Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь
3 Билинейная и полилинейная алгебра
3.1 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
3.1.1 ¯-Билинейные формы
- Пространство билинейных форм . Примеры билинейных форм: (), .
- Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство . Пространство ¯-билинейных форм: .
- Матрица Грама формы : . ¯-Билинейная форма в координатах: .
- Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и .
- Пр.-ва (над полем ) и .
- Пр.-ва (над полем ) и .
- , .
- Группа автоморфизмов пр.-ва с формой: и ().
3.1.2 ¯-Квадратичные формы
- Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
- ¯-Квадратичная форма в координатах: — однородный ¯-многочлен степени от .
- Гиперповерхность второго порядка в пространстве : мн.-во вида , где , , .
- Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт:
— симметричная билинейная форма в пространстве (то есть );
(2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение ,
имеем следующий факт: — полуторалинейная форма в пространстве (то есть );
(2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Утверждение: пусть , или , ; тогда .
3.1.3 Невырожденные ¯-билинейные формы
- Опускание индексов: . Опускание индексов в координатах: и .
- Случай : невырождена — биекция. Ранг формы: . Утверждение: .
- Топологическая невырожденность ( или ). Пример: и ; тогда и .
- Подъем индексов ( невырождена): . Подъем индексов в координатах (): и .
- Лемма о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , , ; обозначим
через пространство ; тогда , если и только если и форма невырождена. - Ортогональность (): . Ортогональное дополнение: .
- Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , и ; тогда
(1) , , и ;
(2) и, если , то невырождена;
(3) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор );
(4) если форма невырождена и , то .
3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
- Ортогональный базис: — диагональная матрица.
- Ортонормированный базис (если или ): — диагональная матрица с , , на диагонали.
- Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , ; тогда
существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор). - Теорема Лагранжа и матричная формулировка этой теоремы. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , , ; тогда
(1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
(2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
(1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
(2) если или , то существует такая матрица , что — диагональная матрица с , , на диагонали. - Утверждение: пусть , , , форма невырождена и ; тогда .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство и
обозначим через -й угловой минор матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно
тому, что ); для любых обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) и ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
3.2 Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над или
3.2.1 Положительно и отрицательно определенные формы
- Множества и .
- Множества и .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если , то форма невырождена.
- Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
обозначим через число ; для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если . - Предгильбертово пространство — векторное пр.-во над или с положительно определенной формой. Примеры предгильбертовых пространств.
- Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над . Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над .
- Ортогональные системы функций. Тригонометрические многочлены, многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).
3.2.2 Сигнатура формы
- Полож. и отриц. ранги: и .
- Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и
; обозначим через число ; тогда
(1) (и, значит, число не зависит от базиса );
(2) (и, значит, число не зависит от базиса );
(3) . - Классификация конечномерных пространств с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над R или C. Пусть или , — векторные
пространства над полем , , и ; тогда (то есть ),
если и только если , и . - Сигнатура формы: (или ). Пр.-во Минковского — четырехмерное пр.-во над с формой сигнатуры .
- Псевдоевклидово пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной симметричной билинейной формой.
- Псевдоунитарное пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
- Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).
3.2.3 Предгильбертовы пространства
- Обозначение формы: . Примеры: , . Норма: . Утверждение: и .
- Гильбертово пространство — предгильбертово пр.-во, полное относительно нормы. Пример: — бесконечномерное гильбертово пространство.
- Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
(1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
(2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
(3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля). - Теорема об ортогональном проектировании. Пусть — предгильбертово пространство, и ; тогда
(1) для любых и выполнено и (это неравенство Бесселя);
(2) для любых и выполнено (и, значит, ). - Метрика: . Расстояние между вектором и подпространством: . Метод наименьших квадратов.
- Угол между векторами и угол между вектором и подпространством (если ): и .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве. Пусть — евклидово или унитарное пространство
и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство . Для любых
обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
3.3 Линейные операторы и ¯-билинейные формы
3.3.1 Сопряжение операторов
- Сопряженный оператор (форма невырождена): . Сопряженный оператор в координатах: .
- Лемма о сопряжении операторов. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , форма невырождена; тогда
(1) для любых и вектор однозначно определяется условием ;
(2) для любых и выполнено , и
(и, значит, отображение — ¯-антиэндоморфизм -алгебры );
(3) для любых выполнено ;
(4) . - Ортогональная группа ( — псевдоевклидово пр.-во): . Унитарная группа ( — псевдоунитарное пр.-во): .
- Классические группы над : , , , .
- Классические группы над : , , , .
- Примеры: , и .
3.3.2 Два пространства и два множества операторов
- Форма, связанная с оператором: (). Форма, связанная с оператором, в координатах: .
- Лемма об операторах и формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , форма невырождена; тогда
отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о форме, связанной с оператором, и сопряжении операторов. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство
над полем , , форма невырождена и ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) и , а также ;
(3) и ;
(4) для любых выполнено и . - Пр.-во самосопряженных оп.-ров: ; невырождена.
- Пр.-во антисамосопряж. оп.-ров: ; невырождена.
- Множество положительно определенных операторов (если или ): .
- Множество нормальных операторов: ; .
- Пример: положит. определ. оператор в пространстве с формой .
3.3.3 Спектральная теория в унитарных пространствах
- Лемма о собственных векторах нормального оператора. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) для любых таких , что , выполнено . - Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве и матричная формулировка этой теоремы.
Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
, если и только если — диагональная матрица.Матричная формулировка спектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть и ; тогда
, если и только если — диагональная матрица. - Ортогональный проектор: . Спектральное разложение нормального оператора: .
- Спектральная теорема для унитарных, эрмитовых, положительно определенных и антиэрмитовых операторов в унитарном пространстве.
Пусть — унитарное пространство и ; тогда
(1) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали;
(2) — диаг. матрица с вещественными числами на диагонали;
(3) — диаг. матрица с положительными числами на диагонали;
(4) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали. - Теорема о собственных числах автоморфизмов, самосопряженных, положительно определенных и антисамосопряженных операторов. Пусть
— предгильбертово пространство, , и ; тогда , ,
и . - Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).
3.3.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах
- -Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над с блоками размера и блоками вида , где и .
- -Спектр оператора: . Утверждение: пусть и ; тогда .
- Лемма об операторе с пустым спектром над полем R. Пусть — евклидово пространство, , и ; тогда
(1) существует такое подпространство пространства , что , и, если , то ;
(2) если , то для любых выполнено . - Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве и матричная формулировка этой теоремы.
Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
, если и только если — -диагональная матрица.Матричная формулировка спектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть и ; тогда
, если и только если — -диагональная матрица. - Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом пр.-ве.
Пусть — евклидово пространство и ; тогда
(1) — -диаг. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали
;
(2) — диагональная матрица;
(3) — диаг. матрица с положительными числами на диагонали;
(4) — -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали
. - Усиленная теорема Лагранжа для евклидова или унитарного пространства. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ;
тогда — диагональная матрица (то есть ). - Теорема Эйлера о вращениях. Пусть — евклидово пространство, , ; обозначим через пространство
и обозначим через оператор ; тогда , и для любых выполнено
(то есть оператор — вращение вокруг оси ). - Теорема о группах SU(2) и SO(3).
(1) , (пространство рассматривается со стандартным симметричным скалярным произведением).
(2) Для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: .
(3) Для любых и , обозначая через кватернион , имеем следующие факты: ,
и для любых выполнено .
(4) Обозначая через отображение , имеем следующие факты: — гомоморфизм групп, и
(и, значит, и ).