Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь

1  Основы алгебры

1.4  Кольца (часть 2)

1.4.1  Евклидовы кольца и факториальные кольца

• Евклидова норма на кольце $R$: $\nu \colon R\to N$, где $N\subseteq \mathbb {N} _{0}\cup \{-\infty \}$ и $\forall \,r\in R\!\setminus \!\{0\},\,s\in R\;{\bigl (}\exists \,q,t\in R\;{\bigl (}s=qr+t\,\land \,\nu (t)<\nu (r){\bigr )}\,\land \,\nu (s)\leq \nu (rs){\bigr )}$.
• Евклидово кольцо — область целостности с евкл. нормой. Примеры: $\mathbb {Z}$ ($\nu (a)=|a|$); $K[x]$, где $K$ — поле ($\nu (f)=\deg f$); $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$, $\mathbb {Z} [\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }]$ ($\nu (a)=|a|^{2}$).