Алгебра phys 2 осень 2017

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 201/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/1.

Преподаватель практики у подгруппы 201/2: Максим Владимирович Карев.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/2.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание третьего семестра курса алгебры

3  Билинейная и полилинейная алгебра

3.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

• 3.1.1  ¯-Билинейные формы
• 3.1.2  ¯-Квадратичные формы
• 3.1.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
• 3.1.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм

3.2  Геометрия в векторных пространствах над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ (часть 1)

• 3.2.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
• 3.2.2  Предгильбертовы пространства

3.3  Линейные операторы и ¯-билинейные формы

• 3.3.1  Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы
• 3.3.2  Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
• 3.3.3  Спектральная теория в унитарных пространствах
• 3.3.4  Спектральная теория в евклидовых пространствах

3.4  Тензорные произведения векторных пространств

• 3.4.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами
• 3.4.2  Тензоры типа $(p,q)$ и тензорная алгебра
• 3.4.3  Операции над тензорами

3.5  Симметрические и внешние степени векторных пространств

• 3.5.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
• 3.5.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра

3.6  Геометрия в векторных пространствах над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ (часть 2)

• 3.6.1  Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
• 3.6.2  Специальная ортохронная группа Лоренца

3.7  Многообразия (часть 2)

• 3.7.1  Тензорные поля, дифференциальные формы, ориентация многообразия
• 3.7.2  Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры

Информация об экзамене

Вопросы к экзамену по второй половине третьего семестра

1. Тензорное произведение пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора.
2. Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Теорема об универсальности тензорного произведения.
3. Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное произведение линейных операторов.
4. Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах.
5. Тензоры типа $(p,q)$. Примеры тензоров типа $(p,q)$. Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа $(p,q)$.
6. Тензоры типа $(p,q)$ в координатах. Преобразование кооординат тензоров. Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре.
7. Тензоры с пропусками индексов. Кронекерово произведение матриц. Перестановка компонент тензоров.
8. Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
9. Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание и подъем индекса. Опускание и подъем индекса в координатах.
10. Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.
11. Операторы симметризации и альтернирования. Лемма о симметризации и альтернировании. Симметрическое и внешнее произведение векторов.
12. Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.
13. Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
14. Симметрическое и внешнее произведение тензоров. Симметрическое и внешнее произведение в координатах.
15. Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров.
16. Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
17. Каноническая форма объема. Объем в координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.
18. Векторное произведение. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
19. Оператор Ходжа. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.
20. Теорема о матричной группе Лоренца. Матричная специальная ортохронная группа Лоренца. Бусты и повороты.
21. Пространство Минковского. Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
22. Расслоение тензоров типа $(p,q)$. Тензорные поля типа $(p,q)$. Тензорные поля в координатах. Преобразование координат тензорных полей.
23. Дифференциальные формы. Дифференциальные формы в координатах. Алгебра дифференциальных форм. Теорема о внешнем дифференциале.
24. Внешний дифференциал в координатах. Замкнутые и точные формы. Ориентация многообразия. Положительные системы координат.
25. Метрический тензор. Римановы и псевдоримановы многообразия. Дифференциальные операции на псевдоримановых многообразиях с ориентацией.
26. Символы Кристоффеля. Ковариантная производная. Длина кривой. Условие на геодезическую кривую. Тензоры Римана и Риччи. Скалярная кривизна.

Правила проведения экзамена

• В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, пишущие принадлежности и список
  вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций и$/$или подробный план курса, так как их будет
  можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
• Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и$/$или подробный план курса на специальном
  столе (далее «стол знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (один номер будет от 1 до 13, второй номер будет от 14 до 26), затем
  начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
  столу знаний и в течение не более одной минуты посмотреть конспект лекций и$/$или подробный план курса.
• Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
  если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
• После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
  дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй
  половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача.
• При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
  использовать стол знаний при подготовке к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).