Группа Фёдора Петрова

Домашнее задание на семестр

Отчётность: без понятия

Существует ли биективный многочлен $f(x,y)$ :
1. $\mathbb {Z} ^{2}->\mathbb {Z}$
2. $\mathbb {Q} ^{2}->\mathbb {Q}$

Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.

Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные. Файл:Calculus 2014 140911 a.svg
$F\subseteq 2^{\mathbb {N} }$ . Может ли F быть несчётным? Два независимых пункта с условием:
1. $\forall A,B\subseteq F,A\neq B:$ либо $A\subseteq B$ , либо $B\subseteq A$
2. $\forall A,B\subseteq F,A\neq B:|A\cap B|<\infty$
$E\subseteq \mathbb {N} ,|E|=\infty$ . Доказать, что существует $a\in \mathbb {R} ,a>1$ такое, что существует существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что $\left\lfloor {a^{n}}\right\rfloor \in E$ ( $\left\lfloor x\right\rfloor$ - целая часть $x$ или округление вниз).