Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 76: | Строка 76: | ||
<li>Лемма о замене координат. Мн.-во <math>\mathrm{Paths}(M)_m\!=\bigcup_U\,\{p\in\mathrm C^\infty\!(U,M)\mid p(0)=m\}</math> (<math>U</math> — откр. в <math>\mathbb R</math>, <math>0\in U</math>) и <math>\mathbb R</math>-алгебра <math>\mathrm{Func}(M)=\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>. | <li>Лемма о замене координат. Мн.-во <math>\mathrm{Paths}(M)_m\!=\bigcup_U\,\{p\in\mathrm C^\infty\!(U,M)\mid p(0)=m\}</math> (<math>U</math> — откр. в <math>\mathbb R</math>, <math>0\in U</math>) и <math>\mathbb R</math>-алгебра <math>\mathrm{Func}(M)=\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>. | ||
<p><u>Лемма о замене координат.</u> <i>Пусть <math>M,N</math> — множества с гладкой структурой, <math>m\in M</math>, <math>\varphi\in\mathrm C^\infty\!(M,N)</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>, <math>\beta,\tilde\beta\in\mathcal B_N</math>; тогда<br><math>\mathrm d\varphi(m)_\tilde\alpha^\tilde\beta=\mathrm c_\beta^\tilde\beta(\varphi(m))\cdot\mathrm d\varphi(m)_\alpha^\beta\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math> (это матричная запись).</i></p> | <p><u>Лемма о замене координат.</u> <i>Пусть <math>M,N</math> — множества с гладкой структурой, <math>m\in M</math>, <math>\varphi\in\mathrm C^\infty\!(M,N)</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>, <math>\beta,\tilde\beta\in\mathcal B_N</math>; тогда<br><math>\mathrm d\varphi(m)_\tilde\alpha^\tilde\beta=\mathrm c_\beta^\tilde\beta(\varphi(m))\cdot\mathrm d\varphi(m)_\alpha^\beta\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math> (это матричная запись).</i></p> | ||
− | <li> | + | <li>Координаты скорости (<math>p\in\mathrm C^\infty\!(U,M)</math>, где <math>U</math> — откр. в <math>\mathbb R</math> и <math>t\in U</math>): <math>p'(t)^\alpha\!=\mathrm dp(t)_{\mathrm{id}_U}^\alpha\!\!=(\alpha\circ p)'(t)\in\mathbb R^n</math> и <math>p'(t)^i=(p'(t)^\alpha)^i=\frac\partial{\partial t}\bigl((\alpha\circ p)^i\bigr)(t)</math>. |
− | <li><u>Теорема о замене координат для | + | <li>Координаты дифференциала (<math>f\in\mathrm{Func}(M)</math>): <math>\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha^{\mathrm{id}_\mathbb R}\!=\mathrm d(f\circ\alpha^{-1})(\alpha(m))\in\mathbb R_n</math> и <math>\mathrm df(m)_j=(\mathrm df(m)_\alpha)_j=\frac\partial{\partial x^j}\bigl(f\circ\alpha^{-1}\bigr)(\alpha(m))</math>. |
+ | <li><u>Теорема о замене координат для скорости пути и дифференциала функции.</u> <i>Пусть <math>M</math> — множество с гладкой структурой, <math>m\in M</math>,<br><math>p\in\mathrm{Paths}(M)_m</math>, <math>f\in\mathrm{Func}(M)</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim M</math>; тогда<br>(1) <math>p'(0)^\tilde\alpha\!=\mathrm c_\alpha^\tilde\alpha(m)\cdot p'(0)^\alpha</math> (это матричная запись) и <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(p'(0)^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial\tilde x^i}{\partial x^k}(\alpha(m))\,p'(0)^k\Bigr)</math> (это покомпонентная запись);<br>(2) <math>\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha\!\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math> (это матричная запись) и <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\mathrm df(m)_\tilde j=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial\tilde x^j}(\tilde\alpha(m))\,\mathrm df(m)_l\Bigr)</math> (это покомпонентная запись);<br>(3) <math>\forall\,\breve p\in\mathrm{Paths}(M)_m\;\bigl(p'(0)^\alpha\!=\breve p'(0)^\alpha\Leftrightarrow\,p'(0)^\tilde\alpha\!=\breve p'(0)^\tilde\alpha\bigr)</math> и <math>\forall\,\breve f\in\mathrm{Func}(M)\;\bigl(\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\alpha\Leftrightarrow\,\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\tilde\alpha\bigr)</math>;<br>(4) <math>f\circ p\in\mathrm C^\infty\!(\mathrm{Dom}\,p,\mathbb R)</math> и <math>(f\circ p)'(0)=\mathrm df(m)_\alpha\!\cdot p'(0)^\alpha</math>.</i></ul> | ||
<h5>3.6.2 Касательное и кокасательное пространства и тензорные поля</h5> | <h5>3.6.2 Касательное и кокасательное пространства и тензорные поля</h5> |
Версия 16:50, 5 декабря 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе
образуют базис пространства , а также, если , то . - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: пусть и ; тогда — изоморфизм вект. пространств.
- Тензорная алгебра: — ассоциативная -алгебра с (в опред. умножения используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
число ; тогда множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено (и, значит,
линейное отображение, заданное на базисе по правилу , — изоморфизм алгебр с ). - Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Преобразование координат: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: , .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр. над ,
, ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, и ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов. Пусть — поле, , — вект. пр. над , ; тогда
(1) и для любых и выполнено ;
(2) и для любых и выполнено . - Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. тензор в координатах: . Антисимметрич. тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное пространство над
полем , , и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) множество — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа суть числа ,
упорядоченные по неубыванию;
(2) множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено , где
числа суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.5.3 Поливектор ориентации и оператор Ходжа
- Билин. формы и : и .
- Лемма о продолжении билинейных форм на тензоры. Пусть — поле, , — вект. пространство над , , ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) если и , то для любых таких , что , выполнено
(и, значит, если форма невырождена, то и форма невырождена). - Отнош.-е одинаковой ориентированности: . Утверждение: . Ориентация: элемент мн.-ва .
- Поливектор ориентации в псевдоевклидовом простр.-ве (): элемент мн.-ва ().
- Теорема о поливекторе ориентации. Пусть — векторное пространство над полем , , и форма невырождена
(то есть — псевдоевклидово пространство); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено и ;
(2) отображение определено корректно и является биекцией;
(3) если множество и поливектор соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых
выполнено (в частности, если , то ). - Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: ; если , то .
- Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ; вект. произвед.-е: .
- Теорема об операторе Ходжа. Пусть — векторное пространство над полем , , , форма невырождена и
— поливектор ориентации в (то есть — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и поливектор однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:
и ;
(2) если , то для любых таких , что , выполнено
, где числа суть числа из множества ,
упорядоченные по возрастанию (в частности, и );
(3) оператор — изоморфизм векторных пространств, и для любых и выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено и .
3.6 Алгебраические основы дифференциальной геометрии
3.6.1 Гладкие структуры
- Глобальная -мерная система координат на — биекция между и открытым подмн.-вом в ; соглашение: глобальность далее подразумевается.
- Отнош.-е согласованности: — диффеоморфизм; -мерная гладкая структура на — класс согласованности -мерных систем коорд. на .
- Множество гладких отображений (морфизмов): .
- Обозначения: и , (тогда ).
- Лемма о замене координат. Мн.-во ( — откр. в , ) и -алгебра .
Лемма о замене координат. Пусть — множества с гладкой структурой, , и , ; тогда
(это матричная запись). - Координаты скорости (, где — откр. в и ): и .
- Координаты дифференциала (): и .
- Теорема о замене координат для скорости пути и дифференциала функции. Пусть — множество с гладкой структурой, ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
(2) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
(3) и ;
(4) и .
3.6.2 Касательное и кокасательное пространства и тензорные поля
- Отношения и : и .
- Касательное пространство: . Скорость: ; обозначение: .
- Кокасател. пр.-во: . Дифференциал: ; .
- Теоремы о касательном и кокасательном пространствах. Утверждение: — изоморфизм вект. пространств.
Теорема о касательном пространстве. Пусть — множество с гладкой структурой, и ; обозначим через число ; тогда
(1) отображение определено корректно и является биекцией; определим на множестве структуру векторного
пространства так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом; тогда эта структура не зависит от выбора системы координат ;
(2) для любых образ вектора под действием изоморфизма из пункта (1) есть столбец (и, значит, множество
— базис пространства );
(3) для любых выполнено (это формула разложения по базису в );
(4) для любых выполнено (это формула замены координат в );
(5) (это формула замены базиса в ).Теорема о кокасательном пространстве. Пусть — множество с гладкой структурой, , ; обозначим через число ; тогда
(1) отображение определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств;
(2) для любых образ ковектора под действием изоморфизма из пункта (1) есть строка (и, значит, множество
— базис пространства );
(3) для любых выполнено (это формула разложения по базису в );
(4) для любых выполнено (это формула замены координат в );
(5) (это формула замены базиса в ). - Тензорное поле типа на — поле тензоров типа в касательных пр.-вах к (элементов ), «гладко зависящих» от точки.
- Симметричнаявнешняя -форма — поле симметрич.антисимметрич. тензоров типа в касательных пр.-вах, «гладко зависящих» от точки.
- Примеры: — векторное поле, — ковекторное поле, — внешняя -форма.