Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь

3  Геометрическая алгебра

3.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

3.1.1  ¯-Билинейные формы

• Пространство билинейных форм: $\mathrm {Bi} (V)$. Примеры: $(v,w)\mapsto v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w$ ($V=K^n$, $s\in \mathrm {Mat} (n,K)$), $(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg$ ($V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)$, $s\in V$).
• Поля с инволюцией. Пространство ${\overline {V}}$: $c\overline\cdot v=\overline c\,v$. Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если $\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K$): ${\overline {\mathrm {Bi} }}(V)=\mathrm {Bi} (V,{\overline {V}},K)$.
• Матрица Грама ($d=(v_1,\ldots,v_m)$): $(\sigma_{d,d})_{j_1,j_2}\!=\sigma(v_{j_1}\!,v_{j_2})$. Форма $\sigma$ в координ.-х ($e\in \mathrm {OB} (V)$): $\sigma (v,w)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {w^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {w^{j_{2}}}}$.
• Изоморфизм вект. пр.-в ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\\sigma &\mapsto \sigma _{e,e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Преобразования при замене базиса: $\sigma _{{\tilde {e}},{\tilde {e}}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}}$ и $\sigma _{{\tilde {j_{1}}},{\tilde {j_{2}}}}\!=\sum _{l_{1}=1}^{n}\sum _{l_{2}=1}^{n}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}{\overline {(e_{\tilde {j_{2}}})^{l_{2}}}}\,\sigma _{l_{1},l_{2}}$.
• Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: ${\overline {\mathrm {SBi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)={\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!={\overline {s}}\}$.
• Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: ${\overline {\mathrm {ABi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)=-{\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {A} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!=-{\overline {s}}\}$.
• Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: $\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\{a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,w)=\varphi (a(v),a(w)){\bigr )}\}$.
• Изоморфизмы между пр.-вами с формой: $\mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))\cap \mathrm {Bij} (V,Y)$ и $(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing$.

3.1.2  ¯-Квадратичные формы

• Пространство ¯-квадратичных форм: ${\overline {\mathrm {Quad} }}(V)=\{\kappa \in \mathrm {Map} (V,K)\mid \exists \,\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\;\forall \,v\in V\;{\bigl (}\kappa (v)=\sigma (v,v){\bigr )}\}$. Утверждение: $\kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)$.
• ¯-Квадратичная форма в коорд.: $\kappa (v)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {v^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {v^{j_{2}}}}$; если $\overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K$, то $\kappa(v)$ — однор. многочлен степени $2$ от $v^{1},\ldots ,v^{n}$.
• Поляризация квадратичн. формы $\kappa$ ($\mathrm {char} \,K\neq 2$): $\mathrm{pol}_\kappa(v,w)=\frac{\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)}2=\frac{\kappa(v+w)-\kappa(v-w)}4$. Утверждение: $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)$.
• Поляризация ¯-квадратичной формы $\kappa$ ($K=\mathbb {C}$): $\mathrm{pol}_\kappa(v,w)=\frac{\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)}4$. Утверждение: $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$.
• Теорема о биекции между билинейными формами и квадратичными формами.
  (1) Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $V$ — вект. пр.-во над $K$; тогда отобр.-е $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизм векторных пространств.
  (2) Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\,\mathbb {C}$; тогда отображение $\biggl(\!\begin{align}\overline{\mathrm{Bi}}(V)&\to\overline{\mathrm{Quad}}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизм векторных пространств.
• Гиперповерхность второго порядка в пространстве $V$: множество вида $\{v\in V\mid \kappa (v)+2\,\lambda (v)+c=0\}$, где $\kappa \in \mathrm {Quad} (V)\!\setminus \!\{0\}$, $\lambda \in V^{*}$, $c\in K$.
• Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть $s\in \mathrm {Mat} (n,K)$, $\lambda\in K_n$, $c\in K$ и $v\in K^{n}$; тогда $\,v^\mathtt T\!\cdot s\cdot v+2\,\lambda\cdot v+c=\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)^{\!\mathtt T}\!\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}c&\lambda\\\lambda^\mathtt T&s\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\v\end{smallmatrix}\Bigr)$.

3.1.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы

• Оператор бемоль (опускание индекса): $\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$. Опускание индекса в координатах: $(\flat_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}$ и $(\flat_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^nv^i\,\sigma_{i,j}$.
• Случай $\dim V<\infty$: ${\bigl (}$$\sigma$ невырождена${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow \;$${\bigl (}$$\flat_\sigma$ — биекция${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow \;$$\mathrm{Ker}\,\flat_\sigma\!=\{0\}$. Ранг формы $\sigma$: $\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,\flat_\sigma$. Утверждение: $\mathrm {rk} (\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma _{e,e})$.
• Топологич. невырожденность ($K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — нормир. вект. пр.-во, $\sigma\in\overline{\mathrm{Bi}}(V)\cap\mathrm C^0\!(V\times V,K)$): $\biggl(\!\begin{align}\flat_\sigma\colon V&\to\overline V^*\!\!\cap\mathrm C^0\!(V,K)\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ — биекция.
• Пример: $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}$ и $\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n$; тогда $\sigma$ топологич. невырождена (без док.-ва).
• Оператор диез (подъем индекса): $\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}$ ($\sigma$ невырождена). Подъем индекса в коорд. ($\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T$): $(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T$ и $(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j$.
• Нахождение координат вектора при помощи невырожд. формы: $v^e=\sigma^{e,e}\!\cdot((\flat_\sigma v)_e)^\mathtt T\!=\sigma^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_n)\end{smallmatrix}\biggr)$. Теорема о базисах и невырожденных формах.

  Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$, $m\in \mathbb {N} _{0}$, $v_1,\ldots,v_m\in V$,
  $d=(v_1,\ldots,v_m)$ и $U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle$; тогда $\sigma_{d,d}\!\in\mathrm{GL}(m,K)$, если и только если $d\in\mathrm{OB}(U)$ и форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена.

• Ортогональные векторы ($\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)$): $v\perp w\,\Leftrightarrow \,\sigma (v,w)=0\,\Leftrightarrow \,\sigma (w,v)=0$. Ортогональное дополн.-е: $U^{\perp }\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\leq V$.
• Теорема об ортогональном дополнении. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)$ и $U,W\leq V$; тогда
  (1) $U\subseteq U^{\perp\perp}$, $U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp$, $(U+W)^{\perp }\!=U^{\perp }\!\cap W^{\perp }$ и $\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp$;
  (2) если $\dim V<\infty$ и форма $\sigma$ невырождена, то $\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V$, а также $U=U^{\perp \perp }$ и $\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp$;
  (3) $\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp$ и, если $\dim U<\infty$, то ${\bigl (}$форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow\;\,$$U\cap U^{\perp }\!=\{0\}$;
  (4) если форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена, то $V=U\oplus U^{\perp }$ (и, значит, определен ортогональный проектор на $U$: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {proj} _{U}\colon V=U\oplus U^{\perp }\!&\to V\\v=u+u^{\perp }\!&\mapsto u\end{aligned}}\!{\biggr )}$).

3.1.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм

• Ортогональный базис: $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$$\;\Leftrightarrow \;$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$. Форма $\sigma$ в ортогонал. коорд. ($e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$): $\sigma(v,w)=\sum_{j=1}^n\sigma_{j,j}\,v^j\overline{w^j}$.
• Ортонормированный базис ($K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$): $e\in \mathrm {OnOB} (V,\sigma )$$\;\Leftrightarrow \;$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональн. матрица с $1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0$ на диагонали${\bigr )}$.
• Лемма о неизотропном векторе. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\!\setminus \!\{0\}$;
  тогда существует такой вектор $v\in V$, что $\sigma (v,v)\neq 0$ (то есть существует неизотропный вектор).
• Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.

  Теорема Лагранжа. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$; тогда
  (1) в пространстве $V$ существует ортогональный базис (то есть $\mathrm {OOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$);
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то в пространстве $V$ существует ортонормированный базис (то есть $\mathrm {OnOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$).

  Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)$; тогда
  (1) существует такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диагональная матрица;
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то сущ. такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диаг. матрица с $1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0$ на диагонали.

• Утверждение: пусть $U\leq V$, $\dim U<\infty$, форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена и $e\in \mathrm {OOB} (U,\sigma |_{U\times U})$; тогда $\forall\,v\in V\;\Bigl(\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}\,e_j\Bigr)$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$,
  $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; для любых $i\in \{0,\ldots ,n\}$ обозначим через $V_{i}$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ и обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор
  матрицы $\sigma _{e,e}$. Пусть для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ форма $\sigma |_{V_{i}\times V_{i}}$ невырождена (это эквивалентно тому, что $m_{i}\neq 0$); для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$
  обозначим через ${\hat {e}}_{i}$ вектор $e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})$. Тогда для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено
  (1) $({\hat {e}}_{1},\dots ,{\hat {e}}_{i})\in \mathrm {OOB} (V_{i},\sigma |_{V_{i}\times V_{i}})$ и $\,\sigma ({\hat {e}}_{i},{\hat {e}}_{i})={\frac {m_{i}}{m_{i-1}}}$;
  (2) $\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\,\hat e_j$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}$).
• Ортогональные системы функций. Тригонометрические многочлены, многочлены Лежандра, Чебышёва и Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).

3.2  Векторные пространства с геометрической структурой (часть 1)

3.2.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы

• Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: ${\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)>0{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)=-{\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$.
• Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}>0{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{<0}(n,K)=-{\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)$.
• Утверждение: пусть $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$ и $U\leq V$; тогда $U\cap U^{\perp }\!=\{0\}$ и, если $\dim U<\infty$, то форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена (и, значит, $V=U\oplus U^{\perp }$).
• Критерий Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$;
  для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$; тогда
  (1) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}m_{i}>0{\bigr )}$;
  (2) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}(-1)^{i}\,m_{i}>0{\bigr )}$.
• Индексы инерции формы $\sigma$: $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}$ и $\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}$.
• Закон инерции Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$; тогда
  (1) $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|$ не зависит от базиса $e$);
  (2) $\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|$ не зависит от базиса $e$);
  (3) $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)+\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)$.
• Теорема о классификации пространств с формой. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$, $\dim V,\dim Y<\infty$,
  $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $\varphi \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(Y)$; тогда $(V,\sigma )\cong (Y,\varphi )$, если и только если $\dim V=\dim Y$, $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{>0}(\varphi)$ и $\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\mathrm{ind}_{<0}(\varphi)$.
• Сигнатура формы $\sigma$: $(\mathrm{ind}_{>0}(\sigma),\mathrm{ind}_{<0}(\sigma))$ (или $\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)-\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)$). Классифик.-я кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).

3.2.2  Предгильбертовы пространства

• Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: $(\,\mid\,)$. Примеры: $(v\!\mid\!w)=v^\mathtt T\!\cdot\overline w$, $(f\!\mid\!g)=\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g$.
• Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над $\mathbb {R}$. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над $\mathbb {C}$.
• Норма: $\|v\|=\!{\sqrt {(v\!\mid \!v)}}$. Утверждение: $v\neq 0\,\Rightarrow \,\|v\|>0$ и $\|c\,v\|=|c|\,\|v\|$. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: $\ell ^{2}$.
• Теорема о свойствах нормы. Пусть $V$ — предгильбертово пространство; тогда
  (1) для любых $v,w\in V$ выполнено $|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|$ (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
  (2) для любых $v,w\in V$ выполнено $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$ (это неравенство треугольника);
  (3) если $\dim V<\infty$, то для любых $e\in \mathrm {OnOB} (V)$ и $v\in V$ выполнено $v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i$ и $\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2$ (это равенство Парсеваля).
• Метрика: $\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|$. Теорема об ортогональном проектировании. Расст.-е между вектором и подпр.-вом: $\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))$.

  Теорема об ортогональном проектировании. Пусть $V$ — предгильбертово пространство, $U\leq V$ и $\dim U<\infty$; тогда
  (1) для любых $v\in V$ и $u\in U\!\setminus \!\{\mathrm {proj} _{U}(v)\}$ выполнено $\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))<\mathrm{dist}(v,u)$ (и, значит, $\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))=\min\{\mathrm{dist}(v,u)\mid u\in U\}$);
  (2) для любых $e\in \mathrm {OnOB} (U)$ и $v\in V$ выполнено $\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j$ и $\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2$ (это неравенство Бесселя).

• Метод наименьших квадратов: замена системы $a\cdot v=y$, где $a\in\mathrm{Mat}(p,n,\mathbb R)$, $\mathrm{rk}(a)=n$ и $y\notin\{a\cdot v\mid v\in\mathbb R^n\}=X$, на систему $a\cdot v=\mathrm{proj}_X(y)$.
• Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом ($K=\mathbb {R}$, $v\ne0$, $w\ne0$, $U\ne\{0\}$): $\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}$ и $\angle (v,U)=\angle (v,\mathrm {proj} _{U}(v))$.
• Псевдоевклидово$\,/\,$псевдоунитарное пр.-во сигнатуры $(p,q)$ — кон.-мерн. вект. пр.-во над $\mathbb {R}$$\,/\,$$\mathbb {C}$ с невырожд. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигн.-ы $(p,q)$.

3.3  Линейные операторы и ¯-билинейные формы

3.3.1  Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы

• Группа автоморфизмов пр.-ва с ¯-билинейной формой: $\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(w))=\sigma(v,w)\bigr)\}$.
• Утверждение: пусть $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$, или $K=\mathbb {C}$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$; тогда $\,\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \forall \,v\in V\;{\bigl (}\sigma (a(v),a(v))=\sigma (v,v){\bigr )}\}$.
• Ортогональная группа ($V$ — в. пр. над $\mathbb {R}$, $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$): $\mathrm {O} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$. Унитарная группа ($V$ — в. пр. над $\mathbb {C}$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$): $\mathrm {U} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$.
• Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.
  (1) Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда
  $a\in\mathrm{Aut}(V,\sigma)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)\,\land\,(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}=\sigma_{e,e}$ и, если форма $\sigma$ невырождена, то условие "$\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)$" можно убрать.
  (2) Пусть $V$ — псевдоевклидово пространство сигнатуры $(p,q)$ и $e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)$; тогда $(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\mathrm c_\tilde e^e=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)$.
  (2) Пусть $V$ — псевдоунитарное пространство сигнатуры $(p,q)$ и $e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)$; тогда $(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)$.
• Матричные ортогонал. группы: $\mathrm O(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}$, $\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)\cap\mathrm O(p,q)$, $\mathrm O(n)$, $\mathrm{SO}(n)$.
• Матричные унитарные группы: $\mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}$, $\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)$, $\mathrm U(n)$, $\mathrm{SU}(n)$.
• Примеры: $\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}$, $\mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}$, $\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}a&b\\-\overline b&\overline a\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid a,b\in\mathbb C,\,|a|^2\!+|b|^2\!=1\bigr\}$.
• Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: $\mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(a(v),a(w))=\mathrm{dist}(v,w)\bigr)\}$. Теорема об описании изометрий.

  Теорема об описании изометрий. Пусть $V$ — предгильбертово пространство над полем $\,\mathbb {R}$; тогда
  (1) $\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)$;
  (2) обозначая через $G$, $F$ и $H$ группу $\,\mathrm{Isom}(V)$ и ее подгруппы $\{\bigl(v\mapsto v+v_0\bigr)\mid v_0\in V\}$ и $\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}$ соответственно, имеем
  следующие факты: $F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}$, $G=F\circ H$ и $\forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)$, а также $F\cong V^+\!$ (и, значит, $\mathrm{Isom}(V)\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)$).

3.3.2  Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы

• Пр.-во симметричных операторов: $\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)\}$; условие в коорд.: $(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}$.
• Пр.-во антисимм. операторов: $\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=-\sigma(v,a(w))\bigr)\}$; условие в коорд.: $(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=-\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}$.
• Мн.-во положительно опред. операторов ($\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$): $\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{SEnd}(V,\sigma)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(a(v),v)>0\bigr)\}$.
• Пример: $V=\{f\in\mathrm C^\infty\!([\alpha;\beta],\mathbb C)\mid\forall\,k\in\mathbb N_0\,\bigl(f^{(2k)}\!(\alpha)=f^{(2k)}\!(\beta)=0\bigr)\}$, $\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g\,$ и $a\,\colon f\mapsto-f''$; тогда $a$ — положит. определ. оператор.
• Линейный оператор, сопряженный к линейн. оператору $a$ ($\sigma$ невырождена): $a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)$ ($\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)$).
• Сопряженный оператор в координатах: $(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T$. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.

  Теорема о свойствах сопряжения. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$ и форма $\sigma$ невырождена; тогда
  (1) для любых $a,b\in \mathrm {End} (V)$ и $c\in K$ выполнено $(a+b)^{*}\!=a^{*}\!+b^{*}$, $(c\,a)^{*}\!={\overline {c}}\,a^{*}$ и $(a\circ b)^{*}\!=b^{*}\!\circ a^{*}$
  (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {End} (V)\\a&\mapsto a^{*}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — ¯-антиэндоморфизм $K$-алгебры $\,\mathrm {End} (V)$);
  (2) $\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}$, $\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=a\}$ и $\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=-a\}$;
  (3) если $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, то для любых $a\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $a^{**}\!=a$ и $\,\mathrm {Spec} (a^{*})={\overline {\mathrm {Spec} (a)}}$.

  Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, форма $\sigma$ невырождена,
  $a\in \mathrm {End} (V)$ и $U\leq V$; тогда $a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\subseteq U^\perp$, а также $\,\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp$ и $\,\mathrm{Im}\,a^*\!\subseteq(\mathrm{Ker}\,a)^\perp\!=(\mathrm{Im}\,a^*)^{\perp\perp}$.

• Форма, связанная с линейн. оператором $a$: $\sigma _{a}(v,w)=\sigma (a(v),w)$. Форма $\sigma_a$ в коорд.: $(\sigma _{a})_{e,e}=(a_{e}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}$. Лемма о форме, связанной с оператором.

  Лемма о форме, связанной с оператором. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$; тогда
  (1) если форма $\sigma$ невырождена, то отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\a&\mapsto \sigma _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств;
  (2) если $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, то $\,\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}(V)\}$ и $\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{ABi}}(V)\}$;
  (3) если $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то $\,\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(V)\}$.

• Мн.-во нормальных операторов ($\sigma$ невырождена): $\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}$; условие в коорд. ($\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n$): $a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e$.

3.3.3  Спектральная теория в унитарных пространствах

• Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$; тогда
  для любых $c\in \mathrm {Spec} (a)$ выполнено $V_{1}(a,c)=V_{1}(a^{*}\!,{\overline {c}})$, а также для любых таких $c,c'\in\mathrm{Spec}(a)$, что $c\ne c'$, выполнено $V_1(a,c)\perp V_1(a,c')$.
• Спектральная теорема для унитарных пространств. Пусть $V$ — унитарное пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) $a\in\mathrm{NEnd}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$;
  (2) $a\in \mathrm {U} (V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с числами вида $\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$, где $\varphi \in [0;2\pi )$, на диагонали${\bigr )}$;
  (3) $a\in\mathrm{SEnd}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали${\bigr )}$;
  (4) $a\in\mathrm{AEnd}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с числами вида $\beta \,\mathrm {i}$, где $\beta \in \mathbb {R}$, на диагонали${\bigr )}$;
  (5) $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали${\bigr )}$.
• Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$; тогда
  (1) $a\cdot {\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!={\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!\cdot a$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица${\bigr )}$;
  (2) $a\in\mathrm U(n)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с числами вида $\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$, где $\varphi \in [0;2\pi )$, на диагонали${\bigr )}$;
  (3) $a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали${\bigr )}$;
  (4) $a\in\overline{\mathrm A}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с числами вида $\beta \,\mathrm {i}$, где $\beta \in \mathbb {R}$, на диагонали${\bigr )}$;
  (5) $a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}_{>0}(n,\mathbb C)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали${\bigr )}$.
• Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть $V$ — унитарное пространство и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$; тогда
  $a\in\mathrm U(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1$, $a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R$, $a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i$, $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}$.
• Ортогональный проектор: $p^2=p\,\land\,p^*\!=p\;\Leftrightarrow\,\exists\,U\le V\;\bigl(p=\mathrm{proj}_U\!\bigr)$. Спектральное разложение нормального оператора $a$: $a=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!c\cdot \mathrm {proj} _{V_{1}(a,c)}$.
• Теорема о собственных числах и собственных векторах автоморфизмов, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
  (1) Пусть $V$ — предгильбертово пространство над полем $\,\mathbb {C}$ и $a\in\mathrm U(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)$; тогда для любого собственного числа $c$
  оператора $a$ выполнено $a\in\mathrm U(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathrm S^1$, $a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R$, $a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R\,\mathrm i$, $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}$, а также
  для любых двух различных собственных чисел $c$ и $c'$ оператора $a$ выполнено $V_1(a,c)\perp V_1(a,c')$.
  (2) Пусть $V$ — предгильбертово пространство над полем $\,\mathbb {R}$ и $a\in\mathrm O(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)$; тогда для любого собственного числа $c$
  оператора $a$ выполнено $a\in\mathrm O(V)\,\Rightarrow\,c\in\{1,-1\}$, $a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c=0$, $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}$, а также для любых двух различных
  собственных чисел $c$ и $c'$ оператора $a$ выполнено $V_1(a,c)\perp V_1(a,c')$.
• Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).

3.3.4  Спектральная теория в евклидовых пространствах

• $\mathbb {C}$-Диагональная матрица — блочно-диагональная матрица над полем $\mathbb {R}$ с блоками размера $1\times 1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$.
• $\mathbb {C}$-Спектр линейного оператора $a$ в конечномерном пр.-ве над $\mathbb {R}$: $\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)=\{c\in \mathbb {C} \mid \chi _{a}(c)=0\}$. Пример: $\mathbb {C} \mathrm {Spec} {\bigl (}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr )}=\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} ,\alpha -\beta \,\mathrm {i} \}$.
• Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем R. Пусть $V$ — евклидово пространство, $V\neq \{0\}$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и $\,\mathrm {Spec} (a)=\varnothing$; тогда
  (1) существует такое подпространство $U$ пространства $V$, что $\dim U=2$, $a(U)\subseteq U$ и, если $a\in\mathrm{NEnd}(V)$, то $a^*(U)\subseteq U$;
  (2) если $\dim V=2$, то для любых $e\in \mathrm {OnOB} (V)$ выполнено $a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}$.
• Спектральная теорема для евклидовых пространств. Пусть $V$ — евклидово пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) $a\in\mathrm{NEnd}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица${\bigr )}$;
  (2) $a\in \mathrm {O} (V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$-диагон. матрица с числами $1$, $-1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\varphi \in (0;2\pi )\!\setminus \!\{\pi \}$, на диагонали${\bigr )}$;
  (3) $a\in\mathrm{SEnd}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$;
  (4) $a\in\mathrm{AEnd}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица с числом $0$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\beta \\\beta &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\beta \in \mathbb {R} \!\setminus \!\{0\}$, на диагонали${\bigr )}$;
  (5) $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали${\bigr )}$.
• Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} )$; тогда
  (1) $a\cdot a^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot a$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица${\bigr )}$;
  (2) $a\in\mathrm O(n)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$-диагон. матрица с числами $1$, $-1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\varphi \in (0;2\pi )\!\setminus \!\{\pi \}$, на диагонали${\bigr )}$;
  (3) $a\in\mathrm{SMat}(n,\mathbb R)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица${\bigr )}$;
  (4) $a\in\mathrm{AMat}(n,\mathbb R)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица с числом $0$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\beta \\\beta &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\beta \in \mathbb {R} \!\setminus \!\{0\}$, на диагонали${\bigr )}$;
  (5) $a\in\mathrm{SMat}_{>0}(n,\mathbb R)$$\;\,\Leftrightarrow\;\,$$\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали${\bigr )}$.
• Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть $V$ — евклидово пространство и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$; тогда
  $a\in\mathrm O(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1$, $a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R$, $a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i$, $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}$.
• Усиленная теорема Лагранжа для евклидовых и унитарных пространств. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство и $\tau \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$; тогда
  $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$\tau _{e,e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$ (то есть $\mathrm {OnOB} (V)\cap \mathrm {OOB} (V,\tau )\neq \varnothing$).
• Теорема Эйлера о вращениях. Пусть $V$ — евклидово пространство, $\dim V=3$, $a\in \mathrm {SO} (V)$, $a\ne\mathrm{id}_V$, $U=V_1(a,1)$ и $b=a|_{U^\perp\to U^\perp}$; тогда
  $\dim U=1$, $b\in \mathrm {SO} (U^{\perp })$ и для любых $v\in V$ выполнено $a(v)=\mathrm {proj} _{U}(v)+b{\bigl (}v-\mathrm {proj} _{U}(v){\bigr )}$ (и, значит, $a$ — оператор вращения вокруг оси $U$).