Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 71: | Строка 71: | ||
<h5>3.6.1 Многообразия с глобальной гладкой структурой</h5> | <h5>3.6.1 Многообразия с глобальной гладкой структурой</h5> | ||
<ul><li>Глобальная <math>n</math>-мерная система координат на <math>M</math> — биекция между <math>M</math> и открытым подмн.-вом в <math>\mathbb R^n</math>; соглашение: глобальность далее подразумевается. | <ul><li>Глобальная <math>n</math>-мерная система координат на <math>M</math> — биекция между <math>M</math> и открытым подмн.-вом в <math>\mathbb R^n</math>; соглашение: глобальность далее подразумевается. | ||
− | <li>Отнош.-е согласованности: <math>\alpha\circ | + | <li>Отнош.-е согласованности: <math>\tilde\alpha\circ\alpha^{-1}</math> — диффеоморфизм; <math>n</math>-мерная гладкая структура — класс согласованности <math>n</math>-мерных систем координат (атлас). |
<li>Множество гладких отображений (морфизмов): <math>\mathrm C^\infty\!(M,N)=\{\varphi\in\mathrm{Map}(M,N)\mid\exists\,\alpha\in\mathcal A_M,\,\beta\in\mathcal B_N\;\bigl(\beta\circ\varphi\circ\alpha^{-1}\!\in\mathrm C^\infty\!(\mathrm{Codom}\,\alpha,\mathrm{Codom}\,\beta)\bigr)\}</math>. | <li>Множество гладких отображений (морфизмов): <math>\mathrm C^\infty\!(M,N)=\{\varphi\in\mathrm{Map}(M,N)\mid\exists\,\alpha\in\mathcal A_M,\,\beta\in\mathcal B_N\;\bigl(\beta\circ\varphi\circ\alpha^{-1}\!\in\mathrm C^\infty\!(\mathrm{Codom}\,\alpha,\mathrm{Codom}\,\beta)\bigr)\}</math>. | ||
− | <li>Обозначения: <math>\mathrm d\varphi(m)_\alpha^\beta=\mathrm d(\beta\circ\varphi\circ\alpha^{-1})(\alpha(m))</math> и <math>\mathrm c_ | + | <li>Обозначения: <math>\mathrm d\varphi(m)_\alpha^\beta=\mathrm d(\beta\circ\varphi\circ\alpha^{-1})(\alpha(m))</math> и <math>\mathrm c_\alpha^\tilde\alpha(m)=\mathrm d(\tilde\alpha\circ\alpha^{-1})(\alpha(m))</math>, <math>\alpha(m)=(x^1(m),\ldots,x^n(m))</math> (тогда <math>\mathrm c_\alpha^\tilde\alpha(m)_i^\tilde i=\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^i}(\alpha(m))</math>). |
<li>Лемма о замене координат. Мн.-во <math>\mathrm{Paths}(M)_m\!=\bigcup_U\,\{p\in\mathrm C^\infty\!(U,M)\mid p(0)=m\}</math> (<math>U</math> — откр. в <math>\mathbb R</math>, <math>0\in U</math>) и <math>\mathbb R</math>-алгебра <math>\mathrm{Func}(M)=\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>. | <li>Лемма о замене координат. Мн.-во <math>\mathrm{Paths}(M)_m\!=\bigcup_U\,\{p\in\mathrm C^\infty\!(U,M)\mid p(0)=m\}</math> (<math>U</math> — откр. в <math>\mathbb R</math>, <math>0\in U</math>) и <math>\mathbb R</math>-алгебра <math>\mathrm{Func}(M)=\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>. | ||
<p><u>Лемма о замене координат.</u> <i>Пусть <math>M,N</math> — многообразия (с глобальной гладкой структурой), <math>m\in M</math>, <math>\varphi\in\mathrm C^\infty\!(M,N)</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>, <math>\beta,\tilde\beta\in\mathcal B_N</math>;<br>тогда <math>\,\mathrm d\varphi(m)_\tilde\alpha^\tilde\beta=\mathrm c_\beta^\tilde\beta(\varphi(m))\cdot\mathrm d\varphi(m)_\alpha^\beta\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math> (это матричная запись).</i></p> | <p><u>Лемма о замене координат.</u> <i>Пусть <math>M,N</math> — многообразия (с глобальной гладкой структурой), <math>m\in M</math>, <math>\varphi\in\mathrm C^\infty\!(M,N)</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>, <math>\beta,\tilde\beta\in\mathcal B_N</math>;<br>тогда <math>\,\mathrm d\varphi(m)_\tilde\alpha^\tilde\beta=\mathrm c_\beta^\tilde\beta(\varphi(m))\cdot\mathrm d\varphi(m)_\alpha^\beta\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math> (это матричная запись).</i></p> | ||
Строка 82: | Строка 82: | ||
<h5>3.6.2 Касательное пространство и кокасательное пространство</h5> | <h5>3.6.2 Касательное пространство и кокасательное пространство</h5> | ||
<ul><li>Отношения <math>\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math> и <math>\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>: <math>p\;\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\;\breve p\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(p'(0)^\alpha\!=\breve p'(0)^\alpha\bigr)</math> и <math>f\;\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\;\breve f\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\alpha\bigr)\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(\mathrm d(f-\breve f)(m)_\alpha\!=0\bigr)</math>. | <ul><li>Отношения <math>\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math> и <math>\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>: <math>p\;\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\;\breve p\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(p'(0)^\alpha\!=\breve p'(0)^\alpha\bigr)</math> и <math>f\;\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\;\breve f\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\alpha\bigr)\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(\mathrm d(f-\breve f)(m)_\alpha\!=0\bigr)</math>. | ||
− | <li> | + | <li>Скорость пути: <math>p'(0)=\mathrm{cl}\,_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim(p)\in\mathrm{Paths}(M)_m/\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. Касательное пространство в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T_mM=\mathrm{Paths}(M)_m/\underset{\scriptscriptstyle m}\sim=\{p'(0)\mid p\in\mathrm{Paths}(M)_m\}</math>. |
− | + | <li>Дифференциал функции: <math>\mathrm df(m)=\mathrm{cl}\,_\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim(f)\in\mathrm{Func}(M)/\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. Кокасател. пр.-во в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T^*_mM=\mathrm{Func}(M)/\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim=\mathrm{Func}(M)/\mathrm{Ker}(f\mapsto\mathrm df(m)_\alpha)</math>. | |
+ | <li>Базисные векторы и ковекторы, опред. сист. координат <math>\alpha</math>: <math>\frac\partial{\partial x^i}(m)=\bigl(\tau\mapsto\alpha^{-1}(\alpha(m)+\tau\,\mathrm{se}_i)\bigr)'(0)\in\mathrm T_mM</math> и <math>\mathrm dx^j(m)=\mathrm d(\mathrm{se}^j\!\cdot\alpha)(m)\in\mathrm T^*_mM</math>. | ||
<li><u>Теорема о касательном пространстве.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие (с г. г. с.), <math>m\in M</math> и <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim M</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R^n\\p'(0)&\mapsto p'(0)^\alpha\!\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является биекцией; определим на множестве <math>\,\mathrm T_mM</math> структуру векторного<br>пространства над <math>\,\mathbb R</math> так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом; тогда эта структура не зависит от выбора системы координат <math>\alpha</math>;<br>(2) для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> образ вектора <math>\frac\partial{\partial x^i}(m)</math> под действием изоморфизма из пункта (1) есть столбец <math>\,\mathrm{se}_i</math> (и, значит, множество<br><math>\Bigl\{\frac\partial{\partial x^1}(m),\ldots,\frac\partial{\partial x^n}(m)\Bigr\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm T_mM</math>);<br>(3) для любых <math>p\in\mathrm{Paths}(M)_m</math> выполнено <math>p'(0)=\sum_{i=1}^np'(0)^i\frac\partial{\partial x^i}(m)</math> (это формула разложения по базису в <math>\,\mathrm T_mM</math>);<br>(4) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math> выполнено <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\alpha(m))\,v^k\Bigr)</math> (это формула замены координат в <math>\,\mathrm T_mM</math>);<br>(5) <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\frac\partial{\partial x^\tilde i}(m)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^k}{\partial x^\tilde i}(\tilde\alpha(m))\,\frac\partial{\partial x^k}(m)\Bigr)</math> (это формула замены базиса в <math>\,\mathrm T_mM</math>).</i> | <li><u>Теорема о касательном пространстве.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие (с г. г. с.), <math>m\in M</math> и <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim M</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R^n\\p'(0)&\mapsto p'(0)^\alpha\!\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является биекцией; определим на множестве <math>\,\mathrm T_mM</math> структуру векторного<br>пространства над <math>\,\mathbb R</math> так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом; тогда эта структура не зависит от выбора системы координат <math>\alpha</math>;<br>(2) для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> образ вектора <math>\frac\partial{\partial x^i}(m)</math> под действием изоморфизма из пункта (1) есть столбец <math>\,\mathrm{se}_i</math> (и, значит, множество<br><math>\Bigl\{\frac\partial{\partial x^1}(m),\ldots,\frac\partial{\partial x^n}(m)\Bigr\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm T_mM</math>);<br>(3) для любых <math>p\in\mathrm{Paths}(M)_m</math> выполнено <math>p'(0)=\sum_{i=1}^np'(0)^i\frac\partial{\partial x^i}(m)</math> (это формула разложения по базису в <math>\,\mathrm T_mM</math>);<br>(4) для любых <math>v\in\mathrm T_mM</math> выполнено <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\alpha(m))\,v^k\Bigr)</math> (это формула замены координат в <math>\,\mathrm T_mM</math>);<br>(5) <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\frac\partial{\partial x^\tilde i}(m)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^k}{\partial x^\tilde i}(\tilde\alpha(m))\,\frac\partial{\partial x^k}(m)\Bigr)</math> (это формула замены базиса в <math>\,\mathrm T_mM</math>).</i> | ||
<li><u>Теорема о кокасательном пространстве.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие (с г. г. с.), <math>m\in M</math> и <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim M</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T^*_mM&\to\mathbb R_n\\\mathrm df(m)&\mapsto\mathrm df(m)_\alpha\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств;<br>(2) для любых <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math> образ ковектора <math>\mathrm dx^j(m)</math> под действием изоморфизма из пункта (1) есть строка <math>\,\mathrm{se}^j</math> (и, значит, множество<br><math>\{\mathrm dx^1(m),\ldots,\mathrm dx^n(m)\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm T^*_mM</math>);<br>(3) для любых <math>f\in\mathrm{Func}(M)</math> выполнено <math>\mathrm df(m)=\sum_{j=1}^n\partial_jf(m)\,\mathrm dx^j(m)</math> (это формула разложения по базису в <math>\,\mathrm T^*_mM</math>);<br>(4) для любых <math>\lambda\in\mathrm T^*_mM</math> выполнено <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}(\tilde\alpha(m))\,\lambda_l\Bigr)</math> (это формула замены координат в <math>\,\mathrm T^*_mM</math>);<br>(5) <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\mathrm dx^\tilde j(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^\tilde j}{\partial x^l}(\alpha(m))\,\mathrm dx^l(m)\Bigr)</math> (это формула замены базиса в <math>\,\mathrm T^*_mM</math>).</i> | <li><u>Теорема о кокасательном пространстве.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие (с г. г. с.), <math>m\in M</math> и <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim M</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T^*_mM&\to\mathbb R_n\\\mathrm df(m)&\mapsto\mathrm df(m)_\alpha\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств;<br>(2) для любых <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math> образ ковектора <math>\mathrm dx^j(m)</math> под действием изоморфизма из пункта (1) есть строка <math>\,\mathrm{se}^j</math> (и, значит, множество<br><math>\{\mathrm dx^1(m),\ldots,\mathrm dx^n(m)\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm T^*_mM</math>);<br>(3) для любых <math>f\in\mathrm{Func}(M)</math> выполнено <math>\mathrm df(m)=\sum_{j=1}^n\partial_jf(m)\,\mathrm dx^j(m)</math> (это формула разложения по базису в <math>\,\mathrm T^*_mM</math>);<br>(4) для любых <math>\lambda\in\mathrm T^*_mM</math> выполнено <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}(\tilde\alpha(m))\,\lambda_l\Bigr)</math> (это формула замены координат в <math>\,\mathrm T^*_mM</math>);<br>(5) <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\mathrm dx^\tilde j(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^\tilde j}{\partial x^l}(\alpha(m))\,\mathrm dx^l(m)\Bigr)</math> (это формула замены базиса в <math>\,\mathrm T^*_mM</math>).</i> |
Версия 03:50, 14 декабря 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе
образуют базис пространства , а также, если , то . - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: пусть и ; тогда — изоморфизм вект. пространств.
- Тензорная алгебра: — ассоциативная -алгебра с (в опред. умножения используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
число ; тогда множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено (и, значит,
линейное отображение, заданное на базисе по правилу , — изоморфизм алгебр с ). - Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Формула замены коорд. тензора: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: , .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр. над ,
, ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, и ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов. Пусть — поле, , — вект. пр. над , ; тогда
(1) и для любых и выполнено ;
(2) и для любых и выполнено . - Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. тензор в координатах: . Антисимметрич. тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное пространство над
полем , , и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) множество — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа суть числа ,
упорядоченные по неубыванию;
(2) множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено , где
числа суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.5.3 Поливектор ориентации и оператор Ходжа
- Билин. формы и : и .
- Лемма о продолжении билинейных форм на тензоры. Пусть — поле, , — вект. пространство над , , ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) если и , то для любых таких , что , выполнено
(и, значит, если форма невырождена, то и форма невырождена). - Отнош.-е одинаковой ориентированности: . Утверждение: . Ориентация: элемент мн.-ва .
- Поливектор ориентации в псевдоевклидовом простр.-ве (): элемент мн.-ва ().
- Теорема о поливекторе ориентации. Пусть — векторное пространство над полем , , и форма невырождена
(то есть — псевдоевклидово пространство); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено и ;
(2) отображение определено корректно и является биекцией;
(3) если множество и поливектор соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых
выполнено (в частности, если , то ). - Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: ; если , то .
- Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ; вект. произвед.-е: .
- Теорема об операторе Ходжа. Пусть — векторное пространство над , , , форма невырождена и — поливектор
ориентации в (то есть — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через число ; пусть ; тогда
(1) для любых поливектор однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:
и ;
(2) если , то для любых таких , что , выполнено
, где числа суть числа из множества ,
упорядоченные по возрастанию (в частности, и );
(3) оператор — изоморфизм векторных пространств, и для любых выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено и .
3.6 Алгебраические основы дифференциальной геометрии
3.6.1 Многообразия с глобальной гладкой структурой
- Глобальная -мерная система координат на — биекция между и открытым подмн.-вом в ; соглашение: глобальность далее подразумевается.
- Отнош.-е согласованности: — диффеоморфизм; -мерная гладкая структура — класс согласованности -мерных систем координат (атлас).
- Множество гладких отображений (морфизмов): .
- Обозначения: и , (тогда ).
- Лемма о замене координат. Мн.-во ( — откр. в , ) и -алгебра .
Лемма о замене координат. Пусть — многообразия (с глобальной гладкой структурой), , и , ;
тогда (это матричная запись). - Скорость в координатах (, где — откр. в , ): и .
- Дифференциал в координатах (): и .
- Теорема о замене координат для скорости пути и дифференциала функции. Пусть — многообразие (с г. г. с.), , ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
(2) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
(3) и .
3.6.2 Касательное пространство и кокасательное пространство
- Отношения и : и .
- Скорость пути: . Касательное пространство в точке : .
- Дифференциал функции: . Кокасател. пр.-во в точке : .
- Базисные векторы и ковекторы, опред. сист. координат : и .
- Теорема о касательном пространстве. Пусть — многообразие (с г. г. с.), и ; обозначим через число ; тогда
(1) отображение определено корректно и является биекцией; определим на множестве структуру векторного
пространства над так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом; тогда эта структура не зависит от выбора системы координат ;
(2) для любых образ вектора под действием изоморфизма из пункта (1) есть столбец (и, значит, множество
— базис пространства );
(3) для любых выполнено (это формула разложения по базису в );
(4) для любых выполнено (это формула замены координат в );
(5) (это формула замены базиса в ). - Теорема о кокасательном пространстве. Пусть — многообразие (с г. г. с.), и ; обозначим через число ; тогда
(1) отображение определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств;
(2) для любых образ ковектора под действием изоморфизма из пункта (1) есть строка (и, значит, множество
— базис пространства );
(3) для любых выполнено (это формула разложения по базису в );
(4) для любых выполнено (это формула замены координат в );
(5) (это формула замены базиса в ). - Теорема о двойственности между касательным и кокасательным пространствами. Пусть — многообразие (с г. г. с.) и ; тогда
(1) для любых , и выполнено и ;
(2) для любых и , выбирая такие путь и функцию , что и , и обозначая
через число , имеем следующий факт: число не зависит от выбора пути и функции ;
(3) отображение определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств.
3.6.3 Тензорные расслоения и тензорные поля
- Тензорные расслоения: , и ; отображение проекции на : .
- Касат.-ное и кокасат.-ное расслоения: и . Тензорные поля:
(неформально: тензорное поле типа на — поле тензоров типа в касательных пространствах к , гладко зависящих от точки). - Симметрич. и внешние -формы: и
(неформально: симметрич.внешняя -форма — поле симметрич.антисимметрич. тензоров типа в касат. пр.-вах, гладко зависящих от точки). - Векторные, ковекторные, тензорные поля в коорд.: , , .
- Формула замены координат тензорного поля типа : .
- Дифференциал внешней -формы: — внешняя -форма.
- Псевдориманово многообразие сигнатуры — многообразие с симметрич. -формой сигнатуры (форма имеет сигн.-у в каждой точке).
- Градиент и лапласиан функции: и . Дивергенция и ротор векторного поля: и .
(Опускание индекса, подъем индекса и оператор Ходжа на : , и .)