Алгебра phys 1 весна 2016

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск

1  Линейная алгебра

Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно-
научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира-
щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического
анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам-
нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство
приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.
Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности
малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы
является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной
алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной
двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб-
лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.
А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия

1.1  Матрицы, базисы, координаты

1.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк
  • Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
  • Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
  • Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
  • Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
  • Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
  • Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
  • Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
  • Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
  • Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3  Преобразования координат при замене базиса
  • Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
  • Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
  • Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
  • Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
  • Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
  • Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
  • Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

    Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
    (1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
    (2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ).

  • Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

1.2  Линейные операторы

1.2.1  Ядро и образ линейного оператора
  • Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: пусть , ; тогда .
  • Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

    Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .

    Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .

  • Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
    и ; тогда выполнено .
  • Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ;
    тогда выполнено .
1.2.2  Ранг линейного оператора
  • Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
  • Утверждение: . Утверждение: и .
  • Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
    (1) для любых матриц и выполнено ;
    (2) существуют такие матрицы и , что ;
    (3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).
1.2.3  Системы линейных уравнений
  • Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть ; тогда .
  • Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда .
  • Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства .

1.3  Конструкции над векторными пространствами

1.3.1  Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
  • Прямая сумма векторных пространств: . Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.

    Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ;
    обозначим через отображение ; тогда
    (1) , и ;
    (2) если , то (это формула Грассмана);
    (3) .

  • Инвариантное относительно эндоморфизма подпространство: . Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
  • Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
  • Факторпространство . Утверждение: пусть , — базис в , — базис в , ; тогда — базис в .
  • Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
1.3.2  Двойственное пространство
  • Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Утверждение: . Столбец .
  • Строка координат ковектора. Утверждение: . Преобразования при замене базиса: , и .
  • Отождествление пространств и в случае конечномерного пространства при помощи изоморфизма .
  • Сводная таблица о координатах. (В таблице — поле, — векторное пространство над полем , и .)

Инвариантный объектКоординаты
относительно базиса
Преобразование координат
при замене базиса
Пример использования
в геометрии и физике
вектор
элемент пространства
(тензор типа над )

(это изоморфизм
векторных пространств)
матричная запись:
покомпонентная запись:
преобразование базиса:
скорость в точке
гладкого пути
на многообразии
ковектор
элемент пространства
(тензор типа над )

(это изоморфизм
векторных пространств)
матричная запись:
покомпонентная запись:
преобразование базиса:
дифференциал в точке
гладкой функции (скалярного поля)
на многообразии
эндоморфизм
элемент пространства
(тензор типа над )

(это изоморфизм колец
и векторных пространств)
матричная запись:
покомпонентная запись:
дифференциал в неподвижной точке
гладкого отображения,
действующего из многообразия в себя

1.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель

1.4.1  Отступление о симметрических группах
  • Симметрическая группа: . Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
  • Утверждение: . Утверждение: .
  • Транспозиции и фундаментальные транспозиции . Число циклов .
  • Лемма об умножении на транспозицию. Пусть , , и ; тогда
    (1) если числа и принадлежат одному циклу в перестановке , то ;
    (2) если числа и принадлежат разным циклам в перестановке , то .
  • Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть и ; обозначим через число ; тогда
    (1) существуют такие транспозиции , что ;
    (2) для любого из существования таких транспозиций , что , следует, что и .
  • Знак перестановки: . Утверждение: — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: .
1.4.2  Полилинейные отображения и формы объема
  • Пространства полилинейных отображений и и полилинейных форм и .
  • Пространство симметричных полилинейных форм . Пространство антисимметричных полилинейных форм .
  • Лемма об антисимметричных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
    следующие условия эквивалентны (если , то исключаются импликации (2)(1) и (3)(1)):
    (1) ;
    (2) для любых и таких , что — транспозиция, выполнено ;
    (3) для любых и выполнено .
  • Пространство форм объема , где . Форма объема, связанная с базисом: .
  • Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над , ; обозначим через число ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) для любых множество — базис пространства ;
    (3) для любых и выполнено .
1.4.3  Определитель линейного оператора
  • Определитель линейного оператора: , где . Корректность определения.
  • Теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) (напоминание: );
    (2) для любых выполнено
    (и, значит, отображение определено корректно и является гомоморфизмом групп).
  • Определитель матрицы: . Утверждение: пусть ; тогда .
  • Утверждение: и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
  • Специальные линейные группы: и .
1.4.4  Миноры матрицы и присоединенная матрица
  • Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: дополнительный минор матрицы в позиции .
  • Теорема о присоединенной матрице. Пусть — поле, и ; тогда
    (1) и (в частности,
    при имеем и при имеем ;
    это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
    (2) и, если , то .
  • Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
  • Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел
    , что в матрице существует такая подматрица размера , что .

1.5  Линейные операторы (revisited)

1.5.1  Многочлены от операторов
  • Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
  • Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
  • Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
  • Утверждение: пусть и ; тогда и, если и делит , то .
  • Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и ; тогда .
  • Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
1.5.2  Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
  • Спектр оператора: ; если , то .
  • Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
  • Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
  • Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
  • Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
  • Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
    (1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
    (2) ;
    (3) если — нильпотентный оператор, то .
1.5.3  Собственные и корневые подпространства оператора
  • Обобщенные собственные подпространства: . Корневые подпространства: .
  • Цепь -инвариантных подпространств: ; вывод: .
  • Обобщенные геометрические кратности: и . Утверждение: .
  • Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и ; обозначим через число ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) и .
  • Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
    , и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если ,
    то это условие выполнено для любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
    (1) (это разложение пространства в прямую сумму -инвариантных подпространств);
    (2) для любых , обозначая через оператор , имеем следующие факты:
    — нильпотентный оператор, и (и, значит, ).
1.5.4  Жорданова нормальная форма оператора

1.6  Алгебры

1.6.?  Алгебры Ли (основные определения и примеры)

2  Билинейная алгебра

3  Полилинейная алгебра

В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)
или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре-
менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.
Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран-
ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих
пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.
Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии
(Сказанное выше о тензорах справедливо также для векторов, ковекторов, полилинейных отображений (это частные случаи тензоров)
и в целом для очень многих абстрактных (вернее, инвариантных) объектов, изучаемых в алгебре. — Е.Е. Горячко.)