Алгебра phys 1 весна 2016

1  Линейная алгебра

Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно- научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира- щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам- нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика. Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб- лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени. А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия

Материал первой половины второго семестра курса алгебры

Содержание первой половины второго семестра курса алгебры

1.1  Матрицы, базисы, координаты

• 1.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк
• 1.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
• 1.1.3  Преобразования координат при замене базиса
• 1.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

1.2  Линейные операторы (часть 1)

• 1.2.1  Ядро и образ линейного оператора
• 1.2.2  Ранг линейного оператора
• 1.2.3  Системы линейных уравнений

1.3  Конструкции над векторными пространствами

• 1.3.1  Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
• 1.3.2  Двойственное пространство

1.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель

• 1.4.1  Отступление о симметрических группах
• 1.4.2  Полилинейные отображения и формы объема
• 1.4.3  Определитель линейного оператора
• 1.4.4  Миноры матрицы и присоединенная матрица

Материал второй половины второго семестра курса алгебры

1.5  Линейные операторы (часть 2)

1.5.1  Многочлены от операторов

• Многочлен от оператора: $f(a)=\sum _{k=0}^{\deg f}f_{k}a^{k}$. Эвалюация ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм колец и векторных пространств.
• Кольцо, порожденное оператором: $K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm {Im} \,\mathrm {eval} _{a}$ — коммутативное подкольцо и подпространство в $\mathrm {End} (V)$.
• Минимальный многочлен оператора: $\mu _{a}(a)=0$, $\mu _{a}$ приведен, $\deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\setminus \{0\}\;\land \;f(a)=0\}$; $(\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]$.
• Утверждение: пусть $a\in \mathrm {End} (V)$ и $f\in K[x]$; тогда $a{\bigl (}\mathrm {Ker} \,f(a){\bigr )}\leq \mathrm {Ker} \,f(a)$ и, если $g\in K[x]$ и $f$ делит $g$, то $\,\mathrm {Ker} \,f(a)\leq \mathrm {Ker} \,g(a)$.
• Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $a\in \mathrm {End} (V)$,
  $f,g\in K[x]$ и $\gcd(f,g)=1$; тогда $\,\mathrm {Ker} \,(fg)(a)=\mathrm {Ker} \,f(a)\oplus \mathrm {Ker} \,g(a)$.
• Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $a\in \mathrm {End} (V)$,
  $f\in K[x]$, $f(a)=0$ и $f=\prod _{i=1}^{t}f_{i}$, где $t\in \mathbb {N} _{0}$, $f_{1},\ldots ,f_{t}\in K[x]$ и $f_{1},\ldots ,f_{t}$ попарно взаимно просты; тогда $V=\bigoplus _{i=1}^{t}\mathrm {Ker} \,f_{i}(a)$.
• Проектор (идемпотент): $a^{2}=a\,\Leftrightarrow \,V=\mathrm {Ker} \,(a-\mathrm {id} _{V})\oplus \mathrm {Ker} \,a$. Нильпотентный оператор: $\exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}a^{m}=0{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}\mu _{a}=x^{m}{\bigr )}$.

1.5.2  Спектр оператора и характеристический многочлен оператора

• Спектр оператора: $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}$; если $\dim V<\infty$, то $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mathrm {Ker} \,(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\neq \{0\}\}$.
• Характеристический многочлен матрицы: $\chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)$. Характеристический многочлен оператора: $\chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}$. Корректность определения.
• Утверждение: $\chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a$. Утверждение: $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}$ (и, значит, $|\mathrm {Spec} (a)|\leq \dim V$).
• Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда $\chi _{a}(a)=0$.
• Две кратности: $\alpha (a,c)$ — кратность $c$ как корня многочлена $\chi _{a}$ (алгебраическая кратность) и $\beta (a,c)$ — кратность $c$ как корня многочлена $\mu _{a}$.
• Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$, $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) многочлен $\mu _{a}$ делит многочлен $\chi _{a}$ (и, значит, $\forall \,c\in K\;{\bigl (}\beta (a,c)\leq \alpha (a,c){\bigr )}$);
  (2) $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}$;
  (3) если $a$ — нильпотентный оператор, то $\chi _{a}=x^{\dim V}$.

1.5.3  Собственные и корневые подпространства оператора

• Обобщенные собственные подпространства: $V_{j}(a,c)=\mathrm {Ker} \,(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})^{j}\leq V$. Корневые подпространства: $V(a,c)=\bigcup _{j=0}^{\infty }V_{j}(a,c)\leq V$.
• Цепь $a$-инвариантных подпространств: $\{0\}<V_{1}(a,c)<\ldots <V_{p-1}(a,c)<V_{p}(a,c)=V_{p+1}(a,c)=\ldots$; вывод: $V(a,c)=V_{p}(a,c)$.
• Относительные геометрические кратности: $\gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)$ и $\gamma (a,c)=\gamma _{1}(a,c)$. Утверждение: $\gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)$.
• Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$;
  тогда следующие условия эквивалентны:
  (1) существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$, что $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица;
  (2) $\mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)$ (то есть $\mu _{a}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$);
  (3) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)$ (это разложение пространства $V$ в прямую сумму собственных подпространств оператора $a$);
  (3') $\dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)$.
• Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$, $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$, $c\in K$; тогда
  (1) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $\beta (a,c)\leq j\,\Leftrightarrow \,V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{j}(a,c)$;
  (2) $\beta (a,c)=\min\{j\in \mathbb {N} _{0}\mid V_{j}(a,c)=V_{j+1}(a,c)\}$ и $V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)$.
• Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$,
  $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$, то
  это условие выполнено для любого оператора $a$ в силу алгебраической замкнутости поля $\mathbb {C}$); тогда
  (1) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)$ (это разложение пространства $V$ в прямую сумму корневых подпространств оператора $a$);
  (2) для любых $c\in \mathrm {Spec} (a)$, обозначая через $\mathrm {nil} (a,c)$ оператор $(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})|_{V(a,c)\to V(a,c)}$, имеем следующие факты: для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$
  выполнено $\,\mathrm {Ker} \,\mathrm {nil} (a,c)^{j}=V_{j}(a,c)$, а также $\mathrm {nil} (a,c)$ — нильпотентный оператор и $\dim V(a,c)=\alpha (a,c)$.

1.6  Линейные операторы (часть 3)

1.6.1  Относительные базисы

• Независимое подмножество в $V$ относительно $U$: $\sum _{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow \,f=0$. Порождающее подмножество в $V$ относительно $U$: $U+\langle D\rangle =V$.
• Базис в $V$ относительно $U$: одновременно независимое и порождающее подмножество в $V$ относительно $U$. Три леммы-упражнения.

  Лемма 1 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$, $U\leq V$, $E\subseteq V$; тогда следующие условия эквивалентны:
  (1) $E$ — базис в $V$ относительно $U$;
  (1') $E$ — независимое подмножество в $V$ и $U\oplus \langle E\rangle =V$;
  (2) $E$ — максимальное независимое подмножество в $V$ относительно $U$;
  (3) $E$ — минимальное порождающее подмножество в $V$ относительно $U$.
  Лемма 2 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$, $\dim V<\infty$, $U\leq V$; тогда
  (1) любое независимое подмножество в $V$ относительно $U$ можно дополнить до базиса в $V$ относительно $U$;
  (2) из любого конечного порождающего подмножества в $V$ относительно $U$ можно выделить базис в $V$ относительно $U$.
  Лемма 3 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$, $U'\leq U\leq V$, $E$ — базис в $V$ относительно $U$, $E'$ — базис в $U$
  относительно $U'$; тогда $E\cup E'$ — базис в $V$ относительно $U'$.

• Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и $j\in \mathbb {N}$;
  обозначим через $V_{j-1}$, $V_{j}$, $V_{j+1}$ пространства $\,\mathrm {Ker} \,a^{j-1}$, $\mathrm {Ker} \,a^{j}$, $\mathrm {Ker} \,a^{j+1}$ соответственно; пусть $C$ — независимое подмножество в $V_{j+1}$
  относительно $V_{j}$; тогда $a|_{C\to a(C)}$ — биекция и $a(C)$ — независимое подмножество в $V_{j}$ относительно $V_{j-1}$.
• Следствие из теоремы об относительно независимых подмножествах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$,
  $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и $j\in \mathbb {N}$; тогда $\dim \mathrm {Ker} \,a^{j}-\dim \mathrm {Ker} \,a^{j-1}\geq \dim \mathrm {Ker} \,a^{j+1}-\dim \mathrm {Ker} \,a^{j}$.

1.6.2  Жорданова нормальная форма оператора

• Жордановы клетки: $\mathrm {jc} _{n}(0)=\mathrm {se} _{1}^{2}+\mathrm {se} _{2}^{3}+\ldots +\mathrm {se} _{n-1}^{n}$ и $\mathrm {jc} _{n}(c)=c\cdot \mathrm {id} _{n}+\mathrm {jc} _{n}(0)$. Прямая сумма матриц: $a\oplus b\oplus \ldots =\!{\Biggl (}{\begin{smallmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&\ddots \end{smallmatrix}}{\Biggr )}$.
• Диаграммы Юнга. Жорданов блок: $\mathrm {jb} _{\Delta }(c)=\mathrm {jc} _{n_{1}}(c)\oplus \ldots \oplus \mathrm {jc} _{n_{r}}(c)$, где числа $n_{1},\ldots ,n_{r}$ суть длины строк диаграммы Юнга $\Delta$.
• Диаграмма Юнга $\Delta (a,c)$: высоты столбцов диаграммы $\Delta (a,c)$ суть относительные геометрические кратности $\gamma _{1}(a,c),\ldots ,\gamma _{\beta (a,c)}(a,c)$.
• Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над $K$, $\dim V<\infty$,
  $a\in \mathrm {End} (V)$, $a$ — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$, что $a_{e}^{e}=\mathrm {jb} _{\Delta (a,0)}(0)$.
• Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$, $a\in \mathrm {End} (V)$
  и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$, то это условие выполнено для
  любого оператора $a$ в силу алгебраической замкнутости поля $\mathbb {C}$); тогда существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$, что
  $a_{e}^{e}=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\mathrm {jb} _{\Delta (a,c)}(c)$ (то есть матрица $a_{e}^{e}$ раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).

1.6.3  Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике

• Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Mat} (n,K)$ и $f\in K[x]$; тогда $f(a)=\mathrm {c} _{e}^{\mathrm {se} }\cdot f(\mathrm {jnf} (a))\cdot \mathrm {c} _{\mathrm {se} }^{e}$. Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
• Экспонента от оператора: $\mathrm {e} ^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$. Утверждение: пусть $a\circ b=b\circ a$; тогда $\mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\circ \mathrm {e} ^{b}$. Утверждение: $\mathrm {e} ^{{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\varphi \\\varphi &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}\!={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$.
• Однородная система линейных дифференциальных уравнений: $y'=a\cdot y$ ($y\in \mathrm {C} ^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ^{n})$, $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$). Решение: $y(x)=\mathrm {e} ^{xa}\!\cdot v$ ($v\in \mathbb {C} ^{n}$).
• Сведе́ние уравнения $y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +p_{0}y=0$ к системе уравнений ${\Biggl (}{\begin{smallmatrix}y\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}}{\Biggr )}'\!=a\cdot \!{\Biggl (}{\begin{smallmatrix}y\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}}{\Biggr )}$. Фундаментальная система решений.
• Стационарное ур.-е Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ''=E\psi$ и $\psi (0)=\psi (l)=0$.
• Выводы из ур.-я Шрёдингера для частицы в потенциальной яме: $|\psi _{n}(x)|^{2}={\frac {2}{l}}\sin ^{2}\!{\Bigl (}{\frac {\pi n}{l}}x{\Bigr )}$ — плотность вероятности, $E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2ml^{2}}}n^{2}$ — энергия.

1.7  Алгебры

1.7.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами

• $K$-Алгебра — векторное пространство над $K$ с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из $K$.
• Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство.
• Примеры алгебр: $K$-алгебры $K[x]$, $K[[x]]$, $K(x)$, $\mathrm {End} (V)$ и $\mathrm {Mat} (n,K)$; $\mathbb {R}$-алгебры $\mathbb {C}$, $\mathbb {R} ^{3}$ с векторным умножением, $\mathrm {C} ^{0}(\mathbb {R} ^{n})$ и $\mathrm {C} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$.
• Структурные константы алгебры: ${\stackrel {e}{m}}\!\,_{j_{1},j_{2}}^{i}\!=((e_{j_{1}}\!\cdot e_{j_{2}})^{e})^{i}$. Утверждение: массив ${\bigl (}{\stackrel {e}{m}}\!\,_{j_{1},j_{2}}^{i}{\bigr )}_{1\leq i,j_{1},j_{2}\leq \dim A}$ определяет умножение в $K$-алгебре $A$.
• Теорема Кэли для алгебр. Пусть $K$ — поле и $A$ — ассоциативная $K$-алгебра с $1$; обозначим через ${}_{K}\!A$ векторное пространство над полем $K$,
  получающееся из $K$-алгебры $A$ при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
  (1) для любых $a\in A$, обозначая через $\mathrm {lm} _{A,a}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to A\\b&\mapsto a\cdot b\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт: $\mathrm {lm} _{A,a}$ — эндоморфизм векторного
  пространства ${}_{K}\!A$ (то есть элемент $K$-алгебры $\,\mathrm {End} ({}_{K}\!A)$);
  (2) обозначая через $\mathrm {lm} _{A}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to \mathrm {End} ({}_{K}\!A)\\a&\mapsto \mathrm {lm} _{A,a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт: $\mathrm {lm} _{A}$ — инъективный гомоморфизм алгебр с $1$.
• Алгебра с делением: $\forall \,a\in A\setminus \{0\}\;{\bigl (}\mathrm {lm} _{A,a},\mathrm {rm} _{A,a}\!\in \mathrm {Bij} (A){\bigr )}$. Утверждение: конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением.

1.7.2  Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных

• Тензорное произведение полилинейных форм: $(\omega \otimes \omega ')(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{1}',\ldots ,v_{k'}')=\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})\cdot \omega '(v_{1}',\ldots ,v_{k'}')$. Билинейность операции $\otimes$.
• Утверждение: пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $n=\dim V$; тогда множество $\{e_{j_{1}}^{*}\!\otimes \ldots \otimes e_{j_{k}}^{*}\!\mid j_{1},\ldots ,j_{k}\in \{1,\ldots ,n\}\}$ — базис пространства $\,\mathrm {Multi} ^{k}V$.
• Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров): $\mathrm {Multi} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\mathrm {Multi} ^{k}V$. Утверждение: $\mathrm {Multi} (V)$ — ассоциативная $K$-алгебра с $1$.
• Моном (слово) от свободных переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ степени $k$: $x_{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{j_{k}}$ ($j_{1},\ldots ,j_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$). Моноид слов $\mathrm {W} (x_{1},\ldots ,x_{n})$.
• Пространство однородных многочленов степени $k$: $K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{k}$. Алгебра многочленов: $K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\bigoplus _{k=0}^{\infty }K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{k}$.
• Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над $K$, $\dim V<\infty$; обозначим через $n$ число $\dim V$;
  тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]&\to \mathrm {Multi} (V)\\x_{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{j_{k}}&\mapsto e_{j_{1}}^{*}\!\otimes \ldots \otimes e_{j_{k}}^{*}\end{aligned}}\!{\biggr )}$, — изоморфизм алгебр с $1$.

1.7.3  Тело кватернионов

• $\mathbb {R}$-Алгебра кватернионов: $\mathbb {H} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} \mid \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R} \}$, где $\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=-1$ и $\mathrm {i} \,\mathrm {j} =-\mathrm {j} \,\mathrm {i} =\mathrm {k}$, $\mathrm {j} \,\mathrm {k} =-\mathrm {k} \,\mathrm {j} =\mathrm {i}$, $\mathrm {k} \,\mathrm {i} =-\mathrm {i} \,\mathrm {k} =\mathrm {j}$.

3  Полилинейная алгебра

						В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности) или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре- менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред. Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран- ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается. Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии
						(Сказанное выше о тензорах справедливо также для векторов, ковекторов, полилинейных отображений (это частные случаи тензоров) и в целом для очень многих абстрактных (вернее, инвариантных) объектов, изучаемых в алгебре. — Е.Е. Горячко.)