Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 72: | Строка 72: | ||
<ul><li>Глобальная <math>n</math>-мерная система координат на <math>M</math> — биекция между <math>M</math> и открытым подмн.-вом в <math>\mathbb R^n</math>; соглашение: глобальность далее подразумевается. | <ul><li>Глобальная <math>n</math>-мерная система координат на <math>M</math> — биекция между <math>M</math> и открытым подмн.-вом в <math>\mathbb R^n</math>; соглашение: глобальность далее подразумевается. | ||
<li>Отнош.-е согласованности: <math>\alpha\circ\tilde\alpha^{-1}</math> — диффеоморфизм; <math>n</math>-мерная гладкая структура на <math>M</math> — класс согласованности <math>n</math>-мерных систем коорд. на <math>M</math>. | <li>Отнош.-е согласованности: <math>\alpha\circ\tilde\alpha^{-1}</math> — диффеоморфизм; <math>n</math>-мерная гладкая структура на <math>M</math> — класс согласованности <math>n</math>-мерных систем коорд. на <math>M</math>. | ||
− | <li>Множество | + | <li>Множество гладких отображений (морфизмов): <math>\mathrm C^\infty\!(M,N)=\{\varphi\in\mathrm{Map}(M,N)\mid\exists\,\alpha\in\mathcal A_M,\,\beta\in\mathcal B_N\;\bigl(\beta\circ\varphi\circ\alpha^{-1}\!\in\mathrm C^\infty\!(\mathrm{Codom}\,\alpha,\mathrm{Codom}\,\beta)\bigr)\}</math>. |
− | <li>Обозначения: <math>\ | + | <li>Обозначения: <math>\mathrm d\varphi(m)_\alpha^\beta=\mathrm d(\beta\circ\varphi\circ\alpha^{-1})(\alpha(m))</math> и <math>\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)=\mathrm d(\alpha\circ\tilde\alpha^{-1})(\tilde\alpha(m))</math>, <math>\alpha(m)=(x^1(m),\ldots,x^n(m))</math> (тогда <math>\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)_\tilde i^i=\frac{\partial x^i}{\partial\tilde x^i}(\tilde\alpha(m))</math>). |
− | <li>Утверждение: <math>\mathrm d\varphi(m)_\tilde\alpha^\tilde\beta=\mathrm c_\beta^\tilde\beta(\varphi(m))\cdot\mathrm d\varphi(m)_\alpha^\beta\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math>. | + | <li>Утверждение: <math>\mathrm d\varphi(m)_\tilde\alpha^\tilde\beta=\mathrm c_\beta^\tilde\beta(\varphi(m))\cdot\mathrm d\varphi(m)_\alpha^\beta\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math>. Мн.-во <math>\mathrm{Paths}(M)_m\!=\{p\in\mathrm C^\infty\!(\mathbb R,M)\mid p(0)=m\}</math> и <math>\mathbb R</math>-алгебра <math>\mathrm{Func}(M)=\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math>. |
− | <li>Обозначения: <math>p'(t)^\alpha\!=(\alpha\circ p)'(t)</math> | + | <li>Обозначения: <math>p'(t)^\alpha\!=\mathrm dp(t)_{\mathrm{id}_\mathbb R}^\alpha\!\!=(\alpha\circ p)'(t)</math> и <math>p'(t)^i=(p'(t)^\alpha)^i</math>, а также <math>\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha^{\mathrm{id}_\mathbb R}\!=\mathrm d(f\circ\alpha^{-1})(\alpha(m))</math> и <math>\mathrm df(m)_j=(\mathrm df(m)_\alpha)_j</math>. |
− | < | + | <li><u>Теорема о путях и функциях.</u> <i>Пусть <math>M</math> — множество с гладкой структурой и <math>m\in M</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim M</math>; тогда<br>(1) для любых <math>p\in\mathrm{Paths}(M)_m</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math> выполнено <math>p'(0)^\tilde\alpha\!=\mathrm c_\alpha^\tilde\alpha(m)\cdot p'(0)^\alpha</math> и <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(p'(0)^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial\tilde x^i}{\partial x^k}(\alpha(m))\,p'(0)^k\Bigr)</math>,<br>а также <math>\forall\,\breve p\in\mathrm{Paths}(M)_m\;\bigl(p'(0)^\alpha\!=\breve p'(0)^\alpha\Leftrightarrow\,p'(0)^\tilde\alpha\!=\breve p'(0)^\tilde\alpha\bigr)</math>;<br>(2) для любых <math>f\in\mathrm{Func}(M)</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math> выполнено <math>\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha\!\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math> и <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\mathrm df(m)_\tilde j=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial\tilde x^j}(\tilde\alpha(m))\,\mathrm df(m)_l\Bigr)</math>,<br>а также <math>\forall\,\breve f\in\mathrm{Func}(M)\;\bigl(\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\alpha\Leftrightarrow\,\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\tilde\alpha\bigr)</math>;<br>(3) для любых <math>\alpha\in\mathcal A_M</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Func}(M)&\to\mathbb R_n\\f&\mapsto\mathrm df(m)_\alpha\end{align}\!\biggr)</math> — линейный оператор;<br>(4) для любых <math>p\in\mathrm{Paths}(M)_m</math> имеют место следующие факты: отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Func}(M)&\to\mathbb R\\f&\mapsto(f\circ p)'(0)\end{align}\!\biggr)</math> — линейный функционал, а также<br>для любых <math>\alpha\in\mathcal A_M</math> выполнено <math>\forall\,f\in\mathrm{Func}(M)\;\bigl((f\circ p)'(0)=\mathrm df(m)_\alpha\!\cdot p'(0)^\alpha\bigr)</math> и <math>\,\mathrm{Ker}(f\mapsto\mathrm df(m)_\alpha)\le\mathrm{Ker}(f\mapsto(f\circ p)'(0))</math>.</i></ul> |
− | <h5>3.6.2 | + | <h5>3.6.2 Касательное и кокасательное пространства, тензорные расслоения и тензорные поля</h5> |
<ul><li>Отношения <math>\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math> и <math>\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>: <math>p\;\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\;\breve p\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(p'(0)^\alpha\!=\breve p'(0)^\alpha\bigr)</math> и <math>f\;\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\;\breve f\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\alpha\bigr)\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(\mathrm d(f-\breve f)(m)_\alpha\!=0\bigr)</math>. | <ul><li>Отношения <math>\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math> и <math>\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>: <math>p\;\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\;\breve p\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(p'(0)^\alpha\!=\breve p'(0)^\alpha\bigr)</math> и <math>f\;\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\;\breve f\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\alpha\bigr)\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(\mathrm d(f-\breve f)(m)_\alpha\!=0\bigr)</math>. | ||
− | <li>Касательное пространство: <math>\mathrm T_mM=\mathrm{ | + | <li>Касательное пространство: <math>\mathrm T_mM=\mathrm{Paths}(M)_m/\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. Скорость: <math>p'(0)=\mathrm{cl}\,_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim(p)\in\mathrm T_mM</math>; обозначение: <math>\frac\partial{\partial x^i}(m)=\bigl(t\mapsto\alpha^{-1}(\alpha(m)+t\,\mathrm{se}_i)\bigr)'(0)</math>. |
− | <li>Кокасат. пр.-во: <math>\mathrm T^*_mM=\mathrm{ | + | <li>Кокасат.-ное пр.-во: <math>\mathrm T^*_mM=\mathrm{Func}(M)/\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim=\mathrm{Func}(M)/\mathrm{Ker}(f\mapsto\mathrm df(m)_\alpha)</math>. Дифференциал: <math>\mathrm df(m)=\mathrm{cl}\,_\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim(f)\in\mathrm T^*_mM</math>; <math>\mathrm dx^i(m)=\mathrm d(\mathrm{se}^i\cdot\alpha)(m)</math>. |
− | <li><u>Теорема о касательном и кокасательном пространствах.</u> <i>Пусть <math>M</math> — множество с гл. структ., <math>m\in M</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim M</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T^*_mM&\to | + | <li><u>Теорема о касательном и кокасательном пространствах.</u> <i>Пусть <math>M</math> — множество с гл. структ., <math>m\in M</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim M</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T^*_mM&\to\mathbb R_n\\\mathrm df(m)&\mapsto\mathrm df(m)_\alpha\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств;<br>(2);<br>(3);<br>(4).</i> |
− | <li> | + | <li>Тензорные расслоения: <math>\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathcal T^p_{\;q}(\mathrm T_mM)</math>, <math>\mathsf S^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf S^k(\mathrm T^*_mM)</math> и <math>\mathsf\Lambda^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf\Lambda^k(\mathrm T^*_mM)</math>; отображение проекции на <math>M</math>: <math>\mathrm{pr}_M</math>. |
+ | <li>Касат.-ное и кокасат.-ное расслоения: <math>\mathrm TM=\mathcal T^1\mathrm TM</math> и <math>\mathrm T^*M=\mathcal T_{\,1}\mathrm TM</math>. Тензорные поля: <math>\mathrm{Tens}^p_q(M)=\{T\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ T=\mathrm{id}_M\}</math>. | ||
+ | <li>Поля форм: <math>\mathrm{STens}_k(M)=\{\omega\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathsf S^k\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\omega=\mathrm{id}_M\}</math> и <math>\Omega^k(M)=\mathrm{ATens}_k(M)=\{\omega\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathsf\Lambda^k\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\omega=\mathrm{id}_M\}</math>. | ||
+ | <li>Примеры полей: <math>\mathrm{Vect}(M)=\mathrm{Tens}^1(M)</math> — векторные поля, <math>\mathrm{STens}_2(M)</math> — поля симметричных метрик, <math>\Omega^k(M)</math> — дифференциальные <math>k</math>-формы.</ul> |
Версия 19:20, 22 ноября 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимые тензоры: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе
образуют базис пространства , а также, если , то . - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: пусть и ; тогда — изоморфизм вект. пространств.
- Тензорная алгебра: — ассоциативная -алгебра с (в опред. умножения используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
число ; тогда множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено (и, значит,
линейное отображение, заданное на базисе по правилу , — изоморфизм алгебр с ). - Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Преобразование координат: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр. над ,
, ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, и ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов. Пусть — поле, , — вект. пр. над , ; тогда
(1) и для любых и выполнено ;
(2) и для любых и выполнено . - Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметричный тензор в координатах: . Антисимметричный тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное пространство над
полем , , и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) множество — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа суть числа ,
упорядоченные по неубыванию;
(2) множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено , где
числа суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.5.3 Поливектор ориентации и оператор Ходжа
- Билин. формы и : и .
- Лемма о продолжении билинейных форм на тензоры. Пусть — поле, , — вект. пространство над , , ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) если и , то для любых таких , что , выполнено
(и, значит, если форма невырождена, то и форма невырождена). - Отнош.-е одинаковой ориентированности: . Утверждение: . Ориентация: элемент мн.-ва .
- Поливектор ориентации в псевдоевклидовом простр.-ве (): элемент мн.-ва ().
- Теорема о поливекторе ориентации. Пусть — векторное пространство над полем , , и форма невырождена
(то есть — псевдоевклидово пространство); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено и ;
(2) отображение определено корректно и является биекцией;
(3) если множество и поливектор соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых
выполнено (в частности, если , то ). - Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: ; если , то .
- Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ; вект. произведение: .
- Теорема об операторе Ходжа. Пусть — векторное пространство над полем , , , форма невырождена и
— поливектор ориентации в (то есть — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и поливектор однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:
и ;
(2) если , то для любых таких , что , выполнено
, где числа суть числа из множества ,
упорядоченные по возрастанию (в частности, и );
(3) оператор — изоморфизм векторных пространств, и для любых и выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено и .
3.6 Введение в дифференциальную геометрию
3.6.1 Гладкие структуры
- Глобальная -мерная система координат на — биекция между и открытым подмн.-вом в ; соглашение: глобальность далее подразумевается.
- Отнош.-е согласованности: — диффеоморфизм; -мерная гладкая структура на — класс согласованности -мерных систем коорд. на .
- Множество гладких отображений (морфизмов): .
- Обозначения: и , (тогда ).
- Утверждение: . Мн.-во и -алгебра .
- Обозначения: и , а также и .
- Теорема о путях и функциях. Пусть — множество с гладкой структурой и ; обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено и ,
а также ;
(2) для любых и выполнено и ,
а также ;
(3) для любых отображение — линейный оператор;
(4) для любых имеют место следующие факты: отображение — линейный функционал, а также
для любых выполнено и .
3.6.2 Касательное и кокасательное пространства, тензорные расслоения и тензорные поля
- Отношения и : и .
- Касательное пространство: . Скорость: ; обозначение: .
- Кокасат.-ное пр.-во: . Дифференциал: ; .
- Теорема о касательном и кокасательном пространствах. Пусть — множество с гл. структ., ; обозначим через число ; тогда
(1) отображение определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств;
(2);
(3);
(4). - Тензорные расслоения: , и ; отображение проекции на : .
- Касат.-ное и кокасат.-ное расслоения: и . Тензорные поля: .
- Поля форм: и .
- Примеры полей: — векторные поля, — поля симметричных метрик, — дифференциальные -формы.