Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 59: Строка 59:
 
<h3>1.5&nbsp; Группы (часть 2)</h3>
 
<h3>1.5&nbsp; Группы (часть 2)</h3>
 
<h5>1.5.1&nbsp; Симметрические группы</h5>
 
<h5>1.5.1&nbsp; Симметрические группы</h5>
<ul><li>Транспозиции: <math>(i\;\,j)</math> (<math>i,j\in\{1,\ldots,n\}</math>, <math>i<j</math>). Фундаментальные транспозиции: <math>(i\;\,i+1)</math> (<math>i\in\{1,\ldots,n-1\}</math>). Число циклов в перест.-ке <math>u</math>: <math>\kappa(u)</math>.
+
<ul><li>Транспозиции: <math>(i\;\,j)</math> (<math>i,j\in\{1,\ldots,n\}</math>, <math>i<j</math>). Фундаментальные транспозиции: <math>(i\;\,i+1)</math> (<math>i\in\{1,\ldots,n-1\}</math>). Число циклов в перестановке <math>u</math>: <math>\kappa(u)</math>.
 
<li>Множество инверсий последовательности <math>f_1,\ldots,f_n</math>: <math>\mathrm{inv}(f_1,\ldots,f_n)=\{(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\!\mid i<j\;\land\,f_i>f_j\}</math>. Лемма о количестве инверсий.
 
<li>Множество инверсий последовательности <math>f_1,\ldots,f_n</math>: <math>\mathrm{inv}(f_1,\ldots,f_n)=\{(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\!\mid i<j\;\land\,f_i>f_j\}</math>. Лемма о количестве инверсий.
<p><u>Лемма о количестве инверсий.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N\!\setminus\!\{1\}</math>, <math>f_1,\ldots,f_n\in\mathbb Z</math> и <math>i\in\{1,\ldots,n-1\}</math>; обозначим через <math>l</math> число <math>|\mathrm{inv}(f_1,\ldots,f_n)|</math>; тогда<br>(1) <math>(f_1,\ldots,f_n)\circ(i\;\,i+1)=(f_1,\ldots,f_{i-1},f_{i+1},f_i,f_{i+1},\ldots,f_n)</math>;<br>(2) если <math>f_i>f_{i+1}</math>, то <math>|\mathrm{inv}((f_1,\ldots,f_n)\circ(i\;\,i+1))|=l-1</math>, а также, если <math>f_i<f_{i+1}</math>, то <math>|\mathrm{inv}((f_1,\ldots,f_n)\circ(i\;\,i+1))|=l+1</math>.</i></p>
+
<p><u>Лемма о количестве инверсий.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N\!\setminus\!\{1\}</math>, <math>f_1,\ldots,f_n\in\mathbb Z</math> и <math>i\in\{1,\ldots,n-1\}</math>; обозначим через <math>l</math> число <math>|\mathrm{inv}(f_1,\ldots,f_n)|</math>; тогда<br>(1) <math>(f_1,\ldots,f_n)\circ(i\;\,i+1)=(f_1,\ldots,f_{i-1},f_{i+1},f_i,f_{i+1},\ldots,f_n)</math>;<br>(2) если <math>f_i>f_{i+1}</math>, то <math>|\mathrm{inv}((f_1,\ldots,f_n)\circ(i\;\,i+1))|=l-1</math>, и, если <math>f_i<f_{i+1}</math>, то <math>|\mathrm{inv}((f_1,\ldots,f_n)\circ(i\;\,i+1))|=l+1</math>.</i></p>
<li><u>Теорема о сортировке пузырьком.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>f_1,\ldots,f_n\in\mathbb Z</math>; обозначим через <math>l</math> число <math>|\mathrm{inv}(f_1,\ldots,f_n)|</math> и обозначим через <math>\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n}</math> числа<br><math>f_1,\ldots,f_n</math>, упорядоченные по неубыванию (то есть <math>|\mathrm{inv}(\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n})|=0</math>); тогда<br>(1) существуют такие фундаментальные транспозиции <math>u_1,\ldots,u_l\in\mathrm S_n</math>, что <math>(f_1,\ldots,f_n)\circ u_1\circ\ldots\circ u_l=(\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n})</math>;<br>(2) для любых <math>l'\!\in\mathbb N_0</math> из существования таких фундаментальных транспозиций <math>u_1,\ldots,u_{l'}\!\in\mathrm S_n</math>, что <math>(f_1,\ldots,f_n)\circ u_1\circ\ldots\circ u_{l'}=(\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n})</math>,<br>следует, что <math>l\le l'</math>, а также, если числа <math>f_1,\ldots,f_n</math> попарно различны, то <math>l\equiv l'\;(\mathrm{mod}\;2)</math>.</i>
+
<li><u>Теорема о сортировке пузырьком.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>f_1,\ldots,f_n\in\mathbb Z</math>; обозначим через <math>l</math> число <math>|\mathrm{inv}(f_1,\ldots,f_n)|</math> и обозначим через <math>\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n}</math> числа<br><math>f_1,\ldots,f_n</math>, упорядоченные по неубыванию (то есть <math>|\mathrm{inv}(\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n})|=0</math>); тогда<br>(1) существуют такие фундаментальные транспозиции <math>u_1,\ldots,u_l\in\mathrm S_n</math>, что <math>(f_1,\ldots,f_n)\circ u_1\circ\ldots\circ u_l=(\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n})</math>;<br>(2) для любых <math>l'\!\in\mathbb N_0</math> из существования таких фундаментальных транспозиций <math>u_1,\ldots,u_{l'}\!\in\mathrm S_n</math>, что <math>(f_1,\ldots,f_n)\circ u_1\circ\ldots\circ u_{l'}=(\hat{f_1},\ldots,\hat{f_n})</math>,<br>следует, что <math>l\le l'</math>, а также что, если числа <math>f_1,\ldots,f_n</math> попарно различны, то <math>l\equiv l'\;(\mathrm{mod}\;2)</math>.</i>
 
<li>Знак посл.-сти: <math>\mathrm{sgn}(f_1,\ldots,f_n)=(-1)^{|\mathrm{inv}(f_1,\ldots,f_n)|}</math>, если <math>f_1,\ldots,f_n</math> попарно различны, <math>\mathrm{sgn}(f_1,\ldots,f_n)=0</math>, если <math>f_1,\ldots,f_n</math> не попарно различны.
 
<li>Знак посл.-сти: <math>\mathrm{sgn}(f_1,\ldots,f_n)=(-1)^{|\mathrm{inv}(f_1,\ldots,f_n)|}</math>, если <math>f_1,\ldots,f_n</math> попарно различны, <math>\mathrm{sgn}(f_1,\ldots,f_n)=0</math>, если <math>f_1,\ldots,f_n</math> не попарно различны.
<li>Знак перестановки: <math>\mathrm{sgn}(u)=\mathrm{sgn}(u(1),\ldots,u(n))</math>.</ul>
+
<li>Знак перестановки: <math>\mathrm{sgn}(u)=\mathrm{sgn}(u(1),\ldots,u(n))</math>. Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: <math>\mathrm A_n=\{u\in\mathrm S_n\!\mid\mathrm{sgn}(u)=1\}\trianglelefteq\mathrm S_n</math>.
 +
<p><u>Теорема о свойствах знака.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm S_n\!&\to\{1,-1\}\\u&\mapsto\mathrm{sgn}(u)\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп и, если <math>n\ge2</math>, то это сюръективный гомоморфизм групп;<br>(2) для любых таких <math>i,j\in\{1,\ldots,n\}</math>, что <math>i<j</math>, выполнено <math>|\mathrm{inv}((i\;\,j))|=2(j-i)-1</math> и <math>\mathrm{sgn}((i\;\,j))=-1</math>;<br>(3) для любых таких <math>m\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1,\ldots,i_m\in\{1,\ldots,n\}</math>, что <math>i_1,\ldots,i_m</math> попарно различны, выполнено <math>\mathrm{sgn}((i_1\;\ldots\;i_m))=(-1)^{m-1}</math>;<br>(4) для любых <math>u\in\mathrm S_n</math> выполнено <math>\mathrm{sgn}(u)=(-1)^{n-\kappa(u)}</math>.</i></p>
 +
<li><u>Теорема о классах сопряженности в симметрических группах.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s,\breve s\in\mathrm S_n</math>; тогда перестановки <math>s</math> и <math>\breve s</math> сопряжены, если и только если<br>(неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок <math>s</math> и <math>\breve s</math> (то есть цикловые типы перестановок <math>s</math> и <math>\breve s</math>) равны.</i></ul>
 +
 
 +
<h5>1.5.2&nbsp; Группы матриц</h5>
 +
<ul><li>Определитель матр. <math>a</math>: <math>\det a=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\cdot\ldots\cdot a^{u(n)}_n</math>. Примеры: <math>\mathrm{det}\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{smallmatrix}\Bigr)\!=\alpha\delta-\beta\gamma</math>, <math>\mathrm{det}\biggl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta&\gamma\\\delta&\varepsilon&\zeta\\\eta&\theta&\iota\end{smallmatrix}\biggr)\!=\alpha\varepsilon\iota+\beta\zeta\eta+\gamma\delta\theta-\gamma\varepsilon\eta-\beta\delta\iota-\alpha\zeta\theta</math>.
 +
<li>Анонс: если <math>R</math> — комм. кольцо, то <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(n,R)&\to R\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению и <math>\mathrm{GL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a\in R^\times\!\}</math>.
 +
<li>Утверждение: <i><math>\det a=\det a^\mathtt T</math>, а также определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков</i>.
 +
<li>Специальная линейн. группа: <math>\mathrm{SL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,R)</math>. Пример: <math>\mathrm{SL}(n,R)=\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{smallmatrix}\Bigr)\!\in\mathrm{Mat}(2,R)\mid\alpha\delta-\beta\gamma=1\}</math>.
 +
<li>Ортогональная группа: <math>\mathrm O(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid a^\mathtt T\!\cdot a=\mathrm{id}_n\}\le\mathrm{GL}(n,R)</math>. Специальная ортогон. группа: <math>\mathrm{SO}(n,R)=\mathrm{SL}(n,R)\cap\mathrm O(n,R)</math>.
 +
<li>Аффинная линейн. группа: <math>\mathrm{AGL}(n,R)=\{\Bigl(\begin{smallmatrix}g&v\\0&1\end{smallmatrix}\Bigr)\!\in\mathrm{Mat}(n+1,R)\mid g\in\mathrm{GL}(n,R),\,v\in R^n\}\le\mathrm{GL}(n+1,R)</math> (рассматриваем блочные матрицы).</ul>

Версия 02:00, 30 ноября 2016

1  Основы алгебры

1.4  Кольца (часть 2)

1.4.1  Делимость в коммутативных кольцах
  • Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце : ; ; .
  • Понятия и в коммут. кольце : и .
  • Нормировка и (если они не ) в кольцах и : — в ; многочл. и нормированы — в .
  • Главный идеал — идеал, порожденный одним элементом. Анонс: в и все идеалы главные. Пример неглавного идеала: идеал в .
  • Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть — коммутативное кольцо и ; тогда
    (1) ; ; ; ;
    (2) если — область целостности, то , а также ;
    (3) ; если идеал главный, то ;
    (4) и, если в кольце все идеалы главные, то .
  • Неприводимые и простые эл.-ты: и .
  • Примеры: и .
  • Теорема о неприводимых и простых элементах. Пусть — коммутативное кольцо; тогда
    (1) если — область целостности, то ;
    (2) если в кольце все идеалы главные, то ;
    (3) для любых следующие два высказывания эквивалентны: и — область целостности;
    (4) если — область целостности, в которой все идеалы главные, то для любых следующие четыре высказывания эквивалентны:
    , , — область целостности, — поле.
1.4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца
  • Евклидова норма: , где и .
  • Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: (); (); , , ().
  • Теорема о евклидовых кольцах. Пусть — евклидово кольцо с евклидовой нормой ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) не существует такой бесконечной последовательности элементов кольца , что для любых выполнено ;
    (3) если , то для любых выполнено ;
    (4) в кольце все идеалы главные, а также .
  • Факториальное кольцо — область целостности с -однозначным разложением любого ненулевого элемента в произведение неприводимых элементов.
  • Примеры: — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если факториально, то и факториально (без доказательства).
  • Теорема о факториальности евклидовых колец.
    (1) Пусть — такая область целостности, что не существует такой бесконечной последовательности элементов кольца , что
    для любых выполнено , и, кроме того, ; тогда — факториальное кольцо.
    (2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (и, значит, кольца и , где — поле, факториальны).
  • Теорема о факториальных кольцах. Пусть — факториальное кольцо и ; разложим и в произведение неприводимых элементов:
    и , где , , попарно неассоциированы и ; тогда
    (1) ; ;
    (2) ; ; .
1.4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
  • Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: и ; на -м шаге и ; тогда .
  • Соотношение Безу для элементов и евкл. кольца: , где и — коэфф.-ты Безу. Нахождение в группе .
  • Расширенный алгоритм Евклида в евкл. кольце: и ; на -м шаге и ; тогда .
  • Китайская теорема об остатках для евклидовых колец. Пусть — евклидово кольцо, , и попарно взаимно
    просты (то есть ); обозначим через элемент кольца ; тогда отображение
    определено корректно и является изоморфизмом колец.
  • Китайская теорема об остатках для целых чисел и многочленов.
    (1) Пусть , и попарно взаимно просты (); обозначим через
    число ; тогда отображение — изоморфизм колец.
    (2) Пусть — поле, , и попарно взаимно просты ();
    обозначим через многочлен ; тогда отображение — изоморфизм колец.
  • Функция Эйлера: . Пример: если , то . Теорема Эйлера и следствие из нее.

    Теорема Эйлера. Пусть , и ; тогда .

    Следствие из теоремы Эйлера. Пусть , , и ; тогда .

  • Теорема о функции Эйлера.
    (1) Пусть и ; тогда .
    (2) Пусть и ; тогда .
    (3) Пусть ; разложим в произведение простых чисел: , где , , попарно различны и
    ; тогда .
1.4.4  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
  • Сопоставление многочлену формальной производной . Лемма о свойствах формальной производной.

    Лемма о свойствах формальной производной. Пусть — кольцо; тогда для любых и выполнено (и, значит,
    отображение — эндоморфизм группы ) и , а также (это правило Лейбница).

  • Корень кратности многочлена : . Теорема о кратных корнях.

    Теорема о кратных корнях. Пусть — коммутативное кольцо, , и ; тогда
    (1) если — корень кратности не меньше многочлена , то — корень кратности не меньше многочлена ;
    (2) если — область целостности, не делит и — корень кратности многочлена , то — корень кратности многочлена ;
    (3) — кратный корень многочлена (то есть корень кратности не меньше ), если и только если — корень многочленов и .

  • Теорема об интерполяции. Пусть — поле, , и попарно различны; тогда существует единственный такой
    многочлен , что и для любых выполнено , и этот многочлен можно найти следующими способами:
    (1) , где (это интерполяционная формула Лагранжа);
    (2) , где и (это интерполяционная формула Ньютона).
  • Поле частных: ; и , .
  • Лемма о поле частных. Отожд.-е и . Примеры: и — поле рациональных дробей.

    Лемма о поле частных. Пусть — область целостности; тогда
    (1) отображение — инъективный гомоморфизм колец;
    (2) для любых и выполнено (и, значит, ).

  • Несократимая запись: (, нормир.). Правильные дроби: (). Лемма о несократимой записи и правильных дробях.

    Лемма о несократимой записи и правильных дробях. Пусть — поле и ; тогда
    (1) существуют единственные такие многочлены , что , и многочлен нормирован;
    (2) существуют единственные такие многочлен и правильная дробь , что .

  • Примарные и простейшие дроби: (, нормир., , ) и (, нормир., , ).
  • Алгоритмы разложения правильной дроби в сумму примарных дробей и примарной дроби в сумму простейших дробей (см. пункт 3 в § 4 главы 5 в [3]).
1.4.5  Кольца матриц
  • Множества матриц, столбцов и строк: , и . Сложение матриц и умножение матриц на скаляры.
  • Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умнож.-я. Кольцо , группа .
  • Диагональные и скалярные матрицы. Верхнетреугольные, нижнетреугольные и треугольные матрицы. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
  • Матрицы, столбцы, строки с одной единицей: , , . Утверждение: , , .
  • Строки матрицы : . Столбцы матрицы : . Утверждение: и .
  • Транспонирование матрицы : . Утверждение: пусть — комм. кольцо, и ; тогда .
  • След квадр. матрицы : . Утверждение: пусть — комм. кольцо, и ; тогда .
  • Теорема о представлении комплексных чисел вещественными матрицами и о представлении кватернионов комплексными матрицами.
    (1) Отображение — инъективный гомоморфизм колец (и, значит, ).
    (2) Отображение — инъективный гомоморфизм колец (и, значит, ).

1.5  Группы (часть 2)

1.5.1  Симметрические группы
  • Транспозиции: (, ). Фундаментальные транспозиции: (). Число циклов в перестановке : .
  • Множество инверсий последовательности : . Лемма о количестве инверсий.

    Лемма о количестве инверсий. Пусть , и ; обозначим через число ; тогда
    (1) ;
    (2) если , то , и, если , то .

  • Теорема о сортировке пузырьком. Пусть и ; обозначим через число и обозначим через числа
    , упорядоченные по неубыванию (то есть ); тогда
    (1) существуют такие фундаментальные транспозиции , что ;
    (2) для любых из существования таких фундаментальных транспозиций , что ,
    следует, что , а также что, если числа попарно различны, то .
  • Знак посл.-сти: , если попарно различны, , если не попарно различны.
  • Знак перестановки: . Теорема о свойствах знака. Знакопеременная группа: .

    Теорема о свойствах знака. Пусть ; тогда
    (1) отображение — гомоморфизм групп и, если , то это сюръективный гомоморфизм групп;
    (2) для любых таких , что , выполнено и ;
    (3) для любых таких и , что попарно различны, выполнено ;
    (4) для любых выполнено .

  • Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть и ; тогда перестановки и сопряжены, если и только если
    (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок и (то есть цикловые типы перестановок и ) равны.
1.5.2  Группы матриц
  • Определитель матр. : . Примеры: , .
  • Анонс: если — комм. кольцо, то — гомоморфизм моноидов по умножению и .
  • Утверждение: , а также определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
  • Специальная линейн. группа: . Пример: .
  • Ортогональная группа: . Специальная ортогон. группа: .
  • Аффинная линейн. группа: (рассматриваем блочные матрицы).