Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь

3  Билинейная и полилинейная алгебра

3.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

3.1.1  ¯-Билинейные формы

• Пространство билинейных форм $\mathrm {Bi} (V)$. Примеры: $(v,w)\mapsto v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w$ ($V=K^n$, $s\in \mathrm {Mat} (n,K)$), $(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg$ ($V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)$, $s\in V$).
• Поля с инволюцией. Пространство ${\overline {V}}$: $c\overline\cdot v=\overline c\,v$. Пространство ¯-билинейных (полуторалинейных, если $\overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K$) форм: ${\overline {\mathrm {Bi} }}(V)=\mathrm {Bi} (V,{\overline {V}},K)$.
• Матрица Грама формы $\sigma$: $(\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\!=\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})$ ($e\in V^{n}$). ¯-Билинейная форма в координатах: $\sigma (v,w)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {w^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {w^{j_{2}}}}$.
• Изоморфизм ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\\sigma &\mapsto \sigma _{e,e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ ($e\in \mathrm {OB} (V)$). Преобразов.-я при замене базиса: $\sigma _{{\tilde {e}},{\tilde {e}}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}}$ и $\sigma _{{\tilde {j_{1}}},{\tilde {j_{2}}}}\!=\sum _{l_{1}=1}^{n}\sum _{l_{2}=1}^{n}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}{\overline {(e_{\tilde {j_{2}}})^{l_{2}}}}\,\sigma _{l_{1},l_{2}}$.
• Простр.-ва (над полем $\{c\in K\mid c={\overline {c}}\}$) ${\overline {\mathrm {SBi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)={\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!={\overline {s}}\}$.
• Пр.-ва (над полем $\{c\in K\mid c={\overline {c}}\}$) ${\overline {\mathrm {ABi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)=-{\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {A} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!=-{\overline {s}}\}$.
• $\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\{a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,w)=\varphi (a(v),a(w)){\bigr )}\}$, $\mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))\cap \mathrm {Bij} (V,Y)$.
• Группа автоморфизмов простр.-ва с формой: $\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(V,\sigma ))$ и $\mathrm {Aut} (n,K,s)=\{a\in \mathrm {GL} (n,K)\mid a^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {a}}=s\}$ ($s\in \mathrm {Mat} (n,K)$).

3.1.2  ¯-Квадратичные формы

• Пространство ¯-квадратичных форм: ${\overline {\mathrm {Quad} }}(V)=\{\kappa \in \mathrm {Map} (V,K)\mid \exists \,\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\;\forall \,v\in V\;{\bigl (}\kappa (v)=\sigma (v,v){\bigr )}\}$. Утверждение: $\kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)$.
• ¯-Квадратичная форма в коорд.: $\kappa (v)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {v^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {v^{j_{2}}}}$; если $\overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K$, то $\kappa(v)$ — однор. многочлен степени $2$ от $v^{1},\ldots ,v^{n}$.
• Гиперповерхность второго порядка в пространстве $V$: множество вида $\{v\in V\mid \kappa (v)+2\,\lambda (v)+c=0\}$, где $\kappa \in \mathrm {Quad} (V)\!\setminus \!\{0\}$, $\lambda \in V^{*}$, $c\in K$.
• Примеры кривых второго порядка ($\dim V=2$, $e\in \mathrm {OB} (V)$): $\{v\in V\mid(v^1)^2+(v^2)^2=1\}$, $\{v\in V\mid(v^1)^2-(v^2)^2=1\}$, $\{v\in V\mid(v^1)^2=v^2\}$.
• Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $V$ — векторное пространство над полем $K$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in \mathrm {Quad} (V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение $\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)$, имеем следующие факты:
  $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — симметричная билинейная форма (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)$) и $\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\mathrm{pol}_\kappa(v,v)\bigr)$;
  (2) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Quad} (V)&\to \mathrm {SBi} (V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств.
• Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\,\mathbb {C}$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to \mathbb {C} \\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)+\mathrm {i} \,\kappa (v+\mathrm {i} \,w)-\kappa (v-w)-\mathrm {i} \,\kappa (v-\mathrm {i} \,w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}$,
  имеем следующие факты: $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — полуторалинейная форма (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$) и $\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\mathrm{pol}_\kappa(v,v)\bigr)$;
  (2) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Quad} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств.
• Утверждение: пусть $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$, или $K=\mathbb {C}$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$; тогда $\,\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(v,v)=\sigma(a(v),a(v))\bigr)\}$.