Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь

Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры

14   Тензорные произведения векторных пространств

14.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами

• Тензорное произведение вект. пространств: $V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}={\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}_{0}$, где ${\mathcal {F}}=\mathrm {FinFunc} (V_{1}\times \ldots \times V_{k},K)$ и ${\mathcal {F}}_{0}$ — подпространство полилинеаризации.
• Разложимый тензор: $v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}=(v_{1},\ldots ,v_{k})+{\mathcal {F}}_{0}$. Ранг тензора $T$: $\mathrm {rk} (T)$ — минимум среди всех таких $m$, что $T$ равен сумме $m$ разл. тензоров.
• Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $V_{1},\ldots ,V_{k}$ — векторные простр.-ва над полем $K$; тогда
  $V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\bigl\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\bigr\rangle$ и отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V_{1}\times \ldots \times V_{k}&\to V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}\\(v_{1},\ldots ,v_{k})&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — полилинейный оператор.
• Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $V_{1},\ldots ,V_{k},Y$ — вект. простр.-ва над полем $K$; тогда для любых
  $\omega \in \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)$ существ. единств. такой $a\in \mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)$, что $\forall\,v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\;\bigl(a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)$
  (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)&\to \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)\\a&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto a(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств).
• Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$, $V_{1},\ldots ,V_{k}$ — векторные пространства над полем $K$ и $B_{1},\ldots ,B_{k}$ — базисы
  пространств $V_{1},\ldots ,V_{k}$ соответственно; тогда все тензоры $b_{1}\otimes \ldots \otimes b_{k}$, где $b_{1}\in B_{1},\ldots ,b_{k}\in B_{k}$, попарно различны и вместе образуют базис
  пространства $V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}$, а также, если $\dim V_{1},\ldots ,\dim V_{k}<\infty$, то $\dim(V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k})=\dim V_{1}\cdot \ldots \cdot \dim V_{k}$.
• Тензорное произв.-е тензоров: $T\otimes T'$. Тензорное произв.-е линейных операторов ($a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$, $b\in\mathrm{Hom}(W,Z)$): $(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)$.
• Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть $K$ — поле и $U,V,W$ — векторные пространства над полем $K$; тогда $V\otimes K\cong K\otimes V\cong V$,
  $(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W$ и $V\otimes W\cong W\otimes V$.
• Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть $K$ — поле и $V,W,Y$ — векторные пространства над полем $K$; тогда
  (1) ${\biggl (}\!{\begin{aligned}Y\otimes V^{*}\!&\to \mathrm {Hom} (V,Y)\\y\otimes \lambda &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \lambda (v)\,y{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный линейный оператор и, если $\dim V,\dim Y<\infty$, то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
  (2) ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes W^{*}\!&\to (V\otimes W)^{*}\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}v\otimes w\mapsto \lambda (v)\,\mu (w){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъект. лин. оператор и, если $\dim V,\dim W<\infty$, то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.

14.2  Тензоры типа $(p,q)$ и тензорная алгебра

• Пространство тензоров типа $(p,q)$ над $V$: ${\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V=V^{\otimes p}\!\otimes (V^{*})^{\otimes q}$. Примеры: ${\mathcal {T}}_{\,\,0}^{0}V=K$, ${\mathcal {T}}^{1}V=V$, ${\mathcal {T}}_{\,1}V=V^{*}$, ${\mathcal {T}}_{\,\,1}^{1}V\cong \mathrm {End} (V)$, ${\mathcal {T}}_{\,2}V\cong \mathrm {Bi} (V)$.
• Примеры: ${\mathcal {T}}_{\,\,2}^{1}V\cong \mathrm {Bi} (V,V,V)$ — простр.-во структур алгебры на $V$, ${\mathcal {T}}_{\,\,1}^{2}V\cong \mathrm {Hom} (V,V\otimes V)$ — простр.-во структур коалгебры на $V$, $\mathcal T_{\,q}V=\mathcal T^qV^*$.
• Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$, $p,q\in\mathbb N_0$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) $\biggl(\!\begin{align}\mathcal T_{\,q}V&\to\mathrm{Multi}_qV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_q)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(v_q)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизм векторных пространств;
  (2) $\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V,\ldots,V}^q,V^{\otimes p})\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((w_1,\ldots,w_q)\mapsto\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_p\bigr)\end{align}\!\Biggr)$ — изоморфизм векторных пространств;
  (3) $\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V^*,\ldots,V^*}^p,\overbrace{V,\ldots,V}^q,K)\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((\mu_1,\ldots,\mu_p,w_1,\ldots,w_q)\mapsto\mu_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\mu_p(v_p)\,\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\bigr)\end{align}\!\Biggr)$ — изоморфизм вект. простр.-в.
• Тензор типа $(p,q)$ в координатах: $T=\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\,e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\!\otimes e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_q}$. Примеры: $v=\sum_{i=1}^nv^i\,e_i$, $\lambda=\sum_{j=1}^n\lambda_j\,e^j$, $a=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!a^i_j\;e_i\otimes e^j$.
• Примеры: $\sigma=\!\!\sum_{1\le j_1,j_2\le n}\!\!\sigma_{j_1,j_2}\,e^{j_1}\!\otimes e^{j_2}$ — метрический тензор, $\mathrm{vol}^e\!=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_n}$ — форма объема, связанная с упоряд. базисом $e$.
• Преобразование при замене базиса: $T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!(e_{k_1})^\tilde{i_1}\!\ldots(e_{k_p})^\tilde{i_p}(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_q})^{l_q}\;T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}$. Примеры: $v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}$, $\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}$.
• Тензорная алгебра над $V$: ${\mathcal {T}}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathcal {T}}^{k}V$ — ассоциативная $K$-алгебра с $1$ (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ${\mathcal {T}}^{k}V\otimes {\mathcal {T}}^{k'}\!V\cong {\mathcal {T}}^{k+k'}\!V$).
• Теорема о тензорной алгебре. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда множество
  $\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\}$ — базис алгебры $\,{\mathcal {T}}(V)$, и для любых его элементов $e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}$ и $\,e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!$ выполнено
  $(e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!$, а также $\,\mathcal T(V)\cong K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]$ — алгебра многочленов от своб. перем.-х.

14.3  Операции над тензорами типа $(p,q)$

• Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: $\bigl(T\otimes T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q\;\;\;\;\;\;\;j_1',\ldots,j_{q'}'}\!\!=T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\!j_1',\ldots,j_{q'}'}\!$. Кронекерово пр.-е матриц.
• Тензорное произв.-е полилин. форм как полилин. форма ($\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V$, $\omega'\!\in\mathrm{Multi}_{k'}V$): $(\omega\otimes\omega')(v_1,\ldots,v_{k+k'})=\omega(v_1,\ldots,v_k)\,\omega'(v_{k+1},\ldots,v_{k+k'})$.
• Перестановка компонент: $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{pat}_u\colon\mathcal T^kV&\to\mathcal T^kV\\v_1\otimes\ldots\otimes v_k&\mapsto v_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes v_{u^{-1}(k)}\end{align}\!\biggr)$. Действие $\mathrm{pat}$ группы $\mathrm {S} _{k}$. Перест.-ка в коорд.-х: $\bigl(\mathrm{pat}_u(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}$.
• Свертка по $b$-й и $d$-й позициям: $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{tr}^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p-1}_{\;q-1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\lambda_d(v_b)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)$.
• Свертка по $b$-й и $d$-й позициям в координатах: $\bigl(\mathrm{tr}^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{h=1}^nT^{i_1,\ldots,i_{b-1},h,i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},h,j_{d+1},\ldots,j_q}$. Теорема о свертках тензоров малой валентности.

  Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) для любых $v\in V$, $\lambda \in V^{*}$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $\lambda(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\lambda)$, $\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}^1_1(a)$, $a(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes a)$ и $\lambda\circ a=\mathrm{tr}^1_2(a\otimes\lambda)$;
  (2) для любых $v,w\in V$ и $\sigma \in \mathrm {Bi} (V)$ выполнено $\sigma(v,w)=\mathrm{tr}^1_1(\mathrm{tr}^1_1(v\otimes w\otimes\sigma))$ и $\flat_\sigma v=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\sigma)$.

• Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $n=\dim V<\infty$, $\sigma \in \mathrm {Bi} (V)$ и форма $\sigma$ невырождена; тогда
  (1) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ выполнено $(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)=\!\!\sum_{1\le i_1,i_2\le n}\!\!\sigma^{i_1,i_2}\,e_{i_1}\!\otimes e_{i_2}$ (тензор $(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)$ — обратный тензор по отношению к тензору $\sigma$);
  (2) под действием канонического изоморфизма $\biggl(\!\begin{align}V\otimes V&\to\mathrm{Bi}(V^*)\\v\otimes w&\mapsto\bigl((\lambda,\mu)\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ тензор $(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)$ переходит в форму $(\lambda,\mu)\mapsto\sigma(\sharp^\sigma\lambda,\sharp^\sigma\mu)$;
  (3) для любых $\lambda \in V^{*}$ выполнено $\sharp^\sigma\lambda=\mathrm{tr}^2_1((\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)\otimes\lambda)$.
• Опускание индекса с $b$-й позиции: $(\mathrm{id}_V)^{\otimes(b-1)}\!\otimes\flat_\sigma\!\otimes(\mathrm{id}_V)^{\otimes(p-b)}\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes q}$. Подъем индекса с $d$-й поз.-и: $(\mathrm{id}_V)^{\otimes p}\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes(d-1)}\!\otimes\sharp^\sigma\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes(q-d)}$.
• Опускание индекса и подъем индекса в коорд.-х: $T^{i_1,\ldots,i_{b-1}\,\,i_{b+1},\ldots,i_p}_{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,j\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q}\!=\sum_{i_b=1}^nT^{i_1,\ldots,i_b,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\sigma_{i_b,j}$ и $T^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,i}_{\;\;\;\;\;\;\;\;\,j_1,\ldots,j_{d-1}\,\,j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{j_d=1}^n\sigma^{i,j_d}\,T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_d,\ldots,j_q}\!$.

15   Симметрические и внешние степени векторных пространств

15.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами

• Симметрическая степень: $\mathsf S^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=T\bigr)\}$. Внешняя степень: $\mathsf\Lambda^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=\mathrm{sgn}(u)\,T\bigr)\}$.
• Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — вект. пр.-во над $K$,
  $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $\dim V<\infty$; обозначим через $\iota$ канонический изоморфизм $\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$; тогда
  (1) $\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\iota\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{paf}_u\!\circ\iota\bigr)$ (напоминание: $\mathrm{pat}_u(\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k)=\lambda_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_{u^{-1}(k)}$ и $(\mathrm{paf}_u(\omega))(v_1,\ldots,v_k)=\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})$);
  (2) $\iota ({\mathsf {S}}^{k}V^{*})=\mathrm {SMulti} _{k}V$ и $\,\mathsf S^kV^*\!\cong\mathrm{SMulti}_kV$ (далее пространства $\,\mathsf S^kV^*$ и $\,\mathrm{SMulti}_kV$ отождествляются при помощи изоморфизма $\iota$);
  (3) $\iota ({\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*})=\mathrm {AMulti} _{k}V$ и $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*}\!\cong \mathrm {AMulti} _{k}V$ (далее пространства $\,\mathsf\Lambda^kV^*$ и $\,\mathrm{AMulti}_kV$ отождествляются при помощи изоморфизма $\iota$).
• Оператор симметризации: $\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{pat}_u$. Оператор альтернирования: $\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{pat}_u$. Лемма о симметризации и альтернировании.

  Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) для любых $u\in \mathrm {S} _{k}$ выполнено $\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sym}_k$ и $\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{alt}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k$;
  (2) для любых $T\in {\mathsf {S}}^{k}V$ выполнено $\mathrm {sym} _{k}(T)=T$ и для любых $T\in {\mathsf {\Lambda }}^{k}V$ выполнено $\mathrm {alt} _{k}(T)=T$;
  (3) $\mathrm {Im} \,\mathrm {sym} _{k}={\mathsf {S}}^{k}V$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {alt} _{k}={\mathsf {\Lambda }}^{k}V$, а также $\mathrm {sym} _{k}^{2}=\mathrm {sym} _{k}$ и $\mathrm {alt} _{k}^{2}=\mathrm {alt} _{k}$ (и, значит, $\mathrm {sym} _{k}$ — проектор на $\,{\mathsf {S}}^{k}V$ и $\mathrm {alt} _{k}$ — проектор на $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$).

• Симметрич. и внешнее произв.-е векторов: $v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}=\mathrm {sym} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})$ и $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}=k!\,\mathrm {alt} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})$. Пример: $\mathrm{vol}^e\!=e^1\wedge\ldots\wedge e^n$.
• Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — вект. пр. над $K$ и $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) $\mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle$ и отображение $\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)$ — симметричный полилинейный оператор;
  (2) $\mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle$ и отображение $\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)$ — антисимметричный полилинейный оператор.
• Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V,Y$ — вект. пр.-ва над $K$ и $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) для любых $\omega\in\mathrm{SMulti}_k(V,Y)$ существует единственный такой $a\in\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)$, что $\forall\,v_1,\ldots,v_k\in V\;\bigl(a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)$;
  (2) для любых $\omega\in\mathrm{AMulti}_k(V,Y)$ существует единственный такой $a\in\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)$, что $\forall\,v_1,\ldots,v_k\in V\;\bigl(a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)$.
• Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $k\in \mathbb {N} _{0}$,
  $n=\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда
  (1) все тензоры $e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}$, где $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства $\,{\mathsf {S}}^{k}V$;
  (2) все тензоры $e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}$, где $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i_{1}<\ldots <i_{k}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$;
  (3) $\dim {\mathsf {S}}^{k}V={\biggl (}\!\!{\binom {n}{k}}\!\!{\biggr )}={\binom {n+k-1}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}$ и $\,\dim {\mathsf {\Lambda }}^{k}V={\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$.
• Симметрич. и внешняя степени лин. оператора ($a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$): $a^{\cdot k}(v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k})=a(v_{1})\cdot \ldots \cdot a(v_{k})$ и $a^{\wedge k}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k})=a(v_{1})\wedge \ldots \wedge a(v_{k})$.

15.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра

• Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров ($T\in {\mathcal {T}}^{k}V$, $T'\!\in {\mathcal {T}}^{k'}\!V$): $T\cdot T'=\mathrm {sym} _{k+k'}(T\otimes T')$ и $T\wedge T'={\frac {(k+k')!}{k!\,k'!}}\,\mathrm {alt} _{k+k'}(T\otimes T')$.
• Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: $T^{(i_1,\ldots,i_k)}\!=\bigl(\mathrm{sym}_k(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}$ и $T^{[i_1,\ldots,i_k]}\!=\bigl(\mathrm{alt}_k(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}$.
• Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: $\bigl(T\cdot T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}\!=T\!\phantom'^{(i_1,\ldots,i_k}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{k'}')}$ и $\bigl(T\wedge T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}\!=\frac{(k+k')!}{k!\,k'!}\,T\!\phantom'^{[i_1,\ldots,i_k}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{k'}']}$.
• Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное простр.-во над полем $K$,
  $k,k',k''\!\in \mathbb {N} _{0}$, $v_{1},\ldots ,v_{k},v_{1}',\ldots ,v_{k'}'\!\in V$ и $T\in {\mathcal {T}}^{k}V$, $T'\!\in {\mathcal {T}}^{k'}\!V$, $T''\!\in {\mathcal {T}}^{k''}\!V$; тогда
  (1) $(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})\cdot (v_{1}'\otimes \ldots \otimes v_{k'}')=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}\cdot v_{1}'\cdot \ldots \cdot v_{k'}'$ и $(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})\wedge (v_{1}'\otimes \ldots \otimes v_{k'}')={\frac {1}{k!\,k'!}}\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\wedge v_{1}'\wedge \ldots \wedge v_{k'}'$;
  (2) $\mathrm {sym} _{k}(T)\cdot T'=T\cdot \mathrm {sym} _{k'}(T')=T\cdot T'$ и $\mathrm {alt} _{k}(T)\wedge T'=T\wedge \mathrm {alt} _{k'}(T')=T\wedge T'$;
  (3) $(T\cdot T')\cdot T''=T\cdot (T'\cdot T'')=\mathrm {sym} _{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')$ и $(T\wedge T')\wedge T''=T\wedge (T'\wedge T'')={\frac {(k+k'+k'')!}{k!\,k'!\,k''!}}\,\mathrm {alt} _{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')$;
  (4) $(\ldots (v_{1}\cdot v_{2})\cdot \ldots \cdot v_{k-1})\cdot v_{k}=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}$ и $(\ldots (v_{1}\wedge v_{2})\wedge \ldots \wedge v_{k-1})\wedge v_{k}=v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$;
  (5) $T\cdot T'=T'\cdot T$ и $T\wedge T'=(-1)^{kk'}T'\wedge T$.
• Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над $V$: ${\mathsf {S}}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathsf {S}}^{k}V$ — ассоциативная коммутативная $K$-алгебра с $1$.
• Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над $V$: ${\mathsf {\Lambda }}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$ — ассоциативная суперкоммутативная $K$-алгебра с $1$.
• Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — вект. пр.-во над $K$, $n=\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда
  (1) $\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}$ — базис алгебры $\,{\mathsf {S}}(V)$, и для любых его элементов $e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}$ и $\,e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}$
  выполнено $(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!$, где числа ${\hat {i}}_{1},\ldots ,{\hat {i}}_{k+k'}$ суть числа $i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'$, упорядоченные по неубыванию;
  (2) $\bigcup_{k=0}^n\,\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}$ — базис алгебры $\,{\mathsf {\Lambda }}(V)$, и для любых его элементов $e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}$ и $\,e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}$
  выполнено $(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!$, где ${\hat {i}}_{1},\ldots ,{\hat {i}}_{k+k'}$ суть $i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'$, упоряд. по неубыванию;
  (3) $\mathsf S(V)\cong K[x_1,\ldots,x_n]$ — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, и $\,\mathsf\Lambda(V)\cong K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]$ — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х.

15.3  Операции над внешними формами

• Теорема о внешнем произведении внешних форм. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $n=\dim V<\infty$,
  $k,k'\!\in \mathbb {N} _{0}$, $\omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V$ и $\omega'\!\in\mathrm{AMulti}_{k'}V$; тогда
  (1) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ выполнено $\omega=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}\!=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\,e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}$;
  (2) для любых $v_1,\ldots,v_{k+k'}\!\in V$ выполнено $(\omega\wedge\omega')(v_1,\ldots,v_{k+k'})=\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le k+k',\,1\le j_1'<\ldots<j_{k'}'\le k+k'}\!\!\!\!\!\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,j_1',\ldots,j_{k'}'}\omega(v_{j_1},\ldots,v_{j_k})\,\omega'(v_{j_1'},\ldots,v_{j_{k'}'})$.
• Оператор внутреннего произв.-я с вект. $v$: $\biggl(\!\begin{align}i_v\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{k-1}V\\\omega&\mapsto\bigl((v_2,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v,v_2,\ldots,v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$. Оператор $i_v$ в коорд.: $i_v(\omega)_{j_2,\ldots,j_n}\!=\sum_{j_1=1}^nv^{j_1}\omega_{j_1,\ldots,j_n}$.
• Утверждение: $i_v(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=\sum_{t=1}^k(-1)^{t-1}\,v^{j_t}e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_{t-1}}\!\wedge e^{j_{t+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k}$. Продолжение по лин.-сти опер. $i_v$ до эндоморфизма пр.-ва $\mathsf\Lambda(V^*)$.
• Теорема о внутреннем произведении. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — вект. пр. над $K$, $\dim V<\infty$ и $v\in V$; тогда $i_v$ — супердифференцирование
  алгебры $\,\mathsf\Lambda(V^*)$ (то есть для любых $k,k'\!\in \mathbb {N} _{0}$, $\omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V$ и $\omega'\!\in\mathrm{AMulti}_{k'}V$ выполнено $i_v(\omega\wedge\omega')=i_v(\omega)\wedge\omega'+(-1)^k\,\omega\wedge i_v(\omega')$) и $i_v^2=0$.
• Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: $\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\lambda_1\wedge\ldots\wedge\lambda_k&\mapsto\bigl((v_{k+1},\ldots,v_n)\mapsto\mathrm{vol}(\sharp\,\lambda_1,\ldots,\sharp\,\lambda_k,v_{k+1},\ldots,v_n)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ ($\mathrm{vol}$ — канон. форма объема).
• Примеры: $*\,1=\mathrm{vol}$, $*\,\mathrm{vol}=*\,(e^1\wedge\ldots\wedge e^n)=(-1)^q$ (где $q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))$), $\sharp*(\flat\,v_1\wedge\ldots\wedge\flat\,v_{n-1})=\sharp\,\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)=v_1\times\ldots\times v_{n-1}$.
• Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть $V$ — псевдоевклидово пространство с ориентацией, $\sigma=(\,\mid\,)$, $n=\dim V$ и $k\in \{0,\ldots ,n\}$; тогда
  (1) для любых $\omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V$, $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $j_{k+1},\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}$ выполнено $(*\,\omega)_{j_{k+1},\ldots,j_n}\!=\frac1{k!}\,\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\omega^{j_1,\ldots,j_k}$;
  (2) для любых $e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)$ и попарно различных чисел $j_{1},\ldots ,j_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено $*\,(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=(-1)^t\,e^{j_{k+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_n}$, где
  $\{j_{k+1},\ldots,j_n\}=\{1,\ldots,n\}\!\setminus\!\{j_1,\ldots,j_k\}$ и $j_{k+1}\!<\ldots<j_n$, а также $(-1)^t=\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}(e_{j_1}\!\!\mid\!e_{j_1})\cdot\ldots\cdot(e_{j_k}\!\!\mid\!e_{j_k})$.
• Теорема об операторе Ходжа. Утверждение: пусть $n\geq 1$ и $\sigma=(\,\mid\,)$; тогда $(v_1\times\ldots\times v_{n-1}\!\mid\!w_1\times\ldots\times w_{n-1})=(-1)^q\det\sigma_{(v_1,\ldots,v_{n-1}),(w_1,\ldots,w_{n-1})}$.

  Теорема об операторе Ходжа. Пусть $V$ — псевдоевклидово пространство с ориентацией, $q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))$, $n=\dim V$ и $k\in \{0,\ldots ,n\}$; тогда
  (1) для любых $\omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V$ выполнено $*\!*\omega=(-1)^{k(n-k)+q}\,\omega$ (и, значит, $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\omega&\mapsto*\,\omega\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизм векторных пространств);
  (2) для любых $\psi,\omega\in\mathrm{AMulti}_kV$ выполнено $\psi\wedge*\,\omega=(\psi\!\mid\!\omega)\,\mathrm{vol}$, где $(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\,\psi(\sharp^{\otimes k}\omega)$ (в координатах $(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\psi_{j_1,\ldots,j_k}\omega^{j_1,\ldots,j_k}$);
  (3) для любых $v,w\in V$ выполнено $*\,(\flat\,v\wedge*\,\flat\,w)=(-1)^q\,(v\!\mid\!w)$.

16   Многообразия (часть 2)

16.1  Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля

• Касательное и кокасательное расслоения: $\mathrm {T} M=\!\bigsqcup _{m\in M}\!\mathrm {T} _{m}M$ и $\mathrm {T} ^{*}M=\!\bigsqcup _{m\in M}\!\mathrm {T} _{m}^{*}M$. Структура многообр.-я на $\mathrm TM$ и $\mathrm T^*M$; отобр.-е проекции на $M$: $\mathrm {pr} _{M}$.
• Пр.-ва векторн. полей и ковект. полей ($1$-форм): $\mathrm {Vect} (M)=\{v\in \mathrm {C} ^{\infty }\!(M,\mathrm {T} M)\mid \mathrm {pr} _{M}\!\circ v=\mathrm {id} _{M}\}$ и $\Omega^1(M)=\{\lambda\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\lambda=\mathrm{id}_M\}$.
• Умножение вект. полей и $1$-форм на функции. Действие $1$-форм на вект. поля. Локальные вект. поля $\frac\partial{\partial x^i}$ и $1$-формы $\mathrm dx^j$. Утверждение: $\mathrm df=\sum_{j=1}^n\partial_jf\;\mathrm dx^j$.
• Векторные поля и $1$-формы в коорд.: $v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ и $\lambda =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}\,\mathrm {d} x^{j}$. Преобраз.-я при замене коорд.: $v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}\!\circ\xi\Bigr)\,v^k$ и $\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\lambda_l$.
• Расслоение тензоров типа $(p,q)$: ${\mathcal {T}}_{\;q}^{p}\mathrm {T} M=\!\bigsqcup _{m\in M}\!{\mathcal {T}}_{\;q}^{p}(\mathrm {T} _{m}M)$. Пр.-во тензорн. полей типа $(p,q)$: $\mathrm {Tens} _{q}^{p}(M)=\{T\in \mathrm {C} ^{\infty }\!(M,{\mathcal {T}}_{\;q}^{p}\mathrm {T} M)\mid \mathrm {pr} _{M}\!\circ T=\mathrm {id} _{M}\}$.
• В коорд.: $T=\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\frac\partial{\partial x^{i_1}}\!\otimes\ldots\otimes\!\frac\partial{\partial x^{i_p}}\!\otimes\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_q}$. Пример: $\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}$ — поле форм от $k$ перем.-х.
• Преобр.-е координат тензорного поля при замене координат на $M$: $T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_1}}{\partial x^{k_1}}\!\circ\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^\tilde{i_p}}{\partial x^{k_p}}\!\circ\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^{l_1}}{\partial x^\tilde{j_1}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\ldots\Bigl(\frac{\partial x^{l_q}}{\partial x^\tilde{j_q}}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}\!$.
• Пр.-во дифференциальн. $k$-форм: $\Omega^k(M)=\{\omega\in\mathrm{Tens}_k(M)\mid\forall\,m\in M\;\bigl(\omega(m)\in\mathrm{AMulti}_k(\mathrm T_mM)\bigr)\}$. Алгебра диффер. форм: $\Omega(M)=\bigoplus_{k=0}^n\Omega^k(M)$.

16.2  Дифференциальные операции на многообразиях

• Производная Ли: $\mathcal L_vf=\mathrm df(v)$. Утверждение: $\mathcal L_v\!\in\mathrm{Der}(\mathrm C^\infty\!(M))$ и $\mathcal L_v=0\,\Rightarrow\,v=0$. Коммутатор вект. полей: $\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\mathcal L_{[v,w]}=[\mathcal L_v,\mathcal L_w]\bigr)$.
• Теорема о коммутаторе. Пусть $M$ — многообразие и $n=\dim M$; тогда
  (1) для любых $v,w\in \mathrm {Vect} (M)$, определяя в координатах векторное поле $[v,w]$ на $M$ по формуле $[v,w]=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!\bigl(v^j\,\partial_jw^i-w^j\,\partial_jv^i\bigr)\frac\partial{\partial x^i}$, имеем
  следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция $[\,,]$ удовлетворяет определению коммутатора;
  (2) операция коммутатора $[\,,]$ на $M$ определена однозначно;
  (3) $\mathrm {Vect} (M)$ — алгебра Ли относ.-но операции $[\,,]$, и отобр.-е $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm C^\infty\!(M))\\v&\mapsto\mathcal L_v\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизм алгебр Ли (без док.-ва сюръективности).
• Внешний дифференциал: $\mathrm {d}$ — супердифференцирование алгебры $\Omega (M)$, $\mathrm d^2=0$ и $\forall\,f\in\mathrm C^\infty\!(M)\;\bigl(\mathrm d(f)=\mathrm df\bigr)$. Утверждение: $\omega|_U=0\,\Rightarrow\,(\mathrm d\omega)|_U=0$.
• Теорема о внешнем дифференциале. Пусть $M$ — многообразие и $n=\dim M$; тогда
  (1) для любых $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $\omega\in\Omega^k(M)$, определяя в координатах форму $\mathrm d\omega$ на $M$ по формуле $\mathrm d\omega=(k+1)\!\!\!\sum_{1\le j_0,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\partial_{[j_0}\omega_{j_1,\ldots,j_k]}\,\mathrm dx^{j_0}\!\otimes\ldots\otimes\mathrm dx^{j_k}$
  (эта формула эквивалентна формуле $\mathrm d\omega=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\mathrm d\omega_{j_1,\ldots,j_k}\!\wedge\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}$), имеем следующие факты: это определение не зависит от
  выбора системы координат (эскиз доказательства), и операция $\mathrm {d}$ удовлетворяет определению внешнего дифференциала;
  (2) операция внешнего дифференциала $\mathrm {d}$ на $M$ определена однозначно.
• Замкнутая форма: $\mathrm d\omega=0$. Точная форма: $\omega=\mathrm d\psi$. Утверждение: точные формы замкнуты. Лемма Пуанкаре: в $\mathbb {R} ^{n}$ замкнут. формы точны (без док.-ва).
• Ковариантная произв. вект. полей: $\nabla\in\mathrm{Bi}(\mathrm{Vect}(M),\mathrm{Vect}(M))$ и $\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M),\,f\in\mathrm C^\infty\!(M)\;\bigl(\nabla_{fv}w=f\,\nabla_vw\,\land\,\nabla_v(fw)=(\mathcal L_vf)\,w+f\,\nabla_vw\bigr)$.
• Теорема о ковариантной производной. Пусть $M$ — многообразие, $n=\dim M$ и в каждой системе координат из атласа на $M$ заданы функции $\,\Gamma^i_{j,k}$,
  где $i,j,k\in\{1,\ldots,n\}$, преобразующиеся при замене координ. по формуле $\Gamma^\tilde i_{\tilde j,\tilde k}=\sum_{r=1}^n\Bigl(\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^r}\!\circ\xi\Bigr)\biggl(\sum_{1\le s,t\le n}\!\!\Bigl(\frac{\partial x^s}{\partial x^\tilde j}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\Bigl(\frac{\partial x^t}{\partial x^\tilde k}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\,\Gamma^r_{s,t}+\Bigr(\frac{\partial^2x^r}{\partial x^\tilde j\partial x^\tilde k}\!\circ\tilde\xi\Bigr)\!\biggr)$;
  тогда для любых $v,w\in \mathrm {Vect} (M)$, определяя в координ. векторное поле $\nabla_vw$ на $M$ по формуле $\nabla_vw=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!\bigl(v^j\,\partial_jw^i+\sum_{k=1}^n\Gamma^i_{j,k}v^jw^k\bigr)\frac\partial{\partial x^i}$, имеем
  следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция $\nabla$ удовлетворяет определению ковариантной произв.-й.
• Векторное поле вдоль кривой: $v\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),\mathrm TM)$ и $\mathrm{pr}_M\!\circ v=\gamma$. Скорость $v$ вдоль $\gamma$: $\dot v=\sum_{i=1}^n\Bigl((v^i)\!\dot{\phantom i}\!+\!\!\sum_{1\le j,k\le n}\!\!(\Gamma^i_{j,k}\!\circ\gamma)\,\dot\gamma^j\,v^k\Bigr)\Bigl(\frac\partial{\partial x^i}\!\circ\gamma\Bigr)$. Ускорение: $\ddot\gamma$.

16.3  Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)

• Метрический тензор сигнатуры $(p,q)$: $g\in\mathrm{Tens}_2(M)$ и для любых $m\in M$ выполнено $g(m)$ — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры $(p,q)$ на $\mathrm {T} _{m}M$.
• Псевдориманово многообр. сигнат. $(p,q)$ — многообр. с метр. тензором сигнат. $(p,q)$. Риманово многообр.: $q=0$. Примеры: $\mathbb {R} ^{n}$, пр.-во Лобачевского $\mathrm H^n$.
• Бемоль: $(\flat\,v)(m)=\flat_{g(m)}(v(m))$. Диез: $(\sharp\,\lambda)(m)=\sharp^{g(m)}(\lambda(m))$. Градиент функции: $\mathrm{grad}\,f=\sharp\,\mathrm df$. Градиент в коорд.: $(\mathrm{grad}\,f)^i=\sum_{j=1}^ng^{i,j}\,\partial_jf=\partial^if$.
• Ориентация многообр. $M$ — такой выбор ориентаций всех пр.-в $\mathrm {T} _{m}M$, где $m\in M$, что $\exists\,\omega\in\Omega^n(M)\;\forall\,m\in M\;\bigl(\omega(m)\in\mathrm{VF}_{>0}(\mathrm T_mM)\bigr)$. Атлас $\mathcal A_{>0}$.
• Канонич. форма объема: $\mathrm{vol}$. Оператор Ходжа: $*$. Ротор ($n=3$): $\mathrm{rot}\,v=\sharp\,{*}\,\mathrm d\,\flat\,v$. Дивергенция: $\mathrm{div}\,v=(-1)^q\,{*}\,\mathrm d\,{*}\,\flat\,v$. Лапласиан: $\Delta f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,f)$.
• Символы Кристоффеля: $\Gamma^i_{j,k}=\frac12\sum_{l=1}^ng^{i,l}\bigl(\partial_jg_{k,l}+\partial_kg_{j,l}-\partial_lg_{j,k}\bigr)$. Теорема о связности Леви-Чивиты. Длина: $\int_\alpha^\beta\!\!\!\sqrt{g(\dot\gamma,\dot\gamma)}$; незав.-сть от параметриз.-и.

  Теорема о связности Леви-Чивиты. Пусть $M$ — псевдориманово многообразие; тогда
  (1) символы Кристоффеля на $M$ преобразуются при замене координат по формуле из теоремы о ковариантной производной и, значит, определяют
  операцию ковариантной производной $\nabla$ на $M$ (она называется связностью Леви-Чивиты), причем эта операция обладает следующими свойствами:
  $\forall\,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\nabla_vw-\nabla_wv=[v,w]\bigr)$ и $\forall\,u,v,w\in\mathrm{Vect}(M)\;\bigl(\mathcal L_u(g(v,w))=g(\nabla_uv,w)+g(v,\nabla_uw)\bigr)$;
  (2) операция ковариантной производной $\nabla$ на $M$, обладающая свойствами из пункта (1), определена однозначно (без доказательства).

• Геодезические — экстремали функционала длины. Условие на геодезические (ур.-е Эйлера–Лагранжа для функционала длины): $\ddot\gamma=0$ (если $g(\dot\gamma,\dot\gamma)=1$).
• Тензор Римана (кривизны): $\mathrm R^i_{j,k,l}=\partial_k\Gamma^i_{l,j}-\partial_l\Gamma^i_{k,j}+\sum_{h=1}^n\bigl(\Gamma^i_{k,h}\Gamma^h_{l,j}-\Gamma^i_{l,h}\Gamma^h_{k,j}\bigr)$. Тензор Риччи: $\mathrm R_{i,j}=\sum_{h=1}^n\mathrm R^h_{i,h,j}$. Скалярная кривизна: $\mathrm R=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!g^{i,j}\,\mathrm R_{i,j}$.

Эпилог. Дифференциальные операции на многообразии $\mathbb {R} ^{3}$

• Рассмотрим топологическое пространство $\mathbb {R} ^{3}$ как трехмерное риманово многообразие с ориентацией, структура которого задана максимальным атласом,
  являющимся классом согласов.-сти системы координат $\mathrm {id} _{\mathbb {R} ^{3}}$ (эти коорд.-ты обозначаются $(x,y,z)$), метрическим тензором («квадратом элемента длины»)
  $g=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2$ и таким выбором ориентаций всех касательных пр.-в к $\mathbb {R} ^{3}$, что $\forall\,m\in\mathbb R^3\,\bigl(\Bigl(\frac\partial{\partial x}(m),\frac\partial{\partial y}(m),\frac\partial{\partial z}(m)\Bigr)\!\in\mathrm{OB}_{>0}(\mathrm T_m\mathbb R^3)\bigr)$;
  данная структура на $\mathbb {R} ^{3}$ определяет каноническую форму объема («элемент объема») $\mathrm{vol}=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz$ и символы Кристоффеля, равные $0$.
• Пусть $(x^{1},x^{2},x^{3})$ — ортогональная положительно ориентированная система координат на $\mathbb {R} ^{3}$ с областью определения $U$ (то есть для любых $m\in U$
  выполнено $\Bigl(\frac\partial{\partial x^1}(m),\frac\partial{\partial x^2}(m),\frac\partial{\partial x^3}(m)\Bigr)\!\in\mathrm{OOB}_{>0}(\mathrm T_m\mathbb R^3)$); обозначим через $H_1$, $H_2$ и $H_3$ коэффициенты Ламе $\sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial x^1}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x^1}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x^1}\Bigr)^{\!2}}$,
  $\sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial x^2}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x^2}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x^2}\Bigr)^{\!2}}$ и $\sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial x^3}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x^3}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x^3}\Bigr)^{\!2}}$ соответственно; тогда
  (1) для любых $i,j\in \{1,2,3\}$ выполнено $g_{i,j}=g\Bigl(\frac\partial{\partial x^i},\frac\partial{\partial x^j}\Bigr)=g\Bigl(\frac{\partial x}{\partial x^i}\frac\partial{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial x^i}\frac\partial{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial x^i}\frac\partial{\partial z},\frac{\partial x}{\partial x^j}\frac\partial{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial x^j}\frac\partial{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial x^j}\frac\partial{\partial z}\Bigr)=\delta_{i,j}\,H_i^2$, и,
  значит, $g=H_1^2(\mathrm dx^1)^2+H_2^2(\mathrm dx^2)^2+H_3^2(\mathrm dx^3)^2$ и $\mathrm{vol}=H_1H_2H_3\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3$;
  (2) для любых $i,j,k\in\{1,2,3\}$ выполнено $\Gamma^i_{j,k}=\frac12\sum_{l=1}^3g^{i,l}\bigl(\partial_jg_{k,l}+\partial_kg_{j,l}-\partial_lg_{j,k}\bigr)=\frac1{2H_i^2}\bigl(\delta_{i,k}\,\partial_j(H_i^2)+\delta_{i,j}\,\partial_k(H_i^2)-\delta_{j,k}\,\partial_i(H_j^2)\bigr)$, и, значит,
  для любых $i,j\in \{1,2,3\}$ выполнено $\Gamma^i_{i,j}=\Gamma^i_{j,i}=\frac1{2H_i^2}\bigl(\delta_{i,j}\,\partial_i(H_i^2)+\partial_j(H_i^2)-\delta_{i,j}\,\partial_i(H_i^2)\bigr)=\frac{\partial_jH_i}{H_i}$, для любых различных $i,j\in \{1,2,3\}$
  выполнено $\Gamma^i_{j,j}=\frac1{2H_i^2}\bigl(\delta_{i,j}\,\partial_j(H_i^2)+\delta_{i,j}\,\partial_j(H_i^2)-\partial_i(H_j^2)\bigr)=-\frac{H_j\,\partial_iH_j}{H_i^2}$, и для любых попарно различных $i,j,k\in\{1,2,3\}$ выполнено $\Gamma^i_{j,k}=0$.
• Зафиксируем ортогон. положит. ориентир. систему координат $(x^{1},x^{2},x^{3})$ на $\mathbb {R} ^{3}$ с областью определения $U$ и обозначим через $e_{1}$, $e_{2}$ и $e_{3}$ векторные поля
  $\frac1{H_1}\frac{\partial}{\partial x^1}$, $\frac1{H_2}\frac{\partial}{\partial x^2}$ и $\frac1{H_3}\frac{\partial}{\partial x^3}$ соответственно; тогда $e^1\!=H_1\,\mathrm dx^1$, $e^2\!=H_2\,\mathrm dx^2$ и $e^3\!=H_3\,\mathrm dx^3$, а также $g=(e^1)^2+(e^2)^2+(e^3)^2$ и $\mathrm{vol}=e^1\!\wedge e^2\!\wedge e^3$.
• Пусть $f\in\mathrm C^\infty\!(U)$; тогда $\mathrm{grad}\,f=\sharp\,\mathrm df=\sharp\,\bigl(\partial_1f\;\mathrm dx^1+\partial_2f\;\mathrm dx^2+\partial_3f\;\mathrm dx^3\bigr)=\frac{\partial_1f}{H_1}\,e_1+\frac{\partial_2f}{H_2}\,e_2+\frac{\partial_3f}{H_3}\,e_3$.
• Пусть $v=v^1e_1+v^2e_2+v^3e_3=\frac{v^1}{H_1}\frac{\partial}{\partial x^1}+\frac{v^2}{H_2}\frac{\partial}{\partial x^2}+\frac{v^3}{H_3}\frac{\partial}{\partial x^3}\in\mathrm{Vect}(U)$; тогда
  (1) $\flat\,v=v^1e^1+v^2e^2+v^3e^3=H_1v^1\,\mathrm dx^1+H_2v^2\,\mathrm dx^2+H_3v^3\,\mathrm dx^3$;
  (2) $*\,\flat\,v=v^1e^2\!\wedge e^3-v^2e^1\!\wedge e^3+v^3e^1\!\wedge e^2\!=H_2H_3v^1\,\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3-H_1H_3v^2\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+H_1H_2v^3\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2$;
  (3) $\mathrm{rot}\,v=\sharp\,{*}\,\mathrm d\,\flat\,v=\sharp\,{*}\,\mathrm d\bigl(H_1v^1\,\mathrm dx^1+H_2v^2\,\mathrm dx^2+H_3v^3\,\mathrm dx^3\bigr)=$
  $=\sharp\,{*}\,\bigl(\bigl(\partial_2(H_3v^3)-\partial_3(H_2v^2)\bigr)\,\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3+\bigl(\partial_1(H_3v^3)-\partial_3(H_1v^1)\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+\bigl(\partial_1(H_2v^2)-\partial_2(H_1v^1)\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\bigr)=$
  $=\frac{\partial_2(H_3v^3)-\partial_3(H_2v^2)}{H_2H_3}\,e_1-\frac{\partial_1(H_3v^3)-\partial_3(H_1v^1)}{H_1H_3}\,e_2+\frac{\partial_1(H_2v^2)-\partial_2(H_1v^1)}{H_1H_2}\,e_3$;
  (4) $\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,\flat\,v=*\,\mathrm d\bigl(H_2H_3v^1\,\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3-H_1H_3v^2\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+H_1H_2v^3\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\bigr)=$
  $=*\,\bigl(\bigl(\partial_1(H_2H_3v^1)+\partial_2(H_1H_3v^2)+\partial_3(H_1H_2v^3)\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3\bigr)=\frac1{H_1H_2H_3}\bigl(\partial_1(H_2H_3v^1)+\partial_2(H_1H_3v^2)+\partial_3(H_1H_2v^3)\bigr)$.
• Пусть $f\in\mathrm C^\infty\!(U)$; тогда $\Delta f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,f)=\mathrm{div}\bigl(\frac{\partial_1f}{H_1}\,e_1+\frac{\partial_2f}{H_2}\,e_2+\frac{\partial_3f}{H_3}\,e_3\!\bigr)=\frac1{H_1H_2H_3}\Bigl(\partial_1\bigl(\frac{H_2H_3}{H_1}\,\partial_1f\bigr)+\partial_2\bigl(\frac{H_1H_3}{H_2}\,\partial_2f\bigr)+\partial_3\bigl(\frac{H_1H_2}{H_3}\,\partial_3f\bigr)\!\Bigr)$.
• Пусть $-\infty\le\alpha<\beta\le\infty$ и $\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),U)$; тогда
  (1) $\dot\gamma=(\gamma^1)\!\dot{\phantom i}\frac{\partial}{\partial x^1}+(\gamma^2)\!\dot{\phantom i}\frac{\partial}{\partial x^2}+(\gamma^3)\!\dot{\phantom i}\frac{\partial}{\partial x^3}=H_1(\gamma^1)\!\dot{\phantom i}e_1+H_2(\gamma^2)\!\dot{\phantom i}e_2+H_3(\gamma^3)\!\dot{\phantom i}e_3$;
  (2) $\ddot\gamma=\sum_{i=1}^3\Bigl((\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+\!\!\sum_{1\le j,k\le3}\!\!\Gamma^i_{j,k}(\gamma^j)\!\dot{\phantom i}(\gamma^k)\!\dot{\phantom i}\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=\sum_{i=1}^3\Bigl((\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+\sum_{j=1}^3\Gamma^i_{i,j}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}(\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\!+\sum_{j=1}^3\Gamma^i_{j,i}(\gamma^j)\!\dot{\phantom i}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\!-\Gamma^i_{i,i}\bigl((\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2+\!\!\!\sum_{1\le j\le3,\,j\ne i}\!\!\!\Gamma^i_{j,j}\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=$
  $=\sum_{i=1}^3\Bigl((\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+2\sum_{j=1}^3\frac{\partial_jH_i}{H_i}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}(\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\!-\frac{\partial_iH_i}{H_i}\bigl((\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2-\!\!\!\sum_{1\le j\le3,\,j\ne i}\!\!\!\frac{H_j\,\partial_iH_j}{H_i^2}\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=\sum_{i=1}^3\Bigl((\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+\frac{2(H_i)\!\dot{\phantom i}\!}{H_i}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\!-\sum_{j=1}^3\frac{H_j\,\partial_iH_j}{H_i^2}\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=$
  $=\sum_{i=1}^3\frac1{H_i^2}\Bigl(H_i^2(\gamma^i)\!\ddot{\phantom i}+2H_i(H_i)\!\dot{\phantom i}(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\!-\sum_{j=1}^3H_j\,\partial_iH_j\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\frac\partial{\partial x^i}=\sum_{i=1}^3\frac1{H_i}\Bigl(\bigl(H_i^2(\gamma^i)\!\dot{\phantom i}\bigr)\!\dot{\phantom i}\!-\sum_{j=1}^3H_j\,\partial_iH_j\bigl((\gamma^j)\!\dot{\phantom i}\bigr)^2\Bigr)\,e_i$.
• Найдем коэфф.-ты Ламе для цилиндрической и сферической систем координат (это ортогональные положительно ориентированные системы координат).
  (1) Цилиндрическая система координат: $x=\rho\cos\varphi$, $y=\rho\sin\varphi$ и $z=z$, и, значит, $H_\rho=1$, $H_\varphi=\rho$ и $H_z=1$.
  (2) Сферическая система координат: $x=r\sin\theta\cos\varphi$, $y=r\sin\theta\sin\varphi$ и $z=r\cos\theta$, и, значит, $H_r=1$, $H_\theta=r$ и $H_\varphi=r\sin\theta$.