Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь

1  Основы алгебры

								По мере развития науки нам хочется получить нечто большее, чем просто формулу. Сначала мы наблюдаем явления, затем с по- мощью измерений получаем числа и, наконец, находим закон, связывающий эти числа. Но истинное величие науки состоит в том, что мы можем найти такой способ рассуждения, при котором закон становится очевидным. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Том 3
								В принципе математику можно рассматривать как разновидность утонченной, усовершенствованной логики. Замечательно, что, построив правила этой логики и выучив их, человек получил орудие гораздо более мощное, чем обыкновенный «здравый смысл», основанный на традиционной, «домашней» логике. Человек руками создает простые орудия, применяя их, строит станки, с помо- щью которых создает еще более совершенные и сложные механизмы — и с помощью этих механизмов он способен сделать то, что недоступно голым рукам. Вот так же точно и математика, развивая все более сложные теории и создавая новые понятия, да- ет возможность овладеть самыми необычными явлениями природы. Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников

1.1  Множества, отображения, отношения

1.1.1  Множества

• Логические связки: $\lnot$ — отрицание («не»), $\lor$ — дизъюнкция («или»), $\land$ — конъюнкция («и»), $\Rightarrow$ — импликация («влечет»), $\Leftrightarrow$ — эквивалентность.
• Лемма о логических связках. Пусть $a$, $b$, $c$ — высказывания; тогда
  (1) $a\lor b=b\lor a$, $(a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)$, $a\land b=b\land a$, $(a\land b)\land c=a\land (b\land c)$;
  (2) $a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)$, $a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)$;
  (3) $\lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b$, $\lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b$, $(a\Rightarrow b)=\lnot a\lor b$, $(a\Rightarrow b)=(\lnot b\Rightarrow \lnot a)$.
• Кванторы: $\exists$ — существование, $\forall$ — всеобщность («для любых»). Утверждение: $\lnot {\bigl (}\exists \,x\;(p(x)){\bigr )}\!=\!{\bigl (}\forall \,x\;(\lnot p(x)){\bigr )}$, $\lnot {\bigl (}\forall \,x\;(p(x)){\bigr )}\!=\!{\bigl (}\exists \,x\;(\lnot p(x)){\bigr )}$.
• Задание множества перечислением элементов: $\{\ldots \}$; $\in$ — принадлежность, $\varnothing$ — пустое множество, $\subseteq$ — включение, $\subset$ — строгое включение.
• Выделение подмножества: $\{x\in X\mid p(x)\}$. Операции над множествами: $\cup$ — объединение, $\cap$ — пересечение, $\setminus$ — разность, $\times$ — произведение.
• Лемма об операциях над множествами. Пусть $X$, $Y$, $Z$ — множества; тогда
  (1) $X\cup Y=Y\cup X$, $(X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)$, $X\cap Y=Y\cap X$, $(X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)$;
  (2) $X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)$, $X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup Z)$;
  (3) если $U$ — множество и $X,Y\subseteq U$, то $U\setminus (X\cup Y)=(U\setminus X)\cap (U\setminus Y)$ и $U\setminus (X\cap Y)=(U\setminus X)\cup (U\setminus Y)$.
• Числовые множества: $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$, $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ — натуральные, целые, рациональные, вещественные числа, а также $\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}$ и $\mathbb {Z} /n=\{0,\ldots ,n-1\}$.
• $|X|$ — порядок (количество элементов) множества $X$, $2^{X}$ — множество подмножеств множества $X$, $X^{n}$ — $n$-я степень множества $X$ ($n\in \mathbb {N} _{0}$).

1.1.2  Отображения

• Множество отображений, действующих из мн.-ва $X$ в мн.-во $Y$: $\mathrm {Map} (X,Y)$. Область, кообласть, график отображения $f$: $\mathrm {Dom} \,f$, $\mathrm {Codom} \,f$, $\mathrm {Gr} \,f$.
• Образ множества $A$ относительно $f$ ($A\subseteq X$): $f(A)$, прообраз множества $B$ относительно $f$ ($B\subseteq Y$): $f^{-1}(B)$, образ отображения $f$: $\mathrm {Im} \,f=f(X)$.
• Сужения отображения $f$ ($A\subseteq X$ и $f(A)\subseteq B\subseteq Y$): $f|_{A}$ и $f|_{A\to B}$. Сокращенная запись образа: $\{y\in Y\mid \exists \,x\in X\;{\bigl (}f(x)=y{\bigr )}\}=\{f(x)\mid x\in X\}$.
• Инъекции: $\mathrm {Inj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\leq 1{\bigr )}\}$. Сюръекции: $\mathrm {Surj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\geq 1{\bigr )}\}$.
• Биекции: $\mathrm {Bij} (X,Y)=\mathrm {Inj} (X,Y)\cap \mathrm {Surj} (X,Y)$. Композиция отображений: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$. Тождественное отображение: $\mathrm {id} _{X}(x)=x$.
• Теорема о композиции отображений. Пусть $X$, $Y$ — множества и $f\in \mathrm {Map} (X,Y)$; тогда
  (1) $f\circ \mathrm {id} _{X}=f$, $\mathrm {id} _{Y}\circ f=f$ и, если $Z$, $W$ — множества и $g\in \mathrm {Map} (Y,Z)$, $h\in \mathrm {Map} (Z,W)$, то $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$;
  (2) если $X\neq \varnothing$, то $f\in \mathrm {Inj} (X,Y)$, если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}{\bigr )}$;
  (3) $f\in \mathrm {Surj} (X,Y)$, если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}$;
  (4) $f\in \mathrm {Bij} (X,Y)$, если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}\,\land \,f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}$ ($f'=f^{-1}$ — биекция, обратная к биекции $f$).
• Утверждение: $\sum _{y\in \mathrm {Im} \,f}\!|f^{-1}(y)|=|X|$. Принцип Дирихле. Пусть $X,Y$ — множества, $|X|=|Y|<\infty$; тогда $\,\mathrm {Inj} (X,Y)=\mathrm {Surj} (X,Y)=\mathrm {Bij} (X,Y)$.

1.1.3  Отношения

• Множество отношений между множествами $X$ и $Y$: $\mathrm {Rel} (X,Y)$. Область, кообласть, график отношения $\Delta$: $\mathrm {Dom} \,\Delta$, $\mathrm {Codom} \,\Delta$, $\mathrm {Gr} \,\Delta$. Примеры.
• Отношения эквивалентности: $\mathrm {EquivRel} (X)=\{{\sim }\in \mathrm {Rel} (X,X)\mid \forall \,x,y,z\in X\;{\bigl (}x\sim x\,\land \,(x\sim y\,\Rightarrow \,y\sim x)\,\land \,(x\sim y\,\land \,y\sim z\,\Rightarrow \,x\sim z){\bigr )}\}$.
• Классы эквивалентности: $\mathrm {cl} _{\sim }(x)=\{{\breve {x}}\in X\mid x\sim {\breve {x}}\}$. Утверждение: $x\sim {\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {cl} _{\sim }(x)=\mathrm {cl} _{\sim }({\breve {x}})$. Фактормножество: $X/{\sim }=\{\mathrm {cl} _{\sim }(x)\mid x\in X\}$.
• Разбиения: $\mathrm {Part} (X)=\{{\mathcal {P}}\subseteq 2^{X}\!\setminus \!\{\varnothing \}\mid \bigcup _{A\in {\mathcal {P}}}A=X\;\land \;\forall \,A,B\in {\mathcal {P}}\;{\bigl (}A\neq B\,\Rightarrow \,A\cap B=\varnothing {\bigr )}\}$. Утверждение: $X/{\sim }\in \mathrm {Part} (X)$. Трансверсали.
• Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Пусть $X$ — множество; тогда отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {EquivRel} (X)&\to \mathrm {Part} (X)\\\sim &\mapsto X/{\sim }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — биекция.
• Отношение ${\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$: $x\;{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}\;{\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,f(x)=f({\breve {x}})$. Слои отображения $f$: $\{f^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,f\}$ ($=X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$). Факторотображение ${\Biggl (}\!\!{\begin{aligned}X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}&\to \mathrm {Im} \,f\\\mathrm {cl} _{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}(x)&\mapsto f(x)\end{aligned}}{\Biggr )}$ — биекция.

1.2  Группы (часть 1)

1.2.1  Множества с операцией

• Внутренняя $n$-арная операция на $S$ — отображение, действующее из $S^{n}$ в $S$ (нульарная операция на $S$ — выделенный элемент множества $S$).
• Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: $\mathrm {Hom} (S,V)=\{f\in \mathrm {Map} (S,V)\mid \forall \,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S\;{\bigl (}f(o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n}))=o_{V}(f(s_{1}),\ldots ,f(s_{n})){\bigr )}\}$.
• Утверждение: пусть $f\in \mathrm {Hom} (S,V)$ и $g\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда $g\circ f\in \mathrm {Hom} (V,Y)$. Изоморфизмы: $\mathrm {Iso} (S,V)=\mathrm {Hom} (S,V)\cap \mathrm {Bij} (S,V)$.
• Утверждение: пусть $f\in \mathrm {Iso} (S,V)$; тогда $f^{-1}\!\in \mathrm {Iso} (V,S)$. Эндоморфизмы: $\mathrm {End} (S)=\mathrm {Hom} (S,S)$. Автоморфизмы: $\mathrm {Aut} (S)=\mathrm {Iso} (S,S)$.
• Обозначения по Минковскому: $o_{S}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\{o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n})\mid s_{1}\in S_{1},\ldots ,s_{n}\in S_{n}\}$. Примеры: $\mathbb {N} +\mathbb {N} =\mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}$, $\mathbb {N} \cdot \mathbb {N} =\mathbb {N}$, $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$.
• Инфиксная запись бинарных операций. Ассоциативность: $\forall \,s,t,u\in S\;{\bigl (}(s\cdot t)\cdot u=s\cdot (t\cdot u){\bigr )}$. Коммутативность: $\forall \,s,t\in S\;{\bigl (}s\cdot t=t\cdot s{\bigr )}$.
• Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Примеры полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.

  Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть $S$ — полугруппа, $n\in \mathbb {N}$ и $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$; тогда значение выражения $s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}$ не зависит от
  расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

1.2.2  Моноиды и группы (основные определения и примеры)

• Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
• Примеры: числовые моноиды (по умножению или сложению), моноиды функций, моноиды слов $\mathrm {W} _{\otimes }(x_{1},\ldots ,x_{n})$, моноиды отображений $\mathrm {Map} (X)$.
• Обратимые элементы: $M^{\times }\!=\{m\in M\mid \exists \,m'\in M\;{\bigl (}m'\,m=m\,m'=1{\bigr )}\}$. Единственность обратного элемента. Утверждение: $M^{\times }\!\cdot M^{\times }\!\subseteq M^{\times }$.
• Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа $M^{\times }$ ($M$ — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: $G\cong J$.
• Примеры: числовые группы, группы функций, свободные группы $\mathrm {F} (x_{1},\ldots ,x_{n})$, группы биекций $\mathrm {Bij} (X)$, группы автоморфизмов графов $\mathrm {Aut} (\Gamma )$.
• Мультипликативные обозначения в группе $G$: $g\,h$, $1$, $g^{-1}$, $g^{n}$ ($n\in \mathbb {Z}$). Аддитивные обозначения в абелевой группе $A$: $a+b$, $0$, $-a$, $n\,a$ ($n\in \mathbb {Z}$).
• Симметрические группы: $\mathrm {S} (X)=\mathrm {Bij} (X)$, $\mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})$. Запись перестановки в виде посл.-сти значений, цикловая запись. Лемма о циклах.

  Лемма о циклах. Пусть $l,m,n\in \mathbb {N}$, $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k\in \{1,\ldots ,n\}$, числа $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k$ попарно различны и $u\in \mathrm {S} _{n}$; тогда
  $(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})$, а также $u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}\!=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))$.

1.2.3  Подгруппы, классы смежности, циклические группы

• Подгруппы: $H\leq G\,\Leftrightarrow \,H\cdot H\subseteq H\,\land \,1\in H\,\land \,H^{-1}\!\subseteq H$. Подгруппа, порожденная мн.-вом $D$: $\langle D\rangle \leq G\;\land \;\forall \,H\leq G\;{\bigl (}D\subseteq H\,\Leftrightarrow \,\langle D\rangle \leq H{\bigr )}$.
• Утверждение: $\langle D\rangle =\{d_{1}^{\varepsilon _{1}}\cdot \ldots \cdot d_{n}^{\varepsilon _{n}}\!\mid n\in \mathbb {N} _{0},\,d_{1},\ldots ,d_{n}\in D,\,\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{1,-1\}\}$, а также $\langle g\rangle =\{g^{a}\!\mid a\in \mathbb {Z} \}$. Пример: $\mathbb {Z} ^{+}\!=\langle 1\rangle =\langle -1\rangle$.
• Отношения ${\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и ${\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$: $g\;{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,g^{-1}{\breve {g}}\in H\,\Leftrightarrow \,gH={\breve {g}}H$ и $g\;{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,{\breve {g}}\,g^{-1}\!\in H\,\Leftrightarrow \,Hg=H{\breve {g}}$. Утверждение: $\mathrm {cl} \!_{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}(g)=gH$ и $\mathrm {cl} _{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\!(g)=Hg$.
• Множества классов смежности: $G/H=\{gH\mid g\in G\}=G/{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и $H\backslash G=\{Hg\mid g\in G\}=G/{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$. Теорема Лагранжа. Индекс: $|G:H|=|G/H|$.

  Теорема Лагранжа. Пусть $G$ — группа, $|G|<\infty$ и $H\leq G$; тогда $|G|=|H|\,|G/H|=|H|\,|H\backslash G|$ (и, значит, $|H|$ делит $|G|$).

• Порядок элемента: $\mathrm {ord} (g)=\min\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=1\}$ ($\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$). Утверждение: пусть $n=\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N}$; тогда $\{a\in \mathbb {Z} \mid g^{a}=1\}=n\,\mathbb {Z}$.
• Лемма о порядке элемента. Пусть $G$ — группа и $g\in G$; тогда $\mathrm {ord} (g)=|\langle g\rangle |$ (и, значит, если $|G|<\infty$, то $\mathrm {ord} (g)$ делит $|G|$).
• Циклические группы: $\exists \,d\in G\;{\bigl (}G=\langle d\rangle {\bigr )}$. Примеры: $(\mathbb {Z} /n)^{+}$ ($n\in \mathbb {N}$), $\mathbb {Z} ^{+}$. Первообразный корень по модулю $n$ — порожд. элемент группы $(\mathbb {Z} /n)^{\times }$.
• Теорема о циклических группах. Пусть $G$ — циклич. группа; обозначим через $n$ величину $|G|$; тогда $n\in \mathbb {N}$ и $G\cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$ или $n=\infty$ и $G\cong \mathbb {Z} ^{+}$.

1.2.4  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп

• Нормальные подгруппы: $H\trianglelefteq G\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gHg^{-1}\!\subseteq H{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gH=Hg{\bigr )}$. Пример: $|G:H|=2\,\Rightarrow \,H\trianglelefteq G$.
• Отношение сопряженности: ${\bigl (}$$x$ и ${\breve {x}}$ сопряжены${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow \;$$\exists \,g\in G\;{\bigl (}{\breve {x}}=g\,x\,g^{-1}{\bigr )}$. Нормальная подгруппа, порожденная мн.-вом $T$: $(T)={\bigl \langle }\!\bigcup _{g\in G}g\,Tg^{-1}{\bigr \rangle }$.
• Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s,{\breve {s}}\in \mathrm {S} _{n}$; тогда перестановки $s$ и ${\breve {s}}$ сопряжены, если и только
  если (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок $s$ и ${\breve {s}}$ равны.
• Ядро гомоморфизма $f$: $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(1)\trianglelefteq G$. Образ гомоморфизма $f$: $\mathrm {Im} \,f\leq J$. Примеры. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

  Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть $G,J$ — группы, $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$, $j\in J$ и $g_{0}\in f^{-1}(j)$; тогда $f^{-1}(j)=g_{0}\,\mathrm {Ker} \,f$.

  Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$; тогда $f\in \mathrm {Inj} (G,J)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,f=\{1\}$.

• Факторгруппа: $G/H$ с фактороперациями ($H\trianglelefteq G$). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: $\mathbb {Z} ^{+}\!/n\,\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$; тогда $G/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$.

• Прямое произведение групп: $F\times H$ с покомпонентными операциями. Теорема о прямом произведении. Внутреннее прямое произведение подгрупп.

  Теорема о прямом произведении. Пусть $G$ — группа и $F,H\leq G$; обозначим через $\mathrm {mult} _{F,H}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{aligned}}\!{\biggr )}$; тогда
  (1) $\mathrm {mult} _{F,H}\in \mathrm {Hom} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$, $\mathrm {mult} _{F,H}^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {mult} _{F,H}=FH$;
  (2) $\mathrm {mult} _{F,H}\in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,G=FH\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$;
  (3) если $|G|<\infty$, то $\mathrm {mult} _{F,H}\in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,|G|=|F|\,|H|\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$.

2  Линейная алгебра

2.1  Матрицы, базисы, координаты

2.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк

• Пространство матриц $\mathrm {Mat} (p,n,K)$. Пространство столбцов: $K^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)$. Пространство строк: ${}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)$.
• Матричные единицы: $(\mathrm {se} _{i}^{j})_{l}^{k}=\delta _{i}^{k}\delta _{l}^{j}$. Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\{\mathrm {se} _{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Стандартный базис пространства $K^{p}$: $\{\mathrm {se} _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}$. Стандартный базис пространства ${}^{n}\!K$: $\{\mathrm {se} ^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Умножение матриц: $(b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо $\mathrm {Mat} (n,K)$. Группа $\mathrm {GL} (n,K)$.
• Строки матрицы: $a^{i}=\mathrm {se} ^{i}\cdot a$. Столбцы матрицы: $a_{j}=a\cdot \mathrm {se} _{j}$. Утверждение: $(b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a^{j}$ и $(b\cdot a)_{k}=b\cdot a_{k}=\sum _{j=1}^{p}a_{k}^{j}\,b_{j}$.
• След матрицы: $\mathrm {tr} \,a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{i}$. Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $b\in \mathrm {Mat} (n,p,K)$; тогда $\mathrm {tr} (b\cdot a)=\mathrm {tr} (a\cdot b)$.
• Транспонирование матрицы: $(a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}$. Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $b\in \mathrm {Mat} (r,p,K)$; тогда $(b\cdot a)^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot b^{\mathtt {T}}$.

2.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: $v=e\cdot v^{e}$. Изоморфизм векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Матрица гомоморфизма: $(a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}$. Утверждение: $a(e)=h\cdot a_{e}^{h}$ и $\forall \,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}$. Утверждение: $(b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}$.
• Изоморфизм векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Изоморфизм колец и векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.

2.1.3  Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: $\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}$. Матрица замены базиса: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}$. Утверждение: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}$ и $\,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}$.
• Преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$. Преобразование координат вектора: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$. Покомпонентная запись: $v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}$.
• Преобразование координат гомоморфизма: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$. Покомпонентная запись (если $a$ — эндоморфизм): $a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}$.

2.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

• Элементарные трансвекции $\{\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}$ и псевдоотражения $\{\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\mathrm {se} _{i}^{k})\cdot a$ и второго типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i})\cdot a$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{l}^{j})$ и второго типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{j}^{j})$.
• Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

  Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть $K$ — поле, $p,n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда
  (1) существуют такие $l\in \mathbb {N} _{0}$ и элементарные матрицы $g_{1},\ldots ,g_{l}$ размера $p\times p$ над полем $K$, что $g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a$ — ступенчатая матрица;
  (2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно $\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle$ (и, значит, не зависит от матриц $g_{1},\ldots ,g_{l}$).

• Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

2.2  Линейные операторы (часть 1)

2.2.1  Ядро и образ линейного оператора

• Отступление о свойствах базиса. Утверждение: $V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y$. Утверждение: пусть $U\leq V$, $\dim U=\dim V<\infty$; тогда $U=V$.
• Ядро линейного оператора: $\mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)\leq V$. Образ линейного оператора: $\mathrm {Im} \,a\leq Y$. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

  Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр. над $K$, $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$, $y\in Y$, $v_{0}\in a^{-1}(y)$; тогда $a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a$.

  Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр. над $K$, $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}$.

• Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$,
  $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда выполнено $\dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V$.
• Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $\dim V=\dim Y<\infty$;
  тогда выполнено $\,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)$.

2.2.2  Ранг линейного оператора

• Ранг линейного оператора: $\mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a$. Ранг матрицы (ранг по столбцам): $\mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle$. Утверждение: $\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})$.
• Утверждение: $\mathrm {rk} (a)\leq \min\{\dim V,\dim Y\}$. Утверждение: $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim V$ и $a\in \mathrm {Surj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim Y$.
• Теорема о свойствах ранга. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда
  (1) для любых матриц $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$ выполнено $\mathrm {rk} (g\cdot a\cdot g')=\mathrm {rk} (a)$;
  (2) существуют такие матрицы $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g\cdot a\cdot g'=\mathrm {se} _{1}^{1}+\mathrm {se} _{2}^{2}+\ldots +\mathrm {se} _{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}$;
  (3) $\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle$ и $\,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})$ (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).

2.2.3  Системы линейных уравнений

• Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть $a\cdot v_{0}=y$; тогда $\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=y\}=v_{0}+\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}$.
• Теорема Кронекера–Капелли. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$, $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $y\in K^{p}$; тогда $\exists \,v\in K^{n}\;{\bigl (}a\cdot v=y{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} ((a\;\,y))$.
• Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства $\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}$.

2.3  Конструкции над векторными пространствами

2.3.1  Факторпространства и прямая сумма векторных пространств

• Факторпространство: $V/U$. Утверждение: пусть $U\leq V$, $A$ — базис в $U$, $B$ — базис в $V$, $A\subseteq B$; тогда $\{b+U\mid b\in B\setminus A\}$ — базис в $V/U$.
• Теорема о гомоморфизме. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда $V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a$.
• Прямая сумма векторных пространств: $U\oplus W$. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.

  Теорема о прямой сумме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $U,W\leq V$;
  обозначим через $\mathrm {add} _{U,W}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{aligned}}\!{\biggr )}$; тогда
  (1) $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Hom} (U\oplus W,V)$, $\mathrm {Ker} \,\mathrm {add} _{U,W}\cong U\cap W$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {add} _{U,W}=U+W$;
  (2) $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)$$\;\Leftrightarrow \,$$\forall \,v\in V\;\exists !\,u\in U,\,w\in W\;{\bigl (}v=u+w{\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \;$$U\cap W=\{0\}\;\land \;U+W=V$;
  (3) если $\dim V<\infty$, то $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)$$\;\Leftrightarrow \;$$U\cap W=\{0\}\;\land \;\dim U+\dim W=\dim V$;
  (4) если $\dim U,\dim W<\infty$, то $\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W$ (это формула Грассмана).

• Подпространство, инвариантное относительно эндоморфизма: $a(U)\leq U$. Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
• Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.

2.3.2  Двойственное пространство

• Двойственное пространство: $V^{*}\!=\mathrm {Hom} (V,K)$. Двойственный базис: $e^{j}(v)=(v^{e})^{j}$. Утверждение: $\lambda =\!\sum _{j=1}^{\dim V}\!\lambda (e_{j})e^{j}$. Столбец $e^{*}$.
• Строка координат ковектора. Утверждение: $\lambda =\lambda _{e}\cdot e^{*}$. Преобразования при замене базиса: ${\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}$, $\lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ и $\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}$.
• Отождествление пространств $V$ и $V^{**}$ в случае конечномерного пространства $V$ при помощи изоморфизма $\,v\mapsto \!{\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K\\\lambda &\mapsto \lambda (v)\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Сводная таблица о координатах. (В таблице $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$ и $e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$.)

Инвариантный объект	Координаты относительно базиса	Преобразование координат при замене базиса	Пример использования в геометрии и физике
вектор $v$ — элемент пространства $V$ (тензор типа $(1,0)$ над $V$)	${\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм векторных пространств)	матричная запись: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}{\Bigr )}$ преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$	скорость в точке гладкого пути на многообразии
ковектор $\lambda$ — элемент пространства $V^{*}$ (тензор типа $(0,1)$ над $V$)	${\begin{aligned}V^{*}\!&\to {}^{n}\!K\\\lambda &\mapsto \lambda _{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм векторных пространств)	матричная запись: $\lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}{\Bigr )}$ преобразование базиса: ${\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}$	дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии
эндоморфизм $a$ — элемент пространства $\mathrm {End} (V)$ (тензор типа $(1,1)$ над $V$)	${\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм колец и векторных пространств)	матричная запись: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot a_{e}^{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,i,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}{\Bigr )}$	дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя

2.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель

2.4.1  Отступление о симметрических группах

• Симметрическая группа: $\mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})$. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
• Утверждение: $(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})$. Утверждение: $u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))$.
• Транспозиции $\{(i\;\,j)\mid i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i<j\}$ и фундаментальные транспозиции $\{(i\;\,i+1)\mid i\in \{1,\ldots ,n-1\}\}$. Число циклов $\kappa (u)$.
• Лемма об умножении на транспозицию. Пусть $n\in \mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}$, $u\in \mathrm {S} _{n}$, $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i<j$; тогда
  (1) если числа $i$ и $j$ принадлежат одному циклу в перестановке $u$, то $\kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)+1$;
  (2) если числа $i$ и $j$ принадлежат разным циклам в перестановке $u$, то $\kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)-1$.
• Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $u\in \mathrm {S} _{n}$; обозначим через $l$ число $n-\kappa (u)$; тогда
  (1) существуют такие транспозиции $u_{1},\ldots ,u_{l}\in \mathrm {S} _{n}$, что $u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{l}$;
  (2) для любых $t\in \mathbb {N} _{0}$ из существования таких транспозиций $u_{1},\ldots ,u_{t}\in \mathrm {S} _{n}$, что $u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{t}$, следует, что $t\geq l$ и $t\equiv l\;(\mathrm {mod} \;2)$.
• Знак перестановки: $\mathrm {sgn} (u)=(-1)^{n-\kappa (u)}$. Утверждение: $\mathrm {sgn}$ — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: $\mathrm {A} _{n}=\{u\in \mathrm {S} _{n}\!\mid \mathrm {sgn} (u)=1\}\trianglelefteq \mathrm {S} _{n}$.

2.4.2  Полилинейные отображения и формы объема

• Пространства полилинейных отображений $\mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)$, $\mathrm {Multi} _{k}(V,Y)$ и полилинейных форм $\mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},K)$, $\mathrm {Multi} _{k}V$.
• Пространства билинейных отображений $\mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},Y)$, $\mathrm {Bi} (V,Y)$ и билинейных форм $\mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},K)$, $\mathrm {Bi} (V)$. Примеры полилинейных форм.
• Пространство симметричных полилинейных форм $\mathrm {SMulti} _{k}V$. Пространство антисимметричных полилинейных форм $\mathrm {AMulti} _{k}V$.
• Лемма об антисимметричных формах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V$; тогда
  следующие условия эквивалентны (если $\mathrm {char} \,K=2$, то исключаются импликации (2)$\;\Rightarrow \,$(1) и (3)$\;\Rightarrow \,$(1)):
  (1) $\omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V$;
  (2) для любых $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ и таких $u\in \mathrm {S} _{k}$, что $u$ — транспозиция, выполнено $\omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=-\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})$;
  (3) для любых $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ и $u\in \mathrm {S} _{k}$ выполнено $\omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=\mathrm {sgn} (u)\,\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})$.
• Пространство форм объема $\mathrm {AMulti} _{n}V$ ($n=\dim V$). Форма объема, связанная с базисом: $\mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,(v_{1}^{e})^{u(1)}\!\ldots (v_{n}^{e})^{u(n)}$.
• Теорема о формах объема. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над $K$, $\dim V<\infty$; обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда
  (1) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $\omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V$ выполнено $\omega =\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {vol} ^{e}$;
  (2) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ множество $\{\mathrm {vol} ^{e}\}$ — базис пространства $\,\mathrm {AMulti} _{n}V$;
  (3) для любых $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ и $\omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V\!\setminus \!\{0\}$ выполнено $(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathrm {OB} (V)\,\Leftrightarrow \,\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})\neq 0$.

2.4.3  Определитель линейного оператора

• Определитель линейного оператора: $\omega (a(v_{1}),\ldots ,a(v_{n}))=\det a\cdot \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})$, где $\omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V\!\setminus \!\{0\}$. Корректность определения.
• Теорема о главных свойствах определителя. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) $\mathrm {GL} (V)=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid \det a\neq 0\}$ (напоминание: $\mathrm {GL} (V)=\mathrm {End} (V)^{\times }$);
  (2) для любых $a,b\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $\det(a\circ b)=\det a\cdot \det b$
  (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {GL} (V)&\to K^{\times }\\a&\mapsto \det a\end{aligned}}\!{\biggr )}$ определено корректно и является гомоморфизмом групп).
• Определитель матрицы: $\det a=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,a_{1}^{u(1)}\!\ldots a_{n}^{u(n)}$. Утверждение: пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда $\mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\det \!{\bigl (}v_{1}^{e}\;\ldots \;v_{n}^{e}{\bigr )}$.
• Лемма об определителе оператора и определителе матрицы. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$,
  $a\in \mathrm {End} (V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда $\det a=\mathrm {vol} ^{e}(a(e_{1}),\ldots ,a(e_{n}))=\det a_{e}^{e}$.
• Утверждение: $\det a=\det a^{\mathtt {T}}$ и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
• Специальные линейные группы: $\mathrm {SL} (V)=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (V)$ и $\mathrm {SL} (n,K)=\{a\in \mathrm {GL} (n,K)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (n,K)$.

2.4.4  Миноры матрицы и присоединенная матрица

• Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: $\mathrm {adj} (a)_{j}^{i}=(-1)^{i+j}$${\bigl (}$дополнительный минор матрицы $a$ в позиции $(j,i)$${\bigr )}$.
• Теорема о присоединенной матрице. Пусть $K$ — поле, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,K)$; тогда
  (1) $\forall \,i,k\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{k}^{j}=\det a\cdot \delta _{k}^{i}{\Bigr )}$ и $\forall \,j,l\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{l}\,a_{j}^{i}=\det a\cdot \delta _{j}^{l}{\Bigr )}$ (в частности,
  при $i=k$ имеем $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}=\det a{\Bigr )}$ и при $j=l$ имеем $\forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}\,a_{j}^{i}=\det a{\Bigr )}$;
  это формулы разложения определителя матрицы $a$ по $i$-й строке матрицы $a$ и по $j$-му столбцу матрицы $a$ соответственно);
  (2) $a\cdot \mathrm {adj} (a)=\mathrm {adj} (a)\cdot a=\det a\cdot \mathrm {id_{n}}$ и, если $a\in \mathrm {GL} (n,K)$, то $a^{-1}={\frac {1}{\det a}}\,\mathrm {adj} (a)$.
• Правило Крамера. Пусть $K$ — поле, $n\in \mathbb {N} _{0}$, $a\in \mathrm {GL} (n,K)$, $y\in K^{n}$ и $j\in \{1,\ldots ,n\}$; тогда $(a^{-1}\!\cdot y)^{j}={\frac {\det \!{\bigl (}a_{1}\;\ldots \;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots \;a_{n}{\bigr )}}{\det a}}$.
• Теорема о базисном миноре. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда $\mathrm {rk} (a)$ равен максимальному среди всех таких чисел
  $t\in \mathbb {N} _{0}$, что в матрице $a$ существует такая подматрица $a'$ размера $t\times t$, что $\det a'\neq 0$.