Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 96: | Строка 96: | ||
<li>Дифференциал внешней <math>k</math>-формы: <math>\mathrm d\Bigl(\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}\!\Bigr)=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\mathrm d\omega_{j_1,\ldots,j_k}\!\wedge\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}</math> — внешняя <math>(k+1)</math>-форма. | <li>Дифференциал внешней <math>k</math>-формы: <math>\mathrm d\Bigl(\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\omega_{j_1,\ldots,j_k}\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}\!\Bigr)=\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\mathrm d\omega_{j_1,\ldots,j_k}\!\wedge\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}</math> — внешняя <math>(k+1)</math>-форма. | ||
<li>Псевдориманово многообразие сигнатуры <math>(p,q)</math> — многообразие с симметрич. <math>2</math>-формой сигнатуры <math>(p,q)</math> (форма имеет сигн.-у <math>(p,q)</math> в каждой точке). | <li>Псевдориманово многообразие сигнатуры <math>(p,q)</math> — многообразие с симметрич. <math>2</math>-формой сигнатуры <math>(p,q)</math> (форма имеет сигн.-у <math>(p,q)</math> в каждой точке). | ||
− | <li>Градиент и лапласиан функции: <math>\nabla f={\uparrow^\sigma}(\mathrm df)</math> и <math>\Delta f=*\,\mathrm d\,{*}\,\mathrm df</math>. Дивергенция и ротор векторного поля: <math>\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,({\downarrow_\sigma}v)</math> и <math>\mathrm{rot}\,v={\uparrow^\sigma}(*\,\mathrm d({\downarrow_\sigma}v))</math>.<br>(Опускание индекса, подъем индекса и оператор Ходжа на <math>M</math>: <math>({\downarrow_\sigma}v)(m)={\downarrow_{\sigma(m)}}(v(m))</math>, <math>({\uparrow^\sigma}\lambda)(m)={\uparrow^{\sigma(m)}}(\lambda(m))</math> и <math>(*\ | + | <li>Градиент и лапласиан функции: <math>\nabla f={\uparrow^\sigma}(\mathrm df)</math> и <math>\Delta f=*\,\mathrm d\,{*}\,\mathrm df</math>. Дивергенция и ротор векторного поля: <math>\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,({\downarrow_\sigma}v)</math> и <math>\mathrm{rot}\,v={\uparrow^\sigma}(*\,\mathrm d({\downarrow_\sigma}v))</math>.<br>(Опускание индекса, подъем индекса и оператор Ходжа на <math>M</math>: <math>({\downarrow_\sigma}v)(m)={\downarrow_{\sigma(m)}}(v(m))</math>, <math>({\uparrow^\sigma}\lambda)(m)={\uparrow^{\sigma(m)}}(\lambda(m))</math> и <math>(*\,\omega)(m)=*(\omega(m))</math>.)</ul> |
Версия 16:00, 11 декабря 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе
образуют базис пространства , а также, если , то . - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: пусть и ; тогда — изоморфизм вект. пространств.
- Тензорная алгебра: — ассоциативная -алгебра с (в опред. умножения используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
число ; тогда множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено (и, значит,
линейное отображение, заданное на базисе по правилу , — изоморфизм алгебр с ). - Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Преобразование координат: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: , .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр. над ,
, ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, и ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов. Пусть — поле, , — вект. пр. над , ; тогда
(1) и для любых и выполнено ;
(2) и для любых и выполнено . - Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. тензор в координатах: . Антисимметрич. тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное пространство над
полем , , и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) множество — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа суть числа ,
упорядоченные по неубыванию;
(2) множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено , где
числа суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.5.3 Поливектор ориентации и оператор Ходжа
- Билин. формы и : и .
- Лемма о продолжении билинейных форм на тензоры. Пусть — поле, , — вект. пространство над , , ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) если и , то для любых таких , что , выполнено
(и, значит, если форма невырождена, то и форма невырождена). - Отнош.-е одинаковой ориентированности: . Утверждение: . Ориентация: элемент мн.-ва .
- Поливектор ориентации в псевдоевклидовом простр.-ве (): элемент мн.-ва ().
- Теорема о поливекторе ориентации. Пусть — векторное пространство над полем , , и форма невырождена
(то есть — псевдоевклидово пространство); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено и ;
(2) отображение определено корректно и является биекцией;
(3) если множество и поливектор соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых
выполнено (в частности, если , то ). - Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: ; если , то .
- Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ; вект. произвед.-е: .
- Теорема об операторе Ходжа. Пусть — векторное пространство над , , , форма невырождена и — поливектор
ориентации в (то есть — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через число ; пусть ; тогда
(1) для любых поливектор однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:
и ;
(2) если , то для любых таких , что , выполнено
, где числа суть числа из множества ,
упорядоченные по возрастанию (в частности, и );
(3) оператор — изоморфизм векторных пространств, и для любых выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено и .
3.6 Алгебраические основы дифференциальной геометрии
3.6.1 Многообразия с глобальной гладкой структурой
- Глобальная -мерная система координат на — биекция между и открытым подмн.-вом в ; соглашение: глобальность далее подразумевается.
- Отнош.-е согласованности: — диффеоморфизм; -мерная гладкая структура — класс согласованности -мерных систем координат (атлас).
- Множество гладких отображений (морфизмов): .
- Обозначения: и , (тогда ).
- Лемма о замене координат. Мн.-во ( — откр. в , ) и -алгебра .
Лемма о замене координат. Пусть — многообразия (с глобальной гладкой структурой), , и , ;
тогда (это матричная запись). - Координаты скорости (, где — откр. в , ): и .
- Координаты дифференциала (): и .
- Теорема о замене координат для скорости пути и дифференциала функции. Пусть — многообразие (с г. г. с.), , ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
(2) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
(3) и .
3.6.2 Касательное пространство и кокасательное пространство
- Отношения и : и .
- Касательное пространство: . Скорость: ; обозначение: .
- Кокасател. пр.-во: . Дифференциал: ; .
- Теорема о касательном пространстве. Пусть — многообразие (с г. г. с.), и ; обозначим через число ; тогда
(1) отображение определено корректно и является биекцией; определим на множестве структуру векторного
пространства над так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом; тогда эта структура не зависит от выбора системы координат ;
(2) для любых образ вектора под действием изоморфизма из пункта (1) есть столбец (и, значит, множество
— базис пространства );
(3) для любых выполнено (это формула разложения по базису в );
(4) для любых выполнено (это формула замены координат в );
(5) (это формула замены базиса в ). - Теорема о кокасательном пространстве. Пусть — многообразие (с г. г. с.), и ; обозначим через число ; тогда
(1) отображение определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств;
(2) для любых образ ковектора под действием изоморфизма из пункта (1) есть строка (и, значит, множество
— базис пространства );
(3) для любых выполнено (это формула разложения по базису в );
(4) для любых выполнено (это формула замены координат в );
(5) (это формула замены базиса в ). - Теорема о двойственности между касательным и кокасательным пространствами. Пусть — многообразие (с г. г. с.) и ; тогда
(1) для любых , и выполнено и ;
(2) для любых и , выбирая такие путь и функцию , что и , и обозначая
через число , имеем следующий факт: число не зависит от выбора пути и функции ;
(3) отображение определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств.
3.6.3 Тензорные расслоения и тензорные поля
- Тензорные расслоения: , и ; отображение проекции на : .
- Касат.-ное и кокасат.-ное расслоения: и . Тензорные поля:
(неформально: тензорное поле типа на — поле тензоров типа в касательных пространствах к , гладко зависящих от точки). - Симметрич. и внешние -формы: и
(неформально: симметрич.внешняя -форма — поле симметрич.антисимметрич. тензоров типа в касат. пр.-вах, гладко зависящих от точки). - Векторные, ковекторные, тензорные поля в коорд.: , , .
- Формула замены координат тензорного поля типа : .
- Дифференциал внешней -формы: — внешняя -форма.
- Псевдориманово многообразие сигнатуры — многообразие с симметрич. -формой сигнатуры (форма имеет сигн.-у в каждой точке).
- Градиент и лапласиан функции: и . Дивергенция и ротор векторного поля: и .
(Опускание индекса, подъем индекса и оператор Ходжа на : , и .)