Алгебра phys 1 весна 2016

1  Векторные пространства и линейные операторы

1.1  Матрицы, базисы, координаты

1.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк

• Пространство матриц $\mathrm {Mat} (p,n,K)$. Пространство столбцов: $K^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)$. Пространство строк: ${}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)$.
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\{e_{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Стандартный базис пространства $K^{p}$: $\{e_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}$. Стандартный базис пространства ${}^{n}\!K$: $\{e^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Умножение матриц: $(b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо $\mathrm {Mat} (n,K)$. Группа $\mathrm {GL} (n,K)$.
• Выделение строк матрицы: $a^{i}=e^{i}\cdot a$. Выделение столбцов матрицы: $a_{j}=a\cdot e_{j}$. Утверждение: $(b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a$ и $(b\cdot a)_{k}=b\cdot a_{k}$.
• Транспонирование матрицы: $(a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}$. Утверждение: отображение $\,a\mapsto a^{\mathtt {T}}$ — антиавтоморфизм кольца $\,\mathrm {Mat} (n,K)$.

1.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: $v=e\cdot v^{e}$. Изоморфизм векторных пространств между $V$ и $K^{\dim V}$.
• Матрица гомоморфизма: $(a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}$. Утверждение: $a(e)=h\cdot a_{e}^{h}$ и $\forall \,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}$. Утверждение: $(b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}$.
• Изоморфизм векторных пространств между $\mathrm {Hom} (V,Y)$ и $\mathrm {Mat} (\dim Y,\dim V,K)$. Изоморфизм колец между $\mathrm {End} (V)$ и $\mathrm {Mat} (\dim V,K)$.

1.1.3  Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: $\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}$. Матрица замены базиса: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}$. Утверждение: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}$ и $\,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}={\bigl (}\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}{\bigr )}^{-1}$.
• Преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$. Преобразование координат вектора: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$. Покомпонентная запись: $v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{\dim V}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}$.
• Преобразование координат эндоморфизма: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot a_{e}^{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$. Покомпонентная запись: $a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{\dim V}\sum _{l=1}^{\dim V}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}$.

1.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

• Элементарные трансвекции $\{\mathrm {id} _{n}+c\,e_{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}$ и псевдоотражения $\{\mathrm {id} _{n}+(c-1)e_{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа $\,a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,e_{i}^{k})\cdot a$ и второго типа $\,a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)e_{i}^{i})\cdot a$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа $\,a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,e_{l}^{j})$ и второго типа $\,a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)e_{j}^{j})$.
• Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

  Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть $K$ — поле, $p,n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда
  (1) существуют такие $l\in \mathbb {N} _{0}$ и элементарные матрицы $g_{1},\ldots ,g_{l}$ размера $p\times p$ над полем $K$, что $g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a$ — ступенчатая матрица;
  (2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно $\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle$ (и, значит, не зависит от матриц $g_{1},\ldots ,g_{l}$).

• Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, с помощью теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

1.2  Линейные операторы

1.2.1  Ядро и образ линейного оператора

• Отступление о свойствах базиса. Утверждение: $V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y$. Утверждение: $U\leq V\;\land \;\dim U=\dim V<\infty \,\Rightarrow \,U=V$.
• Ядро линейного оператора: $\mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)\leq V$. Образ линейного оператора: $\mathrm {Im} \,a\leq Y$. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

  Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр. над $K$, $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$, $y\in Y$, $v_{0}\in a^{-1}(y)$; тогда $a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a$.

  Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр. над $K$, $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}$.

• Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$,
  $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда $\dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V$.
• Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $\dim V=\dim Y<\infty$;
  тогда $\,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Bij} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)$.

1.2.2  Ранг линейного оператора

• Ранг линейного оператора: $\mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a$. Ранг матрицы (ранг по столбцам): $\mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle$. Утверждение: $\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})$.
• Утверждение: $\mathrm {rk} (a)\leq \min(\dim V,\dim Y)$. Утверждение: $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim V$ и $a\in \mathrm {Surj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim Y$.
• Теорема о свойствах ранга. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда
  (1) для любых матриц $g_{1}\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g_{2}\in \mathrm {GL} (n,K)$ выполнено $\mathrm {rk} (g_{1}\cdot a\cdot g_{2})=\mathrm {rk} (a)$;
  (2) существуют такие матрицы $g_{1}\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g_{2}\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g_{1}\cdot a\cdot g_{2}=e_{1}^{1}+e_{2}^{2}+\ldots +e_{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}$;
  (3) $\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle$ и $\,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})$ (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).

1.2.3  Системы линейных уравнений

• Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: $a\cdot v_{0}=y\,\Rightarrow \,\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=y\}=v_{0}+\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}$.
• Теорема Кронекера–Капелли. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$, $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $y\in K^{p}$; тогда $\exists \,v\in K^{n}\;(a\cdot v=y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} ((a\;\,y))$.
• Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства $\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}$.

1.3  Конструкции над векторными пространствами

1.3.1  Прямая сумма векторных пространств и факторпространства

• Прямая сумма векторных пространств: $U\oplus W$. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.

  Теорема о прямой сумме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $U,W\leq V$; обозначим через
  $\mathrm {add} _{U,W}$ отображение, действующее из $U\oplus W$ в $V$ по правилу $(u,w)\mapsto u+w$ для любых $u\in U$ и $w\in W$; тогда
  (1) $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Hom} (U\oplus W,V)$, $\mathrm {Ker} \,\mathrm {add} _{U,W}\cong U\cap W$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {add} _{U,W}=U+W$;
  (2) если $\dim U,\dim W<\infty$, то $\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W$;
  (3) $\mathrm {add} _{U,W}$ — изоморфизм векторных пространств, если и только если $U\cap W=\{0\}$ и $U+W=V$.

• Инвариантное подпространство эндоморфизма: $a(U)\leq U$. Вид матрицы эндоморфизма в случае наличия инвариантного подпространства.
• Вид матрицы эндоморфизма в случае наличия разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
• Факторпространство: $V/U$.