Векторные пространства и линейные операторы
Отступление в первый семестр
- Обозначения из математической логики и теории множеств.
- Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.
- Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.
Матрицы, базисы, координаты
Матрицы, столбцы, строки.
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матриц: . Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца .
Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов.
- Упорядоченные базисы. Столбцы координат.
- Матрицы гомоморфизмов. Композиция гомоморфизмов и умножение матриц.
- Изоморфизм между кольцом эндоморфизмов и кольцом матриц.
План лекции 15.02.2016.
Замена базиса.
- Матрица замены базиса. Матрица замены координат.
- Преобразование координат векторов при замене базиса.
- Преобразование координат гомоморфизмов при замене базиса.
- Преобразование координат ковекторов при замене базиса.
Элементарные преобразования матриц.
- Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.
- Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.