Алгебраические структуры 5 2015

Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности

Пропасть, зияющая между нашим повседневным мышлением и нормами математического рассуждения, должна оставаться неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математика выполняла свои функции. Ю.И. Манин. Математика как метафора

Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных
(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства.

• Глобальная $4$-мерная система координат на множестве $M$ — биекция между множествами $M$ и $\mathbb {R} ^{4}$.
• Глобальные $4$-мерные системы координат $\alpha$ и ${\tilde {\alpha }}$ на множестве $M$ инерциально согласованы в смысле СТО, если замена координат ${\tilde {\alpha }}\circ \alpha ^{-1}$ —
  преобразование Пуанкаре (композиция специального ортохронного преобразования Лоренца и сдвига), то есть существуют такие $\Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\in \mathrm {SO} ^{+}(1,3)$
  и $\xi _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{4}$, что для любых $x\in \mathbb {R} ^{4}$ выполнено ${\tilde {\alpha }}(\alpha ^{-1}(x))=\Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\!\cdot x+\xi _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}$.
• Утверждение 1. Отношение инерциальной согласованности в смысле СТО является отношением эквивалентности.
• Пространство событий в СТО — множество $M$, на котором зафиксирован класс ${\mathcal {A}}_{M}$ инерциальной согласованности в смысле СТО глобальных
  $4$-мерных систем координат.
• Инерциальная система координат на пространстве событий $M$ в СТО — глобальная $4$-мерная система координат, принадлежащая классу ${\mathcal {A}}_{M}$.

Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура $4$-мерного многообразия: на $4$-мерном
многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,
разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные
конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,
тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких
замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для
пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом
пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции.

Зафиксируем пространство событий $M$ в СТО; его элементы для простоты будем называть точками (а не событиями).

• Пусть $k\in \mathbb {N}$, $m_{1},\ldots ,m_{k}\in M$, $\tau _{1},\ldots ,\tau _{k}\in \mathbb {R}$ и $\tau _{1}+\ldots +\tau _{k}=1$; барицентрическая комбинация $\tau _{1}m_{1}+\ldots +\tau _{k}m_{k}$ точек $m_{1},\ldots ,m_{k}$ с
  коэффициентами $\tau _{1},\ldots ,\tau _{k}$ — точка $\alpha ^{-1}(\tau _{1}\alpha (m_{1})+\ldots +\tau _{k}\alpha (m_{k}))$, где $\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}$.
• Утверждение 2. Определение барицентрической комбинации точек не зависит от выбора инерциальной системы координат $\alpha$ на $M$.
• Пусть $m,n\in M$; прямая, проходящая через точки $m$ и $n$, — множество $\{(1-\tau )m+\tau \,n\mid \tau \in \mathbb {R} \}$.
• Пусть $m,n\in M$; разность $n-m$ точек $m$ и $n$ — скорость в нуле пути ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {R} &\to M\\\tau &\mapsto (1-\tau )m+\tau \,n\end{aligned}}\!{\biggr )}$ (это элемент касательного пространства $\mathrm {T} _{m}M$).
• Утверждение 3. Для любых $m,n\in M$ и $\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}$ выполнено $(n-m)^{\alpha }\!=\alpha (n)-\alpha (m)$ (здесь $(n-m)^{\alpha }$ — столбец координат вектора $n-m$
  относительно базиса ${\Bigl \{}{\frac {\partial }{\partial x^{0}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}(m){\Bigr \}}$ пространства $\mathrm {T} _{m}M$, определяемого инерциальной системой координат $\alpha$ на $M$).
• Пусть $m,n\in M$ и $v\in \mathrm {T} _{m}M$; сумма $n+v$ точки $n$ и касательного вектора $v$ — точка $\alpha ^{-1}(\alpha (n)+v^{\alpha })$, где $\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}$.
• Утверждение 4. Для любых $m\in M$, $v\in \mathrm {T} _{m}M$ и $\alpha ,{\tilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}_{M}$ выполнено $v^{\tilde {\alpha }}\!=\Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\!\cdot v^{\alpha }$.
• Утверждение 5. Определение суммы точки и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат $\alpha$ на $M$.
• Пусть $m\in M$; скалярное произведение $g(m)$ на касательном пространстве $\mathrm {T} _{m}M$ — невырожденная симметричная билинейная форма
  ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M\times \mathrm {T} _{m}M&\to \mathbb {R} \\(v,w)&\mapsto (v^{\alpha })^{\mathtt {T}}\!\cdot \mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)\cdot w^{\alpha }\end{aligned}}\!{\biggr )}$, где $\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}$.
• Утверждение 6. Определение скалярного произведения на касательном простр.-ве не зависит от выбора инерциальной системы координат $\alpha$ на $M$.
• Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах. Пусть $m,n\in M$; тогда
  (1) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}M&\to \mathrm {T} _{m}M\\n&\mapsto n-m\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M&\to M\\v&\mapsto m+v\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные биекции;
  (2) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M&\to \mathrm {T} _{n}M\\v&\mapsto (n+v)-n\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{n}M&\to \mathrm {T} _{m}M\\v&\mapsto (m+v)-m\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.

Доказанные утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:
структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством и структурой псевдориманова многообразия сигнатуры $(1,3)$, а также
на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.