Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь

1  Основы алгебры

										Читателю может потребоваться усилие воли, чтобы увидеть в математике воспитателя образного мышления. Чаще с ней связы- вается представление о жесткой логике и вычислительном формализме. Но это — лишь дисциплина, линейка, которой нас учат не умирать. Вычислительный формализм математики — мысль, экстериоризованная до такой степени, что она на время отчуж- дается и превращается в технологический процесс. Математический образ формируется в затяжном приживлении к человеку этой временно отторгнутой мысли. Думать — значит вычислять, волнуясь. Ю.И. Манин. Математика и физика
										Развитие современной физики потребовало такого математического аппарата, который непрерывно расширяет свои основания и становится все более и более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые одно время считались чистой игрой разума и упражнениями для логических размышлений, теперь оказались необходимыми для описания весьма общих закономерностей физического мира. Похоже, что этот процесс возрастания степени абстракции будет продолжаться и в будущем и что развитие физики следует связывать с непрерывной модификацией и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а не с логическим развитием какой бы то ни было математической схемы, построенной на фиксированном основании. П.А.М. Дирак. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле

1.1  Множества, отображения, отношения

1.1.1  Множества

• Логические операции: $\lnot$ — отрицание («не»), $\lor$ — дизъюнкция («или»), $\land$ — конъюнкция («и»), $\Rightarrow$ — импликация («влечет»), $\Leftrightarrow$ — эквивалентность.
• Кванторы: $\exists$ — существование («существует»), $\forall$ — всеобщность («для любых»), $\exists !$ — существование и единственность («существует единственный»).
• Принадлежность: $\in$. Равенство множеств: $X=Y\,\Leftrightarrow\,\forall\,z\;\bigl(z\in X\,\Leftrightarrow\,z\in Y\bigr)$. Включение и строгое включение между множ.-вами: $X\subseteq Y$ и $X\subset Y$.
• Кванторы по элементам множества: $\exists\,x\in X\;\bigl(p(x)\bigr)$ и $\forall\,x\in X\;\bigl(p(x)\bigr)$. Задание множества перечислением элементов: $\{\ldots \}$. Пустое множество: $\varnothing$.
• Выделение подмножества: $\{x\in X\mid p(x)\}$. Операции над множествами: $\cup$ — объединение, $\cap$ — пересечение, $\setminus$ — разность, $\times$ — произведение.
• Лемма об операциях над множествами. Пусть $X,Y,Z$ — множества; тогда
  (1) $(X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)$ и $X\cup Y=Y\cup X$, а также $(X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)$ и $X\cap Y=Y\cap X$;
  (2) $X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)$ и $X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup Z)$;
  (3) если $U$ — множество и $X,Y\subseteq U$, то $U\setminus (X\cup Y)=(U\setminus X)\cap (U\setminus Y)$ и $U\setminus (X\cap Y)=(U\setminus X)\cup (U\setminus Y)$.
• Числовые множества: $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$, $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ — мн.-ва натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел, $\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}$, $\mathbb {Z} /n=\{0,\ldots ,n-1\}$ ($n\in \mathbb {N}$).
• Множество подмножеств мн.-ва $X$: $2^{X}$. Декартова степень мн.-ва $X$ ($n\in \mathbb {N} _{0}$): $X^{n}$. Порядок (количество элементов) мн.-ва $X$: $|X|$ ($|X|\in\mathbb N_0\cup\{\infty\}$).

1.1.2  Отображения

• Множество отображений, действующих из мн.-ва $X$ в мн.-во $Y$: $\mathrm {Map} (X,Y)$. Область отобр.-я $f$: $\mathrm {Dom} \,f$, кообласть отобр.-я $f$: $\mathrm {Codom} \,f$. Примеры.
• Образ множества $A$ относительно $f$ ($A\subseteq X$): $f(A)$, прообраз множества $B$ относительно $f$ ($B\subseteq Y$): $f^{-1}(B)$, образ отображения $f$: $\mathrm {Im} \,f=f(X)$.
• Сужения отображения $f$ ($A\subseteq X$ и $f(A)\subseteq B\subseteq Y$): $f|_{A}$ и $f|_{A\to B}$. Сокращенная запись образа: $\{f(x)\mid x\in X\}=\{y\in Y\mid \exists \,x\in X\;{\bigl (}f(x)=y{\bigr )}\}$.
• Инъекции: $\mathrm {Inj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\leq 1{\bigr )}\}$. Сюръекции: $\mathrm {Surj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\geq 1{\bigr )}\}$.
• Биекции: $\mathrm {Bij} (X,Y)=\mathrm {Inj} (X,Y)\cap \mathrm {Surj} (X,Y)$. Композиция отображений $g$ и $f$: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$. Тождественное отображение: $\mathrm {id} _{X}(x)=x$.
• Теорема о композиции отображений. Пусть $X,Y$ — множества и $f\in \mathrm {Map} (X,Y)$; тогда
  (1) $f\circ \mathrm {id} _{X}=f$, $\mathrm {id} _{Y}\circ f=f$ и, если $Z,W$ — множества, $g\in \mathrm {Map} (Y,Z)$ и $h\in \mathrm {Map} (Z,W)$, то $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$;
  (2) если $X\neq \varnothing$, то $f$ — инъекция, если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}{\bigr )}$;
  (3) $f$ — сюръекция, если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}$;
  (4) $f$ — биекция, если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}\,\land \,f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}$.
• Отображение $f^{-1}$, обратное к отображению $f$: $f^{-1}\!\circ f=\mathrm{id}_X$ и $f\circ f^{-1}\!=\mathrm{id}_Y$. Пример: взаимно обратные биекции $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathbb R_{>0}\!\\x&\mapsto\mathrm e^x\end{align}\!\biggr)$ и $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R_{>0}\!&\to\mathbb R\\x&\mapsto\ln x\end{align}\!\biggr)$.

1.1.3  Отношения

• Множество отношений между множествами $X$ и $Y$: $\mathrm {Rel} (X,Y)$. Область отношения $\Delta$: $\mathrm {Dom} \,\Delta$, кообласть отношения $\Delta$: $\mathrm {Codom} \,\Delta$. Примеры.
• Отношения эквивалентности: $\mathrm {EquivRel} (X)=\{{\sim }\in \mathrm {Rel} (X,X)\mid \forall \,x,y,z\in X\;{\bigl (}x\sim x\,\land \,(x\sim y\,\Rightarrow \,y\sim x)\,\land \,(x\sim y\,\land \,y\sim z\,\Rightarrow \,x\sim z){\bigr )}\}$.
• Класс эквивалентности: $\mathrm {cl} _{\sim }\!(x)=\{{\breve {x}}\in X\mid x\sim {\breve {x}}\}$. Утверждение: $x\sim {\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {cl} _{\sim }\!(x)=\mathrm {cl} _{\sim }\!({\breve {x}})$. Фактормножество: $X/{\sim }=\{\mathrm {cl} _{\sim }\!(x)\mid x\in X\}$.
• Разбиения: $\mathrm {Part} (X)=\{{\mathcal {P}}\subseteq 2^{X}\!\setminus \!\{\varnothing \}\mid \bigcup _{A\in {\mathcal {P}}}\!A=X\;\land \;\forall \,A,B\in {\mathcal {P}}\;{\bigl (}A\neq B\,\Rightarrow \,A\cap B=\varnothing {\bigr )}\}$. Утверждение: $X/{\sim }\in \mathrm {Part} (X)$. Трансверсали.
• Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Пусть $X$ — множество; тогда отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {EquivRel} (X)&\to \mathrm {Part} (X)\\\sim &\mapsto X/{\sim }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — биекция.
• Отношение ${\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$: $x\;{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}\;{\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,f(x)=f({\breve {x}})$. Слои отображения $f$: $\{f^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,f\}$ ($=X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$). Факторотображение ${\Biggl (}\!\!{\begin{aligned}X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}&\to \mathrm {Im} \,f\\\mathrm {cl} \,_{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}(x)&\mapsto f(x)\end{aligned}}{\Biggr )}$ — биекция.
• Утверждение: $\sum _{y\in \mathrm {Im} \,f}\!\!|f^{-1}(y)|=|X|$. Принцип Дирихле. Пусть $X,Y$ — множества и $|X|=|Y|<\infty$; тогда $\,\mathrm {Inj} (X,Y)=\mathrm {Surj} (X,Y)=\mathrm {Bij} (X,Y)$.

1.2  Группы (часть 1)

1.2.1  Множества с операцией

• Внутренняя $n$-арная операция на мн.-ве $S$ — отображение, действующее из $S^{n}$ в $S$ (нульарная операция на $S$ — выделенный элемент множества $S$).
• Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: $\mathrm {Hom} (S,V)=\{f\in \mathrm {Map} (S,V)\mid \forall \,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S\;{\bigl (}f(o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n}))=o_{V}(f(s_{1}),\ldots ,f(s_{n})){\bigr )}\}$.
• Изоморфизмы: $\mathrm {Iso} (S,V)=\mathrm {Hom} (S,V)\cap \mathrm {Bij} (S,V)$. Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: $\mathrm {End} (S)=\mathrm {Hom} (S,S)$. Автоморфизмы: $\mathrm {Aut} (S)=\mathrm {Iso} (S,S)$.
• Теорема о композиции гомоморфизмов. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $S,V,Y$ — множества с $n$-арной операцией; тогда
  (1) для любых $f\in \mathrm {Hom} (S,V)$ и $g\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ выполнено $g\circ f\in \mathrm {Hom} (S,Y)$;
  (2) для любых $f\in \mathrm {Iso} (S,V)$ выполнено $f^{-1}\!\in \mathrm {Iso} (V,S)$.
• Обозначение по Минковскому: $o_{S}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\{o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n})\mid s_{1}\in S_{1},\ldots ,s_{n}\in S_{n}\}$. Примеры: $\mathbb {N} +\mathbb {N} =\mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}$, $\mathbb {N} \cdot \mathbb {N} =\mathbb {N}$, $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$.
• Инфиксная запись бинарных опер.-й. Ассоциативность: $\forall \,s,t,u\in S\;{\bigl (}(s\cdot t)\cdot u=s\cdot (t\cdot u){\bigr )}$; коммутативность (абелевость): $\forall \,s,t\in S\;{\bigl (}s\cdot t=t\cdot s{\bigr )}$.
• Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Степени эл.-та полугруппы.

  Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть $S$ — полугруппа, $n\in \mathbb {N}$ и $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$; тогда значение выражения $s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}$ не зависит от
  расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

1.2.2  Моноиды и группы (основные определения и примеры)

• Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
• Примеры: числовые моноиды, моноиды остатков, моноиды функций $\mathrm {Func} (X,M)$, моноиды отображений $\mathrm {Map} (X)$, моноиды слов $\mathrm W(X)$ и $\mathrm W(X)^\mathtt{ab}$.
• Обратимые элементы: $M^{\times }\!=\{m\in M\mid \exists \,m'\in M\;{\bigl (}m'\,m=m\,m'=1{\bigr )}\}$. Единственность обратного элемента. Утверждение: $M^{\times }\!\cdot M^{\times }\!\subseteq M^{\times }$.
• Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа $M^{\times }$ ($M$ — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: $G\cong J$.
• Примеры: числовые группы, группы остатков $(\mathbb {Z} /n)^{+}$ и $(\mathbb {Z} /n)^{\times }$, группы функций $\mathrm {Func} (X,G)$, группы биекций $\mathrm {Bij} (X)$, свободные группы $\mathrm F(X)$.
• Группа изометрий пр.-ва $\mathbb {R} ^{n}$: $\mathrm{Isom}(\mathbb R^n)=\{f\in\mathrm{Bij}(\mathbb R^n)\mid\forall\,v,w\in\mathbb R^n\,\bigl(\|f(v)-f(w)\|=\|v-w\|\bigr)\}$ ($\|(v^1,\ldots,v^n)\|=\!\sqrt{(v^1)^2+\ldots+(v^n)^2}$).
• Симметрические группы: $\mathrm {S} _{n}=\mathrm {Bij} (\{1,\ldots ,n\})$. Запись перестановки в виде послед.-сти значений. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.

  Лемма о циклах. Пусть $l,m,n\in \mathbb {N}$, $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k\in \{1,\ldots ,n\}$, числа $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k$ попарно различны и $u\in \mathrm {S} _{n}$; тогда
  $(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})$, а также $u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}\!=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))$.

• Мультипликативные обозначения: $g\,h$, $1$, $g^{-1}$, $g^{n}$ ($n\in \mathbb {Z}$). Степени эл.-та группы. Аддитивные обозн.-я в абелевой группе: $a+b$, $0$, $-a$, $n\,a$ ($n\in \mathbb {Z}$).

1.2.3  Подгруппы, классы смежности, циклические группы

• Подгруппа: $H\leq G\,\Leftrightarrow \,H\cdot H\subseteq H\,\land \,1\in H\,\land \,H^{-1}\!\subseteq H$. Подгруппа, порожденная мн.-вом $D$: $\langle D\rangle$ — наименьшая подгруппа, содержащая $D$.
• Утверждение: $\langle D\rangle =\{d_{1}^{\varepsilon _{1}}\!\cdot \ldots \cdot d_{n}^{\varepsilon _{n}}\!\mid n\in \mathbb {N} _{0},\,d_{1},\ldots ,d_{n}\in D,\,\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{1,-1\}\}$ (в частности, $\langle g\rangle =\{g^{a}\!\mid a\in \mathbb {Z} \}$). Пример: $(\mathbb Z/n)^+\!=\langle1\rangle$.
• Отношения ${\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и ${\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$: $g\,{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,g^{-1}{\breve {g}}\in H$ ($\Leftrightarrow \,gH={\breve {g}}H$) и $g\;{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\,{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,{\breve {g}}\,g^{-1}\!\in H$ ($\Leftrightarrow \,Hg=H{\breve {g}}$). Утверждение: $\mathrm {cl} \!_{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\!(g)=gH$ и $\mathrm {cl} _{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\!\!(g)=Hg$.
• Множества классов смежности: $G/H=\{gH\mid g\in G\}=G/{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и $H\backslash G=\{Hg\mid g\in G\}=G/{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$. Теорема Лагранжа. Индекс: $|G:H|=|G/H|$.

  Теорема Лагранжа. Пусть $G$ — группа, $|G|<\infty$ и $H\leq G$; тогда $|G|=|H|\,|G/H|=|H|\,|H\backslash G|$ (и, значит, $|H|$ делит $|G|$).

• Порядок элемента: $\mathrm {ord} (g)=\min\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=1\}$ ($\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$). Утверждение: пусть $n=\mathrm {ord} (g)<\infty$; тогда $\{a\in \mathbb {Z} \mid g^{a}=1\}=n\,\mathbb {Z}$.
• Лемма о порядке элемента. Пусть $G$ — группа и $g\in G$; тогда $\mathrm {ord} (g)=|\langle g\rangle |$ и, если $|G|<\infty$, то $\mathrm {ord} (g)$ делит $|G|$ и $g^{|G|}\!=1$.
• Теорема об обратимых остатках.
  (1) Пусть $n\in \mathbb {N}$ и $a\in \mathbb {Z} /n$; тогда $\mathrm{ord}_{(\mathbb Z/n)^+\!}(a)=\frac n{\gcd(a,n)}$.
  (2) Пусть $n\in \mathbb {N}$; тогда $(\mathbb {Z} /n)^{\times }\!=\{a\in \mathbb {Z} /n\mid \gcd(a,n)=1\}$ (в частности, если $p\in \mathbb {P}$, то $(\mathbb {Z} /p)^{\times }\!=(\mathbb {Z} /p)\!\setminus \!\{0\}$).
  (3) Пусть $p\in \mathbb {P}$, $a\in \mathbb {Z}$ и $p$ не делит $a$; тогда $a^{p-1}\!\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;p)$ (это малая теорема Ферма).
• Циклическая группа: $\exists \,d\in G\;{\bigl (}G=\langle d\rangle {\bigr )}$. Примеры: $(\mathbb {Z} /n)^{+}$ для любых $n\in \mathbb {N}$, $\mathbb {Z} ^{+}$, $(\mathbb {Z} /n)^{\times }$ для некоторых $n\in \mathbb {N}$. Теорема о циклических группах.

  Теорема о циклических группах. Пусть $G$ — циклическая группа и $n=|G|$; тогда, если $n<\infty$, то $G\cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$, и, если $n=\infty$, то $G\cong \mathbb {Z} ^{+}$.

1.2.4  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп

• Нормальная подгруппа: $H\trianglelefteq G\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gHg^{-1}\!\subseteq H{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gH=Hg{\bigr )}$. Пример: если $|G:H|=2$, то $H\trianglelefteq G$.
• Сопряжение при помощи эл.-та $g$: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}G&\to G\\x&\mapsto g\,x\,g^{-1}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Отнош.-е сопряженности: ${\bigl (}$$x$ и ${\breve {x}}$ сопряжены${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow \;$$\exists \,g\in G\;{\bigl (}{\breve {x}}=g\,x\,g^{-1}{\bigr )}$. Классы сопряженности.
• Нормальная подгруппа, порожденная множеством $T$: $(T)$ — наименьшая нормальная подгруппа, содержащая $T$. Утверждение: $(T)={\bigl \langle }\!\bigcup _{g\in G}g\,Tg^{-1}{\bigr \rangle }$.
• Ядро и образ гомоморфизма $f$: $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(1)$ и $\mathrm {Im} \,f$. Утверждение: $\mathrm {Ker} \,f\trianglelefteq G$ и $\,\mathrm {Im} \,f\leq J$. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.

  Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$; тогда
  (1) для любых $j\in J$ и $g_{0}\in f^{-1}(j)$ выполнено $f^{-1}(j)=g_{0}\,\mathrm {Ker} \,f$;
  (2) $f$ — инъекция, если и только если $\,\mathrm {Ker} \,f=\{1\}$.

• Факторгруппа: $G/H$ с фактороперациями ($H\trianglelefteq G$). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: $\mathbb {Z} ^{+}\!/n\,\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$; тогда $G/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$.

• Задание группы образующими и соотношениями ($D$ — множество, $T\subseteq\mathrm F(D)$): $\langle D\mid T\rangle=\mathrm F(D)/(T)$. Пример: $\langle d_1,d_2\!\mid d_1^2,d_2^2,(d_1d_2)^2\rangle\cong(\mathbb Z/8)^\times$.
• Прямое произведение групп: $F\times H$ с покомпонентными операциями. Утверждение: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to F\\(f,h)&\mapsto f\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to H\\(f,h)&\mapsto h\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизмы групп.
• Теорема о прямом произведении. Пусть $G$ — группа и $F,H\leq G$; обозначим через $\mathrm {mult}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{aligned}}\!{\biggr )}$; тогда
  (1) $\mathrm {mult} \in \mathrm {Hom} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$, $\mathrm {mult} ^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {mult} =FH$;
  (2) $\mathrm {mult} \in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,G=FH\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$;
  (3) если $|G|<\infty$, то в пункте (2) условие "$G=FH\!$" можно заменить на условие "$\,|G|=|F|\,|H|$".

1.3  Кольца (часть 1)

1.3.1  Определения и конструкции, связанные с кольцами

• Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
• Примеры: числовые кольца, кольца остатков $\mathbb Z/n$, кольца функций $\mathrm{Func}(X,R)$. Аддитивная и мультипликативная группы кольца $R$: $R^{+}$ и $R^{\times }$.
• Подкольцо: $S\leq R\,\Leftrightarrow \,S+S\subseteq S\,\land \,0\in S\,\land \,-S\subseteq S\,\land \,S\cdot S\subseteq S\,\land \,1\in S$. Подкольцо, порожденное мн.-вом $D$: $\langle D\rangle$. Подкольца вида $S[r]$.
• Идеал: $I\trianglelefteq R\,\Leftrightarrow \,I+I\subseteq I\,\land \,0\in I\,\land \,R\cdot I\cdot R\subseteq I$. Идеал, порожд. мн.-вом $T$: $(T)$. Пример: если $R$ — коммут. кольцо и $r\in R$, то $(r)=rR$.
• Ядро и образ гомоморфизма $f$: $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(0)$ и $\mathrm {Im} \,f$. Факторкольцо: $R/I$ с фактороперациями ($I\trianglelefteq R$). Корректность. Теорема о гомоморфизме.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть $R,U$ — кольца и $f\in \mathrm {Hom} (R,U)$; тогда $R/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$.

• Прямое произв.-е колец: $Q\times S$ с покомпонент. операциями. Характеристика кольца $R$: $\mathrm{char}\,R=\mathrm{ord}_{R^+\!}(1)$, если $\mathrm{ord}_{R^+\!}(1)<\infty$; иначе $\mathrm{char}\,R=0$.
• Кольцо без делителей нуля: $\forall\,r,s\in R\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(r\,s\ne0\bigr)$ и $R\neq \{0\}$. Область целостности — коммут. кольцо без делителей нуля. Тело: $K^{\times }\!=K\!\setminus \!\{0\}$.
• Поле — коммутативное тело. Гомоморфизмы полей. Примеры: числовые поля, поля $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p$, где $p\in \mathbb {P}$. Подполя. Подполе, порожденное мн.-вом.

1.3.2  Кольца многочленов

• Кольцо многочленов от переменной $x$ над кольцом $R$: $R[x]=\mathrm{FinFunc}(\mathrm W(x),R)$; отождествл.-е $\delta_{x^i}$ и $x^i$; общий вид многочлена: $f_nx^n+\ldots+f_0$.
• Умножение в $R[x]$. Степень и старший коэфф.-т. Утверждение: $R[x]^{\times }\!=R^{\times }$. Делимость в $R[x]$ ($R$ — комм. кольцо): $g\,|\,f\;\Leftrightarrow\;\exists\,h\in R[x]\;\bigl(f=g\,h\bigr)$.
• Неприводимые многочлены: $\mathrm{Irr}(R[x])=(R[x]\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{g\,h\mid g,h\in R[x]\!\setminus\!R^\times\!\}$. Пример: если $K$ — поле, $a,b\in K$ и $a\neq 0$, то $a\,x+b\in\mathrm{Irr}(K[x])$.
• Лемма о делении с остатком. Операции $\mathrm {div}$ и $\mathrm {mod}$ (старший коэфф.-т многочл. $f$ обратим): $g=(g\;\mathrm{div}\;f)\,f+(g\;\mathrm{mod}\;f)$ и $\deg\,(g\;\mathrm{mod}\;f)<\deg f$.

  Лемма о делении с остатком. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $f,g\in R[x]$ и старший коэффициент многочлена $f$ обратим; тогда
  существуют единственные такие многочлены $q,t\in R[x]$, что $g=q\,f+t$ и $\deg t<\deg f$.

• Кольцо остатков по модулю многочлена $f$ ($K$ — поле, $f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}$): $K[x]/f=\{a\in K[x]\mid \deg a<\deg f\}$. Утверждение: $K[x]/(f)\cong K[x]/f$.
• Сопоставление многочлену полиномиальной функции ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {pf} _{A}\colon R[x]&\to \mathrm {Func} (A,A)\\f_{n}x^{n}+\ldots +f_{0}&\mapsto {\bigl (}a\mapsto f_{n}a^{n}+\ldots +f_{0}{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм ($A$ — комм. кольцо, $R\leq A$).
• Обозначение: $f(a)={\bigl (}\mathrm {pf} _{A}(f){\bigr )}(a)$. Корни многочлена $f$: $\{r\in R\mid f(r)=0\}$. Теорема Безу. Теорема о корнях многочлена и следствие из нее.

  Теорема Безу. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $f\in R[x]$ и $r\in R$; тогда $f\;\mathrm {mod} \;(x-r)=f(r)$ (и, значит, $(x-r)\,|\,f\;\Leftrightarrow\,f(r)=0$).

  Теорема о корнях многочлена. Пусть $R$ — область целостности и $f\in R[x]\!\setminus \!\{0\}$; тогда $|\{r\in R\mid f(r)=0\}|\leq \deg f$.

  Следствие из теоремы о корнях многочлена. Пусть $R$ — область целостности, $|R|=\infty$, $f\in R[x]$ и $\forall \,r\in R\;{\bigl (}f(r)=0{\bigr )}$; тогда $f=0$.

• Теорема Виета. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $n\in \mathbb {N}$, $f_0,\ldots,f_{n-1},r_1,\ldots,r_n\in R$ и $x^n+f_{n-1}x^{n-1}+\ldots+f_0=(x-r_1)\cdot\ldots\cdot(x-r_n)$;
  тогда для любых $k\in\{0,\ldots,n-1\}$ выполнено $f_k=(-1)^{n-k}\!\!\!\!\sum_{\substack{I\subseteq\{1,\ldots,n\}\\|I|=n-k}}\!\prod_{i\in I}r_i$ (в частности, $f_0=(-1)^n\,r_1\cdot\ldots\cdot r_n$ и $f_{n-1}=-(r_1+\ldots+r_n)$).

1.3.3  Поле комплексных чисел

• Кольцо комплексных чисел: $\mathbb {C} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} \mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}$, где $\mathrm {i} ^{2}=-1$. Утверждение: $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$. Комплексные числа как точки плоскости $\mathbb {R} ^{2}$.
• Вещественная и мнимая части: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\beta$. Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)\,\mathrm {i}$. Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\mathrm {Im} (a)^{2}}}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых $a\in \mathbb {C}$ выполнено $a\,{\overline {a}}=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$, то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {C}$ — поле).
  (2) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {a}}\,{\overline {b}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — автоморфизм поля $\,\mathbb {C}$).
  (3) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
• Единичная окружность в $\mathbb {C}$: $\mathrm {S} ^{1}\!=\{g\in \mathbb {C} \mid |g|=1\}<\mathbb {C} ^{\times }$. Экспонента от комплексного числа $a$: $\mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты.
  (1) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $\mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\cdot \mathrm {e} ^{b}$, а также $\mathrm e^0\!=1$ и $\mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}$.
  (2) Для любых $\varphi \in \mathbb {R}$ выполнено $\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }\!=\cos \varphi +\sin \varphi \,\mathrm {i}$.
  (3) $\mathrm S^1\!=\{\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\}$ и $\,\mathrm S^1\!\cong\mathbb R^+\!/2\pi\,\mathbb Z$, а также $\,\mathbb C^\times\!=\{r\,g\mid r\in\mathbb R_{>0},\,g\in\mathrm S^1\}$ и $\,\mathbb C^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^1$.

• Тригонометрич. форма компл. числа: $r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}=r\,(\cos\varphi+\sin\varphi\,\mathrm i)$. Утверждение: $\forall\,a\in\mathbb C\;\bigl(a^n\!=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\,\Leftrightarrow\;\exists\,k\in\{0,\ldots,n-1\}\;\bigl(a=\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi k}n\mathrm i}\bigr)\bigr)$.
• Группа корней $n$-й степени из $1$: $\{a\in \mathbb {C} \mid a^{n}\!=1\}=\{\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi k}{n}}\mathrm {i} }\!\mid k\in \{0,\ldots ,n-1\}\}=\langle \mathrm {e} ^{{\frac {2\pi }{n}}\mathrm {i} }\rangle \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$. Первообразные корни $n$-й степени из $1$.
• Формула Кардано (без доказательства). Алгебраическая замкнутость поля $\mathbb {C}$: пусть $f\in\mathbb C[x]\!\setminus\!\mathbb C^\times$; тогда $\exists \,a\in \mathbb {C} \;{\bigl (}f(a)=0{\bigr )}$ (без доказательства).
• Теорема о неприводимых многочленах над полями R и C.
  (1) Пусть $f\in \mathbb {R} [x]$, $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$; тогда $f(\alpha+\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,f(\alpha-\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,(x^2-2\alpha\,x+\alpha^2+\beta^2)\,|\,f$.
  (2) $\mathrm {Irr} (\mathbb {R} [x])=\{a\,x+b\mid a,b\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0\}\cup \{a\,x^{2}+b\,x+c\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,\,b^{2}-4a\,c<0\}$ и $\,\mathrm{Irr}(\mathbb C[x])=\{a\,x+b\mid a,b\in\mathbb C,\,a\ne0\}$.

1.3.4  Тело кватернионов

• Кольцо кватернионов: $\mathbb {H} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} \mid \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R} \}$, где $\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=-1$, а также $\mathrm {i} \,\mathrm {j} =-\mathrm {j} \,\mathrm {i} =\mathrm {k}$, $\mathrm {j} \,\mathrm {k} =-\mathrm {k} \,\mathrm {j} =\mathrm {i}$, $\mathrm {k} \,\mathrm {i} =-\mathrm {i} \,\mathrm {k} =\mathrm {j}$.
• Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k}$.
• Чистые кватернионы: $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }=\{v\in \mathbb {H} \mid \mathrm {Re} (v)=0\}$. Скалярное произв.-е, векторное произв.-е и норма в $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$: $(v\!\mid \!v')$, $v\times v'$ и $\|v\|=\!{\sqrt {(v\!\mid \!v)}}$.
• Лемма об умножении кватернионов. Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)$. Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\|\mathrm {Im} (a)\|^{2}}}$. Утверждение: $v\in\mathbb H_\mathrm{vect}\Leftrightarrow\,\overline v=-v$.

  Лемма об умножении кватернионов. Для любых $\alpha ,\alpha '\in \mathbb {R}$ и $v,v'\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ выполнено $(\alpha +v)(\alpha '+v')=(\alpha \alpha '-(v\!\mid \!v'))+(\alpha v'+\alpha 'v+v\times v')$.

• Теорема о свойствах кватернионов.
  (1) Для любых $a\in \mathbb {H}$ выполнено $a\,{\overline {a}}={\overline {a}}\,a=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$, то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {H}$ — тело).
  (2) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {b}}\,{\overline {a}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathbb {H} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — антиавтоморфизм тела $\,\mathbb {H}$).
  (3) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
• Трехмерная сфера: $\mathrm {S} ^{3}\!=\{g\in \mathbb {H} \mid |g|=1\}\triangleleft \mathbb {H} ^{\times }$. Утверждение: пусть $g\in \mathrm {S} ^{3}$; тогда ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }\!&\to \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }\\v&\mapsto g\,v\,g^{-1}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ опр.-но корректно и явл.-ся изометрией.
• Изометрии в $\mathbb {C}$: $\mathrm{Isom}(\mathbb C)=\bigl\{\bigl(v\mapsto g\,v+v_0\bigr)\mid g\in\mathrm S^1,\,v_0\in\mathbb C\bigr\}\cup\bigl\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v+v_0\bigr)\mid g\in\mathrm S^1,\,v_0\in\mathbb C\bigr\}$ (доказательство только включения $\supseteq$).
• Изометрии в $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$: $\mathrm{Isom}(\mathbb H_\mathrm{vect})=\bigl\{\bigl(v\mapsto g\,v\,g^{-1}\!+v_0\bigr)\mid g\in\mathrm S^3,\,v_0\in\mathbb H_\mathrm{vect}\bigr\}\cup\bigl\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v\,g^{-1}\!+v_0\bigr)\mid g\in\mathrm S^3,\,v_0\in\mathbb H_\mathrm{vect}\bigr\}$ (док.-во только $\supseteq$).