Алгебра phys 1 апрель–май

Материал из SEWiki
Версия от 23:00, 20 мая 2020; Goryachko (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры

8   Векторные пространства с ¯-билинейной формой

8.1  ¯-Билинейные формы
  • Пространство билинейных форм: . Примеры: (, ), (, ).
  • Поля с инволюцией. Пространство : . Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если ): .
  • Матрица Грама формы : . Обобщенная матрица Грама: . Теорема о матрице Грама.

    Теорема о матрице Грама. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над полем , , и ; тогда
    (1) для любых выполнено (координаты вычисляются относительно );
    (2) для любых и выполнено .

  • Изоморфизм вект. пр.-в . Преобразования при замене базиса: и .
  • Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: и .
  • Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: и .
  • Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: .
  • Изоморфизмы между пр.-вами с формой: и .
8.2  ¯-Квадратичные формы
  • Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
  • ¯-Квадратичная форма в коорд.: ; если , то — однор. многочлен степени от .
  • Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующие факты:
    — симметричная билинейная форма (то есть ), а также ;
    (2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем
    следующие факты: — полуторалинейная форма (то есть ), а также ;
    (2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Гиперповерхность второго порядка в пространстве : множество вида , где , и .
  • Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть , , и ; тогда .
8.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
  • Оператор бемоль (опускание индекса): . Опускание индекса в координатах: и .
  • Случай : невырождена — биекция. Ранг формы : . Утверждение: .
  • Топологическая невырожденность ( или , — нормир. пр.-во, ): — биекция.
  • Пример: или , и ; тогда топологич. невырождена (без док.-ва).
  • Оператор диез (подъем индекса): ( невырождена). Подъем индекса в коорд. (): и .
  • Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , и
    ; тогда , если и только если и форма невырождена.
  • Ортогональные векторы (): . Ортогональное дополнение: .
  • Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , и ; тогда
    (1) , , и ;
    (2) если и форма невырождена, то , а также и ;
    (3) и, если , то форма невырождена;
    (4) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор на : ).
8.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
  • Ортогональный базис: — диагональная матрица. Форма в ортогональн. коорд. (): .
  • Ортонормированный базис ( или ): — диагональная матрица с на диагонали.
  • Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем и ;
    тогда существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор).
  • Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.

    Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем , и ; тогда
    (1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
    (2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).

    Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
    (1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
    (2) если или , то сущ.-т такая матрица , что — диаг. матрица с на диагонали.

  • Лемма об ортогональном проекторе. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , , ,
    форма невырождена и ; тогда и, если , то
    .
  • Лемма об определителе матрицы Грама. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над полем , , , ,
    , форма невырождена и ; тогда .
  • Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
    и ; для любых обозначим через пространство и обозначим через -й угловой минор
    матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно тому, что ); для любых
    обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено и ,
    а также (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
  • Ортогонал. системы функций: и (), (), многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).

9   Геометрия в векторных пространствах над или

9.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
  • Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: и .
  • Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: и .
  • Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. Пусть или , — вект. пр.-во над и ; тогда
    (1) если и , то и, если , то форма невырождена и ;
    (2) если , то , если и только если ;
    (3) если и , то , если и только если .
  • Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
    для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
    (1) , если и только если ;
    (2) , если и только если .
  • Индексы инерции формы : и .
  • Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — вект. простр.-во над полем , , и ; тогда
    (1) (и, значит, число не зависит от );
    (2) (и, значит, число не зависит от );
    (3) .
  • Теорема о классификации пространств с формой. Пусть или , — векторные пространства над полем , ,
    и ; тогда , если и только если , и .
  • Сигнатура формы : (или ). Исследование кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).
9.2  Предгильбертовы пространства
  • Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над или с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: . Примеры: , .
  • Евклидовоунитарное пр.-во — конечномерн. вект. пр.-во над с полож. опред. формой, то есть конечномерн. предгильбертово пр.-во над .
  • Норма: . Утверждение: и . Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: .
  • Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
    (1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
    (2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
    (3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля).
  • Метрика: . Расстояние между подмн.-вами: . Теорема о расстояниях и проекциях.

    Теорема о расстояниях и проекциях. Пусть — предгильбертово пространство и ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) если , то для любых выполнено ;
    (3) если , то и для любых выполнено ;
    (4) если , то для любых и выполнено и (это неравенство Бесселя).

  • Метод наименьших квадратов: замена системы , где и , на систему , где .
  • Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (, , , ): и .
  • Псевдоевклидовопсевдоунитарное пр.-во сигнатуры — кон.-мерн. вект. пр.-во над с невыр. ¯-симметр. ¯-билин. формой сигнатуры .
9.3  Ориентация, объем, векторное произведение
  • Отн.-е одинак. ориентированности ( — кон.-мерн. в. пр. над , ): . Утверждение: .
  • Ориентация пр.-ва — выбор эл.-та мн.-ва . Знак набора векторов: . Теорема о знаке базиса и формах объема.

    Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть — векторное простр.-во с ориентацией и ; тогда для любых выполнено
    , а также множество , равное , не зависит от выбора упорядоченного базиса .

  • Каноническая форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией (): ; если , то .
  • Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.

    Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклидово пространство сигнатуры с ориентацией, и ; тогда
    (1) ;
    (2) для любых выполнено .

  • Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
  • Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, и ; тогда
    (1) ;
    (2) если и , то .
  • Вект. произв. в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
  • Векторное произведение в коорд.: . Теорема о векторном произведении.

    Теорема о векторном произведении. Пусть — псевдоевклидово пр.-во сигнатуры с ориентацией, и ; тогда
    (1) , а также , если и только если векторы независимы;
    (2) если , то и, если независимы, то ;
    (3) для любых выполнено ;
    (4) если и , то для любых выполнено и .

10   Алгебры

10.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
  • -Алгебра — вект. пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с «правильным» умножением на скаляры из .
  • Примеры: , , , , ; -алгебры , , , . Структурн. константы алгебры: .
  • Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с . Инъект. гомоморфизмы -алгебр: и .

    Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с 1. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство
    над полем , получающееся из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображ.-е , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
    (2) отображение — инъективный гомоморфизм алгебр с .

  • Алгебра с делением: и . Примеры: , ; -алгебры с делением , и алгебра октонионов (октав) .
  • Моноидная алгебра ( — моноид): ; общий вид эл.-та: (); умнож.-е в : свертка.
  • Алгебра многочленов от свободн. (некоммут.) перем.: . Одночлены: . Степень. Однородн. многочлены.
  • Алгебра многочленов от коммутирующих переменных: .
  • Алгебра многочленов от антикоммут. (грассмановых) перем.: .
10.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
  • -Алгебра Ли — -алгебра, умножение в которой антисимметрично () и удовлетв.-т тождеству Якоби ().
  • Коммутатор эл.-тов ассоциативной алгебры: . Алгебра : вект. простр.-во с операцией . Утверждение: — алгебра Ли.
  • Примеры: , , трехмерное евклид. пр.-во с ориент. относ.-но , — подалгебра алгебры .
  • Матричные алгебры Ли: , , , , .
  • Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть , , , и ; тогда
    (1) если , то , и, если , то ;
    (2) если , то , а также, если , то , и, если , то .
  • Теорема Кэли для алгебр Ли. Изоморфизмы -алгебр Ли: , и .

    Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и -алгебра Ли; обозначим через векторное пространство над полем , получающееся
    из алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор (то есть );
    (2) отображение — гомоморфизм алгебр Ли.

  • Алгебра Ли дифференцирований -алгебры : — подалгебра алгебры .
  • Пример: пусть — открытое множество в и ; тогда — дифференцирование алгебры .