Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск

Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры

In the 20th century, the subject came to be known as tensor analysis, and achieved broader acceptance with the introduction of Einstein's
theory of general relativity, around 1915. General relativity is formulated completely in the language of tensors. Einstein had learned about
them, with great difficulty, from the geometer Marcel Grossmann. Tullio Levi-Civita then initiated a correspondence with Einstein to correct
mistakes Einstein had made in his use of tensor analysis. The correspondence lasted 1915–1917, and was characterized by mutual respect:
"I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while
the like of us have to make our way laboriously on foot" (from Einstein's letter to Levi-Civita).
Статья «Tensor» в англоязычной Википедии

14   Тензорные произведения векторных пространств

14.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами
  • Тензорное произведение вект. пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
  • Разложимый тензор: . Ранг тензора : — минимум среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
  • Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
    и отображение — полилинейный оператор.
  • Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
    существ. единств. такой , что
    (и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств).
  • Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
    пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
    пространства , а также, если , то .
  • Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (, ): .
  • Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда ,
    и .
  • Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
    (1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
    (2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
14.2  Тензоры типа и тензорная алгебра
  • Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
  • Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
  • Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
    (1) — изоморфизм векторных пространств;
    (2) — изоморфизм векторных пространств;
    (3) — изоморфизм вект. простр.-в.
  • Тензор типа в координатах: . Примеры: , , .
  • Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
  • Преобразование при замене базиса: . Примеры: , .
  • Тензорная алгебра над : — ассоциативная -алгебра с (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ).
  • Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда множество
    — базис алгебры , и для любых его элементов и выполнено
    , а также — алгебра многочленов от своб. перем.-х.
14.3  Операции над тензорами типа
  • Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: . Кронекерово пр.-е матриц.
  • Тензорное произв.-е полилин. форм как полилин. форма (, ): .
  • Перестановка компонент: . Действие группы . Перест.-ка в коорд.-х: .
  • Свертка по -й и -й позициям: .
  • Свертка по -й и -й позициям в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.

    Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) для любых , и выполнено , , и ;
    (2) для любых и выполнено и .

  • Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и форма невырождена; тогда
    (1) для любых выполнено (тензор — обратный тензор по отношению к тензору );
    (2) под действием канонического изоморфизма тензор переходит в форму ;
    (3) для любых выполнено .
  • Опускание индекса с -й позиции: . Подъем индекса с -й поз.-и: .
  • Опускание индекса и подъем индекса в коорд.-х: и .

15   Симметрические и внешние степени векторных пространств

15.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
  • Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
  • Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над ,
    и ; обозначим через канонический изоморфизм ; тогда
    (1) (напоминание: и );
    (2) и (далее пространства и отождествляются при помощи изоморфизма );
    (3) и (далее пространства и отождествляются при помощи изоморфизма ).
  • Оператор симметризации: . Оператор альтернирования: . Лемма о симметризации и альтернировании.

    Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
    (1) для любых выполнено и ;
    (2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
    (3) и , а также и (и, значит, — проектор на и — проектор на ).

  • Симметрич. и внешнее произв.-е векторов: и . Пример: .
  • Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр. над и ; тогда
    (1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
    (2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор.
  • Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
    (1) для любых существует единственный такой , что ;
    (2) для любых существует единственный такой , что .
  • Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
    и ; тогда
    (1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
    (2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
    (3) и .
  • Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (): и .
15.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
  • Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (, ): и .
  • Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: и .
  • Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: и .
  • Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное простр.-во над полем ,
    , и , , ; тогда
    (1) и ;
    (2) и ;
    (3) и ;
    (4) и ;
    (5) и .
  • Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
  • Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
  • Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над , и ; тогда
    (1) — базис алгебры , и для любых его элементов и
    выполнено , где числа суть числа , упорядоченные по неубыванию;
    (2) — базис алгебры , и для любых его элементов и
    выполнено , где суть , упоряд. по неубыванию;
    (3) — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, и — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х.
15.3  Операции над внешними формами
  • Теорема о внешнем произведении внешних форм. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
    , и ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) для любых выполнено .
  • Оператор внутреннего произв.-я с вект. : . Оператор в коорд.: .
  • Утверждение: . Продолжение по лин.-сти опер. до эндоморфизма пр.-ва .
  • Теорема о внутреннем произведении. Пусть — поле, , — вект. пр. над , и ; тогда — супердифференцирование
    алгебры (то есть для любых , и выполнено ) и .
  • Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ( — канон. форма объема).
  • Примеры: , (где ), .
  • Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть — псевдоевклидово пространство с ориентацией, , и ; тогда
    (1) для любых , и выполнено ;
    (2) для любых и попарно различных чисел выполнено , где
    и , а также .
  • Теорема об операторе Ходжа. Утверждение: пусть и ; тогда .

    Теорема об операторе Ходжа. Пусть — псевдоевклидово пространство с ориентацией, , и ; тогда
    (1) для любых выполнено (и, значит, — изоморфизм векторных пространств);
    (2) для любых выполнено , где (в координатах );
    (3) для любых выполнено .

16   Многообразия (часть 2)

16.1  Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля
  • Касательное и кокасательное расслоения: и . Структура многообр.-я на и ; отобр.-е проекции на : .
  • Пр.-ва векторн. полей и ковект. полей (-форм): и .
  • Умножение вект. полей и -форм на функции. Действие -форм на вект. поля. Локальные вект. поля и -формы . Утверждение: .
  • Векторные поля и -формы в коорд.: и . Преобраз.-я при замене коорд.: и .
  • Расслоение тензоров типа : . Пр.-во тензорн. полей типа : .
  • В коорд.: . Пример: — поле форм от перем.-х.
  • Преобр.-е координат тензорного поля при замене координат на : .
  • Пр.-во дифференциальн. -форм: . Алгебра диффер. форм: .
16.2  Дифференциальные операции на многообразиях
  • Производная Ли: . Утверждение: и . Коммутатор вект. полей: .
  • Теорема о коммутаторе. Пусть — многообразие и ; тогда
    (1) для любых , определяя в координатах векторное поле на по формуле , имеем
    следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция удовлетворяет определению коммутатора;
    (2) операция коммутатора на определена однозначно;
    (3) — алгебра Ли относ.-но операции , и отобр.-е — изоморфизм алгебр Ли (без док.-ва сюръективности).
  • Внешний дифференциал: — супердифференцирование алгебры , и . Утверждение: .
  • Теорема о внешнем дифференциале. Пусть — многообразие и ; тогда
    (1) для любых и , определяя в координатах форму на по формуле
    (эта формула эквивалентна формуле ), имеем следующие факты: это определение не зависит от
    выбора системы координат (эскиз доказательства), и операция удовлетворяет определению внешнего дифференциала;
    (2) операция внешнего дифференциала на определена однозначно.
  • Замкнутая форма: . Точная форма: . Утверждение: точные формы замкнуты. Лемма Пуанкаре: в замкнут. формы точны (без док.-ва).
  • Ковариантная произв. вект. полей: и .
  • Теорема о ковариантной производной. Пусть — многообразие, и в каждой системе координат из атласа на заданы функции ,
    где , преобразующиеся при замене координ. по формуле ;
    тогда для любых , определяя в координ. векторное поле на по формуле , имеем
    следующие факты: это определение не зависит от выбора системы координат, и операция удовлетворяет определению ковариантной произв.-й.
  • Векторное поле вдоль кривой: и . Скорость вдоль : . Ускорение: .
16.3  Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)
  • Метрический тензор сигнатуры : и для любых выполнено — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры на .
  • Псевдориманово многообр. сигнат. — многообр. с метр. тензором сигнат. . Риманово многообр.: . Примеры: , пр.-во Лобачевского .
  • Бемоль: . Диез: . Градиент функции: . Градиент в коорд.: .
  • Ориентация многообр. — такой выбор ориентаций всех пр.-в , где , что . Атлас .
  • Канонич. форма объема. Оператор Ходжа: . Ротор: . Дивергенция: . Лапласиан: .
  • Символы Кристоффеля: . Теорема о связности Леви-Чивиты. Длина: ; незав.-сть от параметриз.-и.

    Теорема о связности Леви-Чивиты. Пусть — псевдориманово многообразие; тогда
    (1) символы Кристоффеля на преобразуются при замене координат по формуле из теоремы о ковариантной производной и, значит, определяют
    операцию ковариантной производной на (она называется связностью Леви-Чивиты), причем эта операция обладает следующими свойствами:
    и ;
    (2) операция ковариантной производной на , обладающая свойствами из пункта (1), определена однозначно (без доказательства).

  • Геодезические — экстремали функционала длины. Условие на геодезические (ур.-е Эйлера–Лагранжа для функционала длины): (если ).
  • Тензор Римана (кривизны): . Тензор Риччи: . Скалярная кривизна: .
Приложение: дифференциальные операции в
  • Рассмотрим топологическое пространство как трехмерное риманово многообразие с ориентацией, структура которого задана максимальным атласом,
    являющимся классом согласов.-сти системы координат (эти коорд.-ты обозначаются ), метрическим тензором («квадратом элемента длины»)
    и таким выбором ориентаций всех касательных пр.-в к , что ;
    данная структура на определяет каноническую форму объема («элемент объема») и нулевые символы Кристоффеля.
  • Пусть — ортогональная положительно ориентированная система координат на с областью определения (то есть для любых
    выполнено ); обозначим через , и коэффициенты Ламе ,
    и соответственно; тогда
    (1) для любых выполнено , и,
    значит, и ;
    (2) для любых выполнено , и, значит,
    для любых выполнено , для любых различных
    выполнено , и для любых попарно различных выполнено .
  • Зафиксируем ортогон. положит. ориентир. систему координат на с областью определения и обозначим через , и векторные поля
    , и соответственно; тогда , и , а также и .
  • Пусть ; тогда
    и .
  • Пусть ; тогда .
  • Пусть ; тогда
    .