Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь

3  Билинейная и полилинейная алгебра

In the 20th century, the subject came to be known as tensor analysis, and achieved broader acceptance with the introduction of Einstein's theory of general relativity, around 1915. General relativity is formulated completely in the language of tensors. Einstein had learned about them, with great difficulty, from the geometer Marcel Grossmann. Tullio Levi-Civita then initiated a correspondence with Einstein to correct mistakes Einstein had made in his use of tensor analysis. The correspondence lasted 1915–1917, and was characterized by mutual respect: "I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot" (from Einstein's letter to Levi-Civita). Статья «Tensor» в англоязычной Википедии

3.4  Тензорные произведения векторных пространств

3.4.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами

• Тензорное произведение пространств: $V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}={\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}_{0}$, где ${\mathcal {F}}=\mathrm {FinFunc} (V_{1}\times \ldots \times V_{k},K)$ и ${\mathcal {F}}_{0}$ — подпространство полилинеаризации.
• Разложимый тензор: $v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}=(v_{1},\ldots ,v_{k})+{\mathcal {F}}_{0}$. Ранг тензора $T$: $\mathrm {rk} (T)$ есть миним. среди всех таких $m$, что $T$ равен сумме $m$ разл. тензоров.
• Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $V_{1},\ldots ,V_{k}$ — векторные простр.-ва над полем $K$; тогда
  $V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\bigl\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\bigr\rangle$ и отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V_{1}\times \ldots \times V_{k}&\to V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}\\(v_{1},\ldots ,v_{k})&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — полилинейный оператор.
• Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $V_{1},\ldots ,V_{k},Y$ — вект. простр.-ва над полем $K$; тогда для любых
  $\omega \in \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)$ существует единств. такой лин. оператор $a\in \mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)$, что для любых $v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}$ выполнено
  $a(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})=\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})$ (и, значит, ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)&\to \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)\\a&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto a(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм вект. пространств).
• Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$, $V_{1},\ldots ,V_{k}$ — векторные пространства над полем $K$ и $B_{1},\ldots ,B_{k}$ — базисы
  пространств $V_{1},\ldots ,V_{k}$ соответственно; тогда все тензоры $b_{1}\otimes \ldots \otimes b_{k}$, где $b_{1}\in B_{1},\ldots ,b_{k}\in B_{k}$, попарно различны и вместе образуют базис
  пространства $V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}$, а также, если $\dim V_{1},\ldots ,\dim V_{k}<\infty$, то $\dim(V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k})=\dim V_{1}\cdot \ldots \cdot \dim V_{k}$.
• Тензорное произв.-е тензоров: $T\otimes T'$. Тензорное произв.-е линейных операторов ($a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$, $b\in\mathrm{Hom}(W,Z)$): $(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)$.
• Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть $K$ — поле и $U,V,W$ — векторные пространства над полем $K$; тогда $V\otimes K\cong K\otimes V\cong V$,
  $(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W$ и $V\otimes W\cong W\otimes V$.
• Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть $K$ — поле и $V,W,Y$ — векторные пространства над полем $K$; тогда
  (1) ${\biggl (}\!{\begin{aligned}Y\otimes V^{*}\!&\to \mathrm {Hom} (V,Y)\\y\otimes \lambda &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \lambda (v)\,y{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный линейный оператор и, если $\dim V,\dim Y<\infty$, то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
  (2) ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes W^{*}\!&\to (V\otimes W)^{*}\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}v\otimes w\mapsto \lambda (v)\,\mu (w){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъект. лин. оператор и, если $\dim V,\dim W<\infty$, то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.

3.4.2  Тензоры типа $(p,q)$ и тензорная алгебра

• Пространство тензоров типа $(p,q)$ над $V$: ${\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V=V^{\otimes p}\!\otimes (V^{*})^{\otimes q}$. Примеры: ${\mathcal {T}}_{\,\,0}^{0}V=K$, ${\mathcal {T}}^{1}V=V$, ${\mathcal {T}}_{\,1}V=V^{*}$, ${\mathcal {T}}_{\,\,1}^{1}V\cong \mathrm {End} (V)$, ${\mathcal {T}}_{\,2}V\cong \mathrm {Bi} (V)$.
• Примеры: ${\mathcal {T}}_{\,\,2}^{1}V\cong \mathrm {Bi} (V,V,V)$ — простр.-во структур алгебры на $V$, ${\mathcal {T}}_{\,\,1}^{2}V\cong \mathrm {Hom} (V,V\otimes V)$ — простр.-во структур коалгебры на $V$, $\mathcal T_{\,q}V=\mathcal T^qV^*$.
• Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $p,q\in\mathbb N_0$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) $\biggl(\!\begin{align}\mathcal T_{\,q}V&\to\mathrm{Multi}_qV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_q)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(v_q)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизм векторных пространств;
  (2) $\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V,\ldots,V}^q,V^{\otimes p})\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((w_1,\ldots,w_q)\mapsto\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_p\bigr)\end{align}\!\Biggr)$ — изоморфизм векторных пространств;
  (3) $\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V^*,\ldots,V^*}^p,\overbrace{V,\ldots,V}^q,K)\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((\mu_1,\ldots,\mu_p,w_1,\ldots,w_q)\mapsto\mu_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\mu_p(v_p)\,\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\bigr)\end{align}\!\Biggr)$ — изоморфизм вект. простр.-в.
• Тензоры типа $(p,q)$ в координ.-х: $T=\!\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\,e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\!\otimes e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_q}$. Примеры: $v=\sum_{i=1}^nv^i\,e_i$, $\lambda=\sum_{j=1}^n\lambda_j\,e^j$, $a=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!a^i_j\;e_i\otimes e^j$.
• Примеры: $\sigma=\!\!\sum_{1\le j_1,j_2\le n}\!\!\sigma_{j_1,j_2}\,e^{j_1}\!\otimes e^{j_2}$ — метрический тензор, $\mathrm{vol}^e\!=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_n}$ — форма объема, связанная с упоряд. базисом $e$.
• Преобразование при замене базиса: $T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!\!(e_{k_1})^\tilde{i_1}\!\ldots(e_{k_p})^\tilde{i_p}(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_q})^{l_q}\;T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}$. Примеры: $v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}$, $\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}$.
• Тензорная алгебра над $V$: ${\mathcal {T}}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathcal {T}}^{k}V$ — ассоциативная $K$-алгебра с $1$ (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ${\mathcal {T}}^{k}V\otimes {\mathcal {T}}^{k'}\!V\cong {\mathcal {T}}^{k+k'}\!V$).
• Теорема о тензорной алгебре. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда множество
  $\{e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}\!\mid k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}\}$ — базис алгебры $\,{\mathcal {T}}(V)$, и для любых элементов $e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}$ и $e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!$ этого базиса
  выполнено $(e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!$ (и, значит, отображение, продолжающее по линейности заданное
  на базисе отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]&\to {\mathcal {T}}(V)\\x_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{i_{k}}\!&\mapsto e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$, — изоморфизм алгебр с $1$).

3.4.3  Операции над тензорами

• Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: $\bigl(T\otimes T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q\;\;\;\;\;\;\;j_1',\ldots,j_{q'}'}\!\!=T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\!j_1',\ldots,j_{q'}'}\!$. Кронекерово пр.-е матриц.
• Перестановка компонент: $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{pat}_u\colon\mathcal T^kV&\to\mathcal T^kV\\v_1\otimes\ldots\otimes v_k&\mapsto v_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes v_{u^{-1}(k)}\end{align}\!\biggr)$. Действие $\mathrm{pat}$ группы $\mathrm {S} _{k}$. Перест.-ка в коорд.-х: $\bigl(\mathrm{pat}_u(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}$.
• Свертка по $b$-й и $d$-й позициям: $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{tr}^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p-1}_{\;q-1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\lambda_d(v_b)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)$.
• Свертка по $b$-й и $d$-й позициям в координатах: $\bigl(\mathrm{tr}^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{h=1}^nT^{i_1,\ldots,i_{b-1},h,i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},h,j_{d+1},\ldots,j_q}$. Теорема о свертках тензоров малой валентности.

  Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) для любых $v\in V$, $\lambda \in V^{*}$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $\lambda(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\lambda)$, $\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}^1_1(a)$, $a(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes a)$ и $\lambda\circ a=\mathrm{tr}^1_2(a\otimes\lambda)$;
  (2) для любых $v,w\in V$ и $\sigma \in \mathrm {Bi} (V)$ выполнено $\sigma(v,w)=\mathrm{tr}^1_1(\mathrm{tr}^1_1(v\otimes w\otimes\sigma))$ и $\flat_\sigma v=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\sigma)$.

• Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in \mathrm {Bi} (V)$ и форма $\sigma$ невырождена; тогда
  (1) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ выполнено $(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)=\!\!\sum_{1\le i_1,i_2\le n}\!\!\sigma^{i_1,i_2}\,e_{i_1}\!\otimes e_{i_2}$ (тензор $(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)$ — обратный тензор по отношению к тензору $\sigma$);
  (2) под действием канонического изоморфизма $\biggl(\!\begin{align}V\otimes V&\to\mathrm{Bi}(V^*)\\v\otimes w&\mapsto\bigl((\lambda,\mu)\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ тензор $(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)$ переходит в форму $(\lambda,\mu)\mapsto\sigma(\sharp^\sigma\lambda,\sharp^\sigma\mu)$;
  (3) для любых $\lambda \in V^{*}$ выполнено $\sharp^\sigma\lambda=\mathrm{tr}^2_1((\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)\otimes\lambda)$.
• Опускание с $b$-й поз.-и на $d$-ю: $\biggl(\!\begin{align}(\flat_\sigma)^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p-1}_{\;q+1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes(\flat_\sigma v_b)\otimes\lambda_d\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)$.
• Подъем с $d$-й позиции на $b$-ю: $\biggl(\!\begin{align}(\sharp^\sigma)^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p+1}_{\;q-1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes(\sharp^\sigma\lambda_d)\otimes v_b\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)$.
• Опускание и подъем индексов в коорд.-х: $\bigl((\flat_\sigma)^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j,j_d,\ldots,j_q}=\sum_{i_b=1}^nT^{i_1,\ldots,i_b,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\sigma_{i_b,j}$ и $\bigl((\sharp^\sigma)^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i,i_b,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{j_d=1}^n\sigma^{i,j_d}\,T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_d,\ldots,j_q}$.

3.5  Симметрические и внешние степени векторных пространств

3.5.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами

• Симметрическая степень: $\mathsf S^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=T\bigr)\}$. Внешняя степень: $\mathsf\Lambda^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=\mathrm{sgn}(u)\,T\bigr)\}$.
• Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — вект. пр.-во над $K$,
  $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $\dim V<\infty$; обозначим через $\iota$ канонический изоморфизм $\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$; тогда
  (1) $\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\iota\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{paf}_u\!\circ\iota\bigr)$ (напоминание: $\mathrm{pat}_u(\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k)=\lambda_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_{u^{-1}(k)}$ и $(\mathrm{paf}_u(\omega))(v_1,\ldots,v_k)=\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})$);
  (2) $\iota ({\mathsf {S}}^{k}V^{*})=\mathrm {SMulti} _{k}V$ и $\iota ({\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*})=\mathrm {AMulti} _{k}V$ (и, значит, ${\mathsf {S}}^{k}V^{*}\!\cong \mathrm {SMulti} _{k}V$ и $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*}\!\cong \mathrm {AMulti} _{k}V$).
• Оператор симметризации: $\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{pat}_u$. Оператор альтернирования: $\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{pat}_u$. Лемма о симметризации и альтернировании.

  Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) для любых $u\in \mathrm {S} _{k}$ выполнено $\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sym}_k$ и $\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{alt}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k$;
  (2) для любых $T\in {\mathsf {S}}^{k}V$ выполнено $\mathrm {sym} _{k}(T)=T$ и для любых $T\in {\mathsf {\Lambda }}^{k}V$ выполнено $\mathrm {alt} _{k}(T)=T$;
  (3) $\mathrm {Im} \,\mathrm {sym} _{k}={\mathsf {S}}^{k}V$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {alt} _{k}={\mathsf {\Lambda }}^{k}V$, а также $\mathrm {sym} _{k}^{2}=\mathrm {sym} _{k}$ и $\mathrm {alt} _{k}^{2}=\mathrm {alt} _{k}$ (и, значит, $\mathrm {sym} _{k}$ — проектор на $\,{\mathsf {S}}^{k}V$ и $\mathrm {alt} _{k}$ — проектор на $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$).

• Симметрич. и внешнее произв. векторов: $v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}=\mathrm {sym} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})$ и $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}=k!\,\mathrm {alt} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})$. Пример: $\mathrm{vol}^e\!=e^1\wedge\ldots\wedge e^n$.
• Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — в. пр. над $K$ и $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) $\mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle$ и отображение $\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)$ — симметричный полилинейный оператор;
  (2) $\mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle$ и отображение $\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)$ — антисимметричный полилинейный оператор.
• Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V,Y$ — вект. пр.-ва над $K$ и $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) для любых $\omega\in\mathrm{SMulti}_k(V,Y)$ существует единств. такой линейный оператор $a\in\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)$, что для любых $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ выполнено
  $a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)$ (и, значит, $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)&\to\mathrm{SMulti}_k(V,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизм векторных пространств);
  (2) для любых $\omega\in\mathrm{AMulti}_k(V,Y)$ существует единств. такой линейный оператор $a\in\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)$, что для любых $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ выполнено
  $a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)$ (и, значит, $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)&\to\mathrm{AMulti}_k(V,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизм векторных пространств).
• Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $k\in \mathbb {N} _{0}$,
  $n=\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда
  (1) все тензоры $e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}$, где $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства $\,{\mathsf {S}}^{k}V$;
  (2) все тензоры $e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}$, где $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i_{1}<\ldots <i_{k}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$;
  (3) $\dim {\mathsf {S}}^{k}V={\biggl (}\!\!{\binom {n}{k}}\!\!{\biggr )}={\binom {n+k-1}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}$ и $\,\dim {\mathsf {\Lambda }}^{k}V={\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$.
• Симметрич. и внешняя степени лин. оператора ($a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$): $a^{\cdot k}(v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k})=a(v_{1})\cdot \ldots \cdot a(v_{k})$ и $a^{\wedge k}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k})=a(v_{1})\wedge \ldots \wedge a(v_{k})$.

3.5.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра

• Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров ($T\in {\mathcal {T}}^{k}V$, $T'\!\in {\mathcal {T}}^{k'}\!V$): $T\cdot T'=\mathrm {sym} _{k+k'}(T\otimes T')$ и $T\wedge T'={\frac {(k+k')!}{k!\,k'!}}\,\mathrm {alt} _{k+k'}(T\otimes T')$.
• Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: $T^{(i_1,\ldots,i_k)}\!=\bigl(\mathrm{sym}_k(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}$ и $T^{[i_1,\ldots,i_k]}\!=\bigl(\mathrm{alt}_k(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}$.
• Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: $\bigl(T\cdot T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}\!=T\!\phantom'^{(i_1,\ldots,i_k}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{k'}')}$ и $\bigl(T\wedge T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}\!=\frac{(k+k')!}{k!\,k'!}\,T\!\phantom'^{[i_1,\ldots,i_k}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{k'}']}$.
• Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное простр.-во над полем $K$,
  $k,k',k''\!\in \mathbb {N} _{0}$, $v_{1},\ldots ,v_{k},v_{1}',\ldots ,v_{k'}'\!\in V$ и $T\in {\mathcal {T}}^{k}V$, $T'\!\in {\mathcal {T}}^{k'}\!V$, $T''\!\in {\mathcal {T}}^{k''}\!V$; тогда
  (1) $(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})\cdot (v_{1}'\otimes \ldots \otimes v_{k'}')=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}\cdot v_{1}'\cdot \ldots \cdot v_{k'}'$ и $(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})\wedge (v_{1}'\otimes \ldots \otimes v_{k'}')={\frac {1}{k!\,k'!}}\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\wedge v_{1}'\wedge \ldots \wedge v_{k'}'$;
  (2) $\mathrm {sym} _{k}(T)\cdot T'=T\cdot \mathrm {sym} _{k'}(T')=T\cdot T'$ и $\mathrm {alt} _{k}(T)\wedge T'=T\wedge \mathrm {alt} _{k'}(T')=T\wedge T'$;
  (3) $(T\cdot T')\cdot T''=T\cdot (T'\cdot T'')=\mathrm {sym} _{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')$ и $(T\wedge T')\wedge T''=T\wedge (T'\wedge T'')={\frac {(k+k'+k'')!}{k!\,k'!\,k''!}}\,\mathrm {alt} _{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')$
  (симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
  (4) $(\ldots (v_{1}\cdot v_{2})\cdot \ldots \cdot v_{k-1})\cdot v_{k}=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}$ и $(\ldots (v_{1}\wedge v_{2})\wedge \ldots \wedge v_{k-1})\wedge v_{k}=v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$;
  (5) $T\cdot T'=T'\cdot T$ и $T\wedge T'=(-1)^{kk'}T'\wedge T$ (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно).
• Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над $V$: ${\mathsf {S}}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathsf {S}}^{k}V$ — ассоциативная коммутативная $K$-алгебра с $1$.
• Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над $V$: ${\mathsf {\Lambda }}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$ — ассоциативная суперкоммутативная $K$-алгебра с $1$.
• Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $n=\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда
  (1) $\{e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}\!\mid k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\},\,i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}\}$ — базис алгебры $\,{\mathsf {S}}(V)$, и для любых элементов $e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}$ и $e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!$ этого
  базиса выполнено $(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!$, где числа ${\hat {i}}_{1},\ldots ,{\hat {i}}_{k+k'}$ суть числа $i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'$, упоряд. по неубыванию;
  (2) $\{e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}\!\mid k\in \{0,\ldots ,n\},\,i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\},\,i_{1}<\ldots <i_{k}\}$ — базис алгебры $\,{\mathsf {\Lambda }}(V)$, и для любых элементов $e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}$ и
  $e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!$ этого базиса выполнено $(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'\!)\;e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!$, где числа ${\hat {i}}_{1},\ldots ,{\hat {i}}_{k+k'}$
  суть числа $i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'$, упорядоченные по возрастанию.

3.6  Геометрия в векторных пространствах над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ (часть 2)

3.6.1  Объем, векторное произведение, оператор Ходжа

• Каноническая форма объема псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией ($e\in \mathrm {OB} (V)$): $\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e$ (если $e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)$, то $\mathrm{vol}=\mathrm{vol}^e$).
• Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: $\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}$. Лемма об объеме и матрице Грама.

  Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть $V$ — псевдоевклид. пр.-во с ориентацией, $\sigma=(\,\mid\,)$, $n=\dim V$, $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ и $d=(v_1,\ldots,v_n)$; тогда
  $\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\det\sigma_{d,d}|}$ и, если $v_{1},\ldots ,v_{n}$ попарно ортогональны, то $\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|(v_1\!\mid\!v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|(v_n\!\mid\!v_n)|}$.

• Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: $|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|$ в $\langle v_1,\ldots,v_m\rangle$, если $v_1,\ldots,v_m$ независимы; иначе $|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0$.
• Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть $V$ — евклидово пространство, $\sigma=(\,\mid\,)$, $m\in \mathbb {N} _{0}$ и $v_1,\ldots,v_m\in V$; тогда
  (1) $|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_m),(v_1,\ldots,v_m)}}\,$;
  (2) если $m\ge1$, то $|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|$.
• Вект. произв.-е в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: $v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp\,\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)$ ($\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl((v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)$).
• Вект. произведение в координатах: $(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_{n-1}\le n}\!\!\!\varepsilon^{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i}_{j_1,\ldots,j_{n-1}}\,v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}$. Теорема о векторном произведении.

  Теорема о векторном произведении. Пусть $V$ — евклидово пространство с ориентацией, $n=\dim V\ge1$ и $v_1,\ldots,v_{n-1}\in V$; тогда
  (1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы $v_1,\ldots,v_{n-1}$ независимы, (у2) $v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0$ и (у3) $(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)$;
  (2) $v_{1}\times \ldots \times v_{n-1}\in \langle v_{1},\ldots ,v_{n-1}\rangle ^{\perp }$ и $\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})$.

• Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: $\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\lambda_1\wedge\ldots\wedge\lambda_k&\mapsto\bigl((v_{k+1},\ldots,v_n)\mapsto\mathrm{vol}(\sharp\,\lambda_1,\ldots,\sharp\,\lambda_k,v_{k+1},\ldots,v_n)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ (здесь $\mathrm{AMulti}_kV=\mathsf\Lambda^kV^*$).
• Пример: $\sharp*(\flat\,v_1\wedge\ldots\wedge\flat\,v_{n-1})=v_1\times\ldots\times v_{n-1}$. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.

  Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть $V$ — псевдоевклид. пр.-во с ориент., $\sigma=(\,\mid\,)$, $n=\dim V$, $k\in \{0,\ldots ,n\}$ и $\omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V$; тогда
  (1) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $j_{k+1},\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}$ выполнено $(*\,\omega)_{j_{k+1},\ldots,j_n}\!=\frac1{k!}\,\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le i_1,\ldots,i_k\le n}\!\!\!\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,j_{k+1},\ldots,j_n}\omega^{i_1,\ldots,i_k}$;
  (2) для любых $e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)$ и $j_{1},\ldots ,j_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено $*\,(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=(e_{j_1}\!\!\mid\!e_{j_1})\cdot\ldots\cdot(e_{j_k}\!\!\mid\!e_{j_k})\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}e^{j_{k+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^n$, где числа
  $j_{k+1},\ldots,j_n$ суть числа из множества $\{1,\ldots,n\}\setminus\{j_1,\ldots,j_k\}$, упорядоченные по возрастанию (в частности, $*\,1=\mathrm{vol}$ и $*\,\mathrm{vol}=(-1)^{\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)}$).

  Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. Пусть $V$ — псевдоевкл. пр.-во с ориент., $q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))$, $n=\dim V$ и $k\in \{0,\ldots ,n\}$; тогда
  (1) для любых $\omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V$ выполнено $**\omega=(-1)^{k(n-k)+q}\,\omega$ (и, значит, $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\omega&\mapsto*\,\omega\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизм векторных простр.-в);
  (2) для любых $\psi,\omega\in\mathrm{AMulti}_kV$ выполнено $\psi\wedge*\,\omega=(\psi\!\mid\!\omega)\,\mathrm{vol}$, где $(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\,\psi(\sharp^{\otimes k}\omega)$ (в координатах $(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\psi_{j_1,\ldots,j_k}\omega^{j_1,\ldots,j_k}$);
  (3) для любых $v,w\in V$ выполнено $*\,(\flat\,v\wedge*\,\flat\,w)=(-1)^q\,(v\!\mid\!w)$;
  (4) если $n=3$, то для любых $u,v,w\in V$ выполнено $(u\times v)\times w=(-1)^q\,((u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u)$.

3.6.2  Специальная ортохронная группа Лоренца

• Матричная группа Лоренца: $\mathrm O(1,3)$. Обозн.: $\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)$ ($\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=\eta$), $\mathrm S^2\!=\{v\in\mathbb R^3\!\mid\|v\|=1\}$. Теорема о свойствах группы $\mathrm O(1,3)$.

  Теорема о свойствах группы O(1,3).
  (1) Пусть $\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)$; тогда $\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)$, а также $\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1$.
  (2) Пусть $\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)$ и $(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1$; введем следующие обозначения: $\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)$ ($\varepsilon\in\{1,-1\}$), $\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)$ ($\varphi\in[0;\infty)$),
  $\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr)$, $\varphi>0\,\Rightarrow\,v=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)$ ($v,w\in\mathrm S^2\!$) и $h=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)$; тогда $\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;h\end{smallmatrix}\Bigr)$, а также
  $\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon\,h^\mathtt Tv\;\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\,h^\mathtt Th-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3$ и $\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det h\in\{1,-1\}$.
  (3) Отображение $\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;h\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det h))\end{align}\!\Biggr)$ — сюръективный гомоморфизм групп.
  (4) Обозначая через $\,\mathrm{SO}^+(1,3)$ ядро гомоморфизма из п.-та (3), имеем след. факты: $\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)$ и $\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}=$
  $=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;\infty),\,\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr),\,\varphi>0\,\Rightarrow\,v,w\in\mathrm S^2,\,h\in\mathrm{GL}_{>0}(3,\mathbb R),\,w=h^\mathtt Tv,\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\,h^\mathtt Th-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3\bigr\}$.