!=\mathrm {d} p(\tau )_{\mathrm {id} _{U}}^{\alpha }\!\!=(\alpha \circ p)'(\tau )\in \mathbb {R} ^{n}$ и $p'(\tau )^{i}=(p'(\tau )^{\alpha })^{i}={\bigl (}(\alpha \circ p)^{i}{\bigr )}'(\tau )$.
• Дифференциал в координатах ($f\in \mathrm {Func} (M)$): $\mathrm {d} f(m)_{\alpha }\!=\mathrm {d} f(m)_{\alpha }^{\mathrm {id} _{\mathbb {R} }}\!=\mathrm {d} (f\circ \alpha ^{-1})(\alpha (m))\in \mathbb {R} _{n}$ и $\partial _{j}f(m)=(\mathrm {d} f(m)_{\alpha })_{j}={\frac {\partial (f\circ \alpha ^{-1})}{\partial x^{j}}}(\alpha (m))$.
• Теорема о замене координат для скорости пути и дифференциала функции. Пусть $M$ — многообразие (с г. г. с.), $m\in M$, $p\in \mathrm {Paths} (M)_{m}$,
  $f\in \mathrm {Func} (M)$ и $\alpha ,{\tilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}_{M}$; обозначим через $n$ число $\dim M$; тогда
  (1) $p'(0)^{\tilde {\alpha }}\!=\mathrm {c} _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}(m)\cdot p'(0)^{\alpha }$ (это матричная запись) и $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}p'(0)^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{\tilde {i}}}{\partial x^{k}}}(\alpha (m))\,p'(0)^{k}{\Bigr )}$ (это покомпонентная запись);
  (2) $\mathrm {d} f(m)_{\tilde {\alpha }}\!=\mathrm {d} f(m)_{\alpha }\!\cdot \mathrm {c} _{\tilde {\alpha }}^{\alpha }(m)$ (это матричная запись) и $\forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\partial _{\tilde {j}}f(m)=\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial x^{l}}{\partial x^{\tilde {j}}}}({\tilde {\alpha }}(m))\,\partial _{l}f(m){\Bigr )}$ (это покомпонентная запись);
  (3) $\forall \,{\breve {p}}\in \mathrm {Paths} (M)_{m}\;{\bigl (}p'(0)^{\alpha }\!={\breve {p}}'(0)^{\alpha }\Leftrightarrow \,p'(0)^{\tilde {\alpha }}\!={\breve {p}}'(0)^{\tilde {\alpha }}{\bigr )}$ и $\forall \,{\breve {f}}\in \mathrm {Func} (M)\;{\bigl (}\mathrm {d} f(m)_{\alpha }\!=\mathrm {d} {\breve {f}}(m)_{\alpha }\Leftrightarrow \,\mathrm {d} f(m)_{\tilde {\alpha }}\!=\mathrm {d} {\breve {f}}(m)_{\tilde {\alpha }}{\bigr )}$.

3.6.2  Касательное пространство и кокасательное пространство

• Отношения ${\underset {\scriptscriptstyle m}{\sim }}$ и ${\overset {*}{\underset {\scriptscriptstyle m}{\sim }}}$: $p\;{\underset {\scriptscriptstyle m}{\sim }}\;{\breve {p}}\,\Leftrightarrow \,\exists \,\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}\,{\bigl (}p'(0)^{\alpha }\!={\breve {p}}'(0)^{\alpha }{\bigr )}$ и $f\;{\overset {*}{\underset {\scriptscriptstyle m}{\sim }}}\;{\breve {f}}\,\Leftrightarrow \,\exists \,\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}\,{\bigl (}\mathrm {d} f(m)_{\alpha }\!=\mathrm {d} {\breve {f}}(m)_{\alpha }{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\exists \,\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}\,{\bigl (}\mathrm {d} (f-{\breve {f}})(m)_{\alpha }\!=0{\bigr )}$.
• Скорость пути: $p'(0)=\mathrm {cl} \,_{\underset {\scriptscriptstyle m}{\sim }}(p)\in \mathrm {Paths} (M)_{m}/{\underset {\scriptscriptstyle m}{\sim }}$. Касательное пространство в точке $m$: $\mathrm {T} _{m}M=\mathrm {Paths} (M)_{m}/{\underset {\scriptscriptstyle m}{\sim }}=\{p'(0)\mid p\in \mathrm {Paths} (M)_{m}\}$.
• Дифференциал функции: $\mathrm {d} f(m)=\mathrm {cl} \,_{\overset {*}{\underset {\scriptscriptstyle m}{\sim }}}(f)\in \mathrm {Func} (M)/{\overset {*}{\underset {\scriptscriptstyle m}{\sim }}}$. Кокасател. пр.-во в точке $m$: $\mathrm {T} _{m}^{*}M=\mathrm {Func} (M)/{\overset {*}{\underset {\scriptscriptstyle m}{\sim }}}=\mathrm {Func} (M)/\mathrm {Ker} (f\mapsto \mathrm {d} f(m)_{\alpha })$.
• Базисные векторы и ковекторы, опред. сист. координат $\alpha$: ${\frac {\partial }{\partial x^{i}}}(m)={\bigl (}\tau \mapsto \alpha ^{-1}(\alpha (m)+\tau \,\mathrm {se} _{i}){\bigr )}'(0)\in \mathrm {T} _{m}M$ и $\mathrm {d} x^{j}(m)=\mathrm {d} (\mathrm {se} ^{j}\!\cdot \alpha )(m)\in \mathrm {T} _{m}^{*}M$.
• Теорема о касательном пространстве. Пусть $M$ — многообразие (с г. г. с.), $m\in M$ и $\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}$; обозначим через $n$ число $\dim M$; тогда
  (1) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M&\to \mathbb {R} ^{n}\\p'(0)&\mapsto p'(0)^{\alpha }\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ определено корректно и является биекцией; определим на множестве $\,\mathrm {T} _{m}M$ структуру векторного
  пространства над $\,\mathbb {R}$ так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом; тогда эта структура не зависит от выбора системы координат $\alpha$;
  (2) для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ образ вектора ${\frac {\partial }{\partial x^{i}}}(m)$ под действием изоморфизма из пункта (1) есть столбец $\,\mathrm {se} _{i}$ (и, значит, множество
  ${\Bigl \{}{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}(m),\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}(m){\Bigr \}}$ — базис пространства $\,\mathrm {T} _{m}M$);
  (3) для любых $p\in \mathrm {Paths} (M)_{m}$ выполнено $p'(0)=\sum _{i=1}^{n}p'(0)^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}(m)$ (это формула разложения по базису в $\,\mathrm {T} _{m}M$);
  (4) для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$ выполнено $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{\tilde {i}}}{\partial x^{k}}}(\alpha (m))\,v^{k}{\Bigr )}$ (это формула замены координат в $\,\mathrm {T} _{m}M$);
  (5) $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x^{\tilde {i}}}}(m)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial x^{\tilde {i}}}}({\tilde {\alpha }}(m))\,{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}(m){\Bigr )}$ (это формула замены базиса в $\,\mathrm {T} _{m}M$).
• Теорема о кокасательном пространстве. Пусть $M$ — многообразие (с г. г. с.), $m\in M$ и $\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}$; обозначим через $n$ число $\dim M$; тогда
  (1) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}^{*}M&\to \mathbb {R} _{n}\\\mathrm {d} f(m)&\mapsto \mathrm {d} f(m)_{\alpha }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств;
  (2) для любых $j\in \{1,\ldots ,n\}$ образ ковектора $\mathrm {d} x^{j}(m)$ под действием изоморфизма из пункта (1) есть строка $\,\mathrm {se} ^{j}$ (и, значит, множество
  $\{\mathrm {d} x^{1}(m),\ldots ,\mathrm {d} x^{n}(m)\}$ — базис пространства $\,\mathrm {T} _{m}^{*}M$);
  (3) для любых $f\in \mathrm {Func} (M)$ выполнено $\mathrm {d} f(m)=\sum _{j=1}^{n}\partial _{j}f(m)\,\mathrm {d} x^{j}(m)$ (это формула разложения по базису в $\,\mathrm {T} _{m}^{*}M$);
  (4) для любых $\lambda \in \mathrm {T} _{m}^{*}M$ выполнено $\forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial x^{l}}{\partial x^{\tilde {j}}}}({\tilde {\alpha }}(m))\,\lambda _{l}{\Bigr )}$ (это формула замены координат в $\,\mathrm {T} _{m}^{*}M$);
  (5) $\forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\mathrm {d} x^{\tilde {j}}(m)=\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial x^{\tilde {j}}}{\partial x^{l}}}(\alpha (m))\,\mathrm {d} x^{l}(m){\Bigr )}$ (это формула замены базиса в $\,\mathrm {T} _{m}^{*}M$).
• Теорема о двойственности между касательным и кокасательным пространствами. Пусть $M$ — многообразие (с г. г. с.) и $m\in M$; тогда
  (1) для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$ и $\lambda \in \mathrm {T} _{m}^{*}M$, выбирая систему координат $\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}$ и обозначая через $\lambda (v)$ число $\lambda _{\alpha }\!\cdot v^{\alpha }$, имеем следующий факт:
  число $\lambda (v)$ не зависит от выбора системы координат $\alpha$;
  (2) для любых $\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}$ и $i,j\in \{1,\ldots ,\dim M\}$ выполнено $(\mathrm {d} x^{j}(m)){\bigl (}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}(m){\bigr )}=\delta _{i}^{j}$;
  (3) для любых $p\in \mathrm {Paths} (M)_{m}$ и $f\in \mathrm {Func} (M)$ выполнено $(\mathrm {d} f(m))(p'(0))=(f\circ p)'(0)$;
  (4) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}^{*}M&\to (\mathrm {T} _{m}M)^{*}\\\lambda &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \lambda (v){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств.
• Производная Ли функции $f$ вдоль вектора $v$: ${\mathcal {L}}_{v}(f)=(\mathrm {d} f(m))(v)$. Утверждение: ${\mathcal {L}}_{v}(fg)={\mathcal {L}}_{v}(f)\,g(m)+f(m)\,{\mathcal {L}}_{v}(g)$ и ${\mathcal {L}}_{\!{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}(m)\!}(f)=\partial _{i}f(m)$.

3.6.3  Тензорные расслоения и тензорные поля

• Тензорные расслоения: ${\mathcal {T}}_{\;q}^{p}\mathrm {T} M=\!\bigsqcup _{m\in M}\!{\mathcal {T}}_{\;q}^{p}(\mathrm {T} _{m}M)$, ${\mathsf {S}}^{k}\mathrm {T} ^{*}M=\!\bigsqcup _{m\in M}\!{\mathsf {S}}^{k}(\mathrm {T} _{m}^{*}M)$ и ${\mathsf {\Lambda }}^{k}\mathrm {T} ^{*}M=\!\bigsqcup _{m\in M}\!{\mathsf {\Lambda }}^{k}(\mathrm {T} _{m}^{*}M)$; отображение проекции на $M$: $\mathrm {pr} _{M}$.
• Касат.-ное и кокасат.-ное расслоения: $\mathrm {T} M={\mathcal {T}}^{1}\mathrm {T} M$ и $\mathrm {T} ^{*}M={\mathcal {T}}_{\,1}\mathrm {T} M$. Тензорные поля: $\mathrm {Tens} _{q}^{p}(M)=\{T\in \mathrm {C} ^{\infty }\!(M,{\mathcal {T}}_{\;q}^{p}\mathrm {T} M)\mid \mathrm {pr} _{M}\!\circ T=\mathrm {id} _{M}\}$
  (неформально: тензорное поле типа $(p,q)$ на $M$ — поле тензоров типа $(p,q)$ в касательных пространствах к $M$, гладко зависящих от точки).
• Симметрич. и внешние $k$-формы: $\mathrm {STens} _{k}(M)=\{\omega \in \mathrm {C} ^{\infty }\!(M,{\mathsf {S}}^{k}\mathrm {T} ^{*}M)\mid \mathrm {pr} _{M}\!\circ \omega =\mathrm {id} _{M}\}$ и $\Omega ^{k}(M)=\{\omega \in \mathrm {C} ^{\infty }\!(M,{\mathsf {\Lambda }}^{k}\mathrm {T} ^{*}M)\mid \mathrm {pr} _{M}\!\circ \omega =\mathrm {id} _{M}\}$
  (неформально: симметрич.$\,/\,$внешняя $k$-форма — поле симметрич.$\,/\,$антисимметрич. тензоров типа $(0,k)$ в касат. пр.-вах, гладко зависящих от точки).
• Векторные, ковекторные, тензорные поля в коорд.: $v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$, $\lambda =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}\,\mathrm {d} x^{j}$, $T=\!\!\!\!\!\sum _{i_{1},\ldots ,i_{p},j_{1},\ldots ,j_{q}}\!\!\!\!\!T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}{\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}}\!\otimes \ldots \otimes \!{\frac {\partial }{\partial x^{i_{p}}}}\!\otimes \mathrm {d} x^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes \mathrm {d} x^{j_{q}}$.
• Формула замены координат тензорного поля типа $(p,q)$: $T_{{\tilde {j_{1}}},\ldots ,{\tilde {j_{q}}}}^{{\tilde {i_{1}}},\ldots ,{\tilde {i_{p}}}}\!=\!\!\!\!\!\sum _{k_{1},\ldots ,k_{p},l_{1},\ldots ,l_{q}}\!\!\!\!\!{\Bigl (}{\frac {\partial x^{\tilde {i_{1}}}}{\partial x^{k_{1}}}}\!\circ \alpha {\Bigr )}\ldots {\Bigl (}{\frac {\partial x^{\tilde {i_{p}}}}{\partial x^{k_{p}}}}\!\circ \alpha {\Bigr )}{\Bigl (}{\frac {\partial x^{l_{1}}}{\partial x^{\tilde {j_{1}}}}}\!\circ {\tilde {\alpha }}{\Bigr )}\ldots {\Bigl (}{\frac {\partial x^{l_{q}}}{\partial x^{\tilde {j_{q}}}}}\!\circ {\tilde {\alpha }}{\Bigr )}\,T_{l_{1},\ldots ,l_{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}$.
• Дифференциал внешней $k$-формы: $\mathrm {d} {\Bigl (}\!\!\!\!\sum _{1\leq j_{1}<\ldots <j_{k}\leq n}\!\!\!\!\omega _{j_{1},\ldots ,j_{k}}\mathrm {d} x^{j_{1}}\!\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{j_{k}}\!{\Bigr )}=\!\!\!\!\sum _{1\leq j_{1}<\ldots <j_{k}\leq n}\!\!\!\!\mathrm {d} \omega _{j_{1},\ldots ,j_{k}}\!\wedge \mathrm {d} x^{j_{1}}\!\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{j_{k}}$ — внешняя $(k+1)$-форма.
• Псевдориманово многообразие сигнатуры $(p,q)$ — многообразие с симметрич. $2$-формой сигнатуры $(p,q)$ (форма имеет сигн.-у $(p,q)$ в каждой точке).
• Градиент и лапласиан функции: $\nabla f={\uparrow ^{\sigma }}(\mathrm {d} f)$ и $\Delta f=*\,\mathrm {d} \,{*}\,\mathrm {d} f$. Дивергенция и ротор векторного поля: $\mathrm {div} \,v=*\,\mathrm {d} \,{*}\,({\downarrow _{\sigma }}v)$ и $\mathrm {rot} \,v={\uparrow ^{\sigma }}(*\,\mathrm {d} ({\downarrow _{\sigma }}v))$.
  (Опускание индекса, подъем индекса и оператор Ходжа на $M$: $({\downarrow _{\sigma }}v)(m)={\downarrow _{\sigma (m)}}(v(m))$, $({\uparrow ^{\sigma }}\lambda )(m)={\uparrow ^{\sigma (m)}}(\lambda (m))$ и $(*\,\omega )(m)=*(\omega (m))$.)