|
|
Строка 121: |
Строка 121: |
| <td>скорость в точке<br>гладкого пути<br>на многообразии</td></tr> | | <td>скорость в точке<br>гладкого пути<br>на многообразии</td></tr> |
| <tr align="center"><td>ковектор <math>\lambda</math> —<br>элемент пространства <math>V^*</math><br>(тензор типа <math>(0,1)</math> над <math>V</math>)</td> | | <tr align="center"><td>ковектор <math>\lambda</math> —<br>элемент пространства <math>V^*</math><br>(тензор типа <math>(0,1)</math> над <math>V</math>)</td> |
− | <td><math>\begin{align}V^*\!&\to{}^n\!K\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td> | + | <td><math>\begin{align}V^*\!&\to K_n\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td> |
| <td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr> | | <td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr> |
| <tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l\Bigr)</math></td></tr> | | <tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l\Bigr)</math></td></tr> |
Версия 21:00, 14 декабря 2016
Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности
| | | | | | | | | | | | Пропасть, зияющая между нашим повседневным мышлением и нормами математического рассуждения, должна оставаться неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математика выполняла свои функции. | Ю.И. Манин. Математика как метафора |
|
Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных
(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства.
- Глобальная -мерная система координат на множестве — биекция между множествами и .
- Глобальные -мерные системы координат и на множестве инерциально согласованы в смысле СТО, если замена координат —
преобразование Пуанкаре (композиция специального ортохронного преобразования Лоренца и сдвига), то есть существуют такие
и , что для любых выполнено .
- Лемма 1. Отношение инерциальной согласованности в смысле СТО является отношением эквивалентности.
- Пространство событий в СТО — множество , на котором зафиксирован класс инерциальной согласованности в смысле СТО глобальных
-мерных систем координат.
- Инерциальная система координат на пространстве событий в СТО — глобальная -мерная система координат, принадлежащая классу .
Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура -мерного многообразия: на -мерном
многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,
разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные
конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,
тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких
замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для
пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом
пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции.
Зафиксируем пространство событий в СТО; его элементы для простоты будем называть точками (а не событиями).
- Лемма 2. Для любых , и выполнено (здесь — столбец координат вектора относительно базиса
пространства , определяемого инерциальной системой координат на ).
- Пусть и ; сумма точки и касательного вектора — точка , где .
- Лемма 3. Определение суммы точки и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат на .
- Пусть ; скалярное произведение на касательном пространстве — невырожденная симметричная билинейная форма
, где .
- Лемма 4. Определение скалярного произведения на касательном пространстве не зависит от выбора инерциальной системы координат на .
- Пусть , , и ; барицентрическая комбинация точек с
коэффициентами — точка , где .
- Лемма 5. Определение барицентрической комбинации точек не зависит от выбора инерциальной системы координат на .
- Пусть ; прямая, проходящая через точки и , — множество .
- Пусть ; разность точек и — скорость в нуле пути (это элемент касательного пространства ).
- Лемма 6. Для любых и выполнено .
- Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах. Пусть ; тогда
(1) отображения и суть взаимно обратные биекции;
(2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.
Доказанные утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:
структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством и структурой псевдориманова многообразия сигнатуры , а также
на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.
2.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат гомоморфизма: . Покомпонентная запись (если — эндоморфизм): .
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике |
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
матричная запись: |
покомпонентная запись:
|
преобразование базиса: |
|
скорость в точке гладкого пути на многообразии |
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
матричная запись: |
покомпонентная запись:
|
преобразование базиса: |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии |
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
матричная запись: |
покомпонентная запись:
|
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |