Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 66: | Строка 66: | ||
<li>Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: <math>\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_n)=z_\sigma^*(v_1\wedge\ldots\wedge v_n)</math>; если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>, то <math>\omega_\sigma=|\det\sigma_{e,e}|^{1/2}\,e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math>. | <li>Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: <math>\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_n)=z_\sigma^*(v_1\wedge\ldots\wedge v_n)</math>; если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>, то <math>\omega_\sigma=|\det\sigma_{e,e}|^{1/2}\,e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math>. | ||
<li>Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto{\uparrow^{\wedge^{n-k}\sigma}}\!\bigl(y\mapsto z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>; вект. произведение: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=*(v_1\wedge\ldots\wedge v_{n-1})</math>. | <li>Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto{\uparrow^{\wedge^{n-k}\sigma}}\!\bigl(y\mapsto z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>; вект. произведение: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=*(v_1\wedge\ldots\wedge v_{n-1})</math>. | ||
− | <li><u>Теорема об операторе Ходжа.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена и<br><math>z_\sigma</math> — поливектор ориентации в <math>V</math> (то есть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> поливектор <math>*x</math> однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:<br><math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)=z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)</math> и <math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)\,z_\sigma=x\wedge y\bigr)</math>;<br>(2) если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\cap\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>*(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^{n-k}\sigma(e_{\bar i_h},e_{\bar i_h})\,\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k})\,e_{\bar i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\bar i_{n-k}}</math>, где числа <math>\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k}</math> суть числа из множества <math>\{1,\ldots,n\}\setminus\{i_1,\ldots,i_k\}</math>,<br>упорядоченные по возрастанию (в частности, <math>*1=\mathrm{sd}(\sigma)\,z_\sigma</math> и <math>*z_\sigma=1</math>);<br>(3) оператор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto*x\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств, и для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>*{*x}=\mathrm{sd}(\sigma)\,(-1)^{k(n-k)}x</math>;<br>(4) если <math>n\ge1</math>, то для любых <math>v_1,\ldots,v_{n-1},w\in V</math> выполнено <math>\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},w)=\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_{n-1},w)</math> и <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math>.</i> | + | <li><u>Теорема об операторе Ходжа.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена и<br><math>z_\sigma</math> — поливектор ориентации в <math>V</math> (то есть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> поливектор <math>*x</math> однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:<br><math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)=z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)</math> и <math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)\,z_\sigma=x\wedge y\bigr)</math>;<br>(2) если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\cap\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>*(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^{n-k}\sigma(e_{\bar i_h},e_{\bar i_h})\,\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k})\,e_{\bar i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\bar i_{n-k}}</math>, где числа <math>\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k}</math> суть числа из множества <math>\{1,\ldots,n\}\setminus\{i_1,\ldots,i_k\}</math>,<br>упорядоченные по возрастанию (в частности, <math>*1=\mathrm{sd}(\sigma)\,z_\sigma</math> и <math>*z_\sigma=1</math>);<br>(3) оператор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto*x\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств, и для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>*{*x}=\mathrm{sd}(\sigma)\,(-1)^{k(n-k)}x</math>;<br>(4) если <math>n\ge1</math>, то для любых <math>v_1,\ldots,v_{n-1},w\in V</math> выполнено <math>\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},w)=\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_{n-1},w)</math> и <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math>.</i></ul> |
<h3>3.6 Гладкие структуры и тензорные поля</h3> | <h3>3.6 Гладкие структуры и тензорные поля</h3> | ||
<h5>3.6.1 Определения и конструкции, связанные с гладкими структурами</h5> | <h5>3.6.1 Определения и конструкции, связанные с гладкими структурами</h5> | ||
+ | <ul><li>Глобальная <math>d</math>-мерная система координат на <math>M</math> — биекция между <math>M</math> и открытым подмн.-вом в <math>\mathbb R^d</math>; соглашение: глобальность далее подразумевается. | ||
+ | <li>Отнош.-е согласованности: <math>\alpha\circ\tilde\alpha^{-1}</math> — диффеоморфизм; <math>d</math>-мерная гладкая структура на <math>M</math> — класс согласованности <math>d</math>-мерных систем коорд. на <math>M</math>. | ||
+ | <li>Множество морфизмов (гладких отображ.-й): <math>\mathrm{Mor}(M,N)=\{\varphi\in\mathrm{Map}(M,N)\mid\exists\,\alpha\in\mathcal A_M,\,\beta\in\mathcal B_N\;\bigl(\beta\circ\varphi\circ\alpha^{-1}\!\in\mathrm C^\infty(\mathrm{Codom}\,\alpha,\mathrm{Codom}\,\beta)\bigr)\}</math>. | ||
+ | <li>Обозначения: <math>\alpha(m)=(x^1(m),\ldots,x^d(m))</math>, <math>\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)=\mathrm d(\alpha\circ\tilde\alpha^{-1})(\tilde\alpha(m))</math> (тогда <math>\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)_\tilde i^i=\frac{\partial x^i}{\partial\tilde x^i}(\tilde\alpha(m))</math>) и <math>\mathrm d\varphi(m)_\alpha^\beta=\mathrm d(\beta\circ\varphi\circ\alpha^{-1})(\alpha(m))</math>. | ||
+ | <li><u>Лемма о замене координат.</u><br><i>(1) Пусть <math>M</math>, <math>N</math> — множества с гл. структ., <math>\varphi\in\mathrm{Mor}(M,N)</math>, <math>m\in M</math>, <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>, <math>\beta,\tilde\beta\in\mathcal B_N</math>; тогда <math>\,\mathrm d\varphi(m)_\tilde\alpha^\tilde\beta=\mathrm c_\beta^\tilde\beta(\varphi(m))\cdot\mathrm d\varphi(m)_\alpha^\beta\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math>.<br>(2) Пусть <math>M</math> — множество с гладкой структурой, <math>p\in\mathrm{Mor}(\mathbb R,M)</math>, <math>t\in\mathbb R</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>; тогда <math>\,p'(t)^\tilde\alpha\!=\mathrm c_\alpha^\tilde\alpha(p(t))\cdot p'(t)^\alpha</math> (здесь для любых<br><math>\alpha\in\mathcal A_M</math> введено обозначение <math>p'(t)^\alpha\!=\mathrm dp(t)_{\mathrm{id}_\mathbb R}^\alpha\!=(\alpha\circ p)'(t)</math>).<br>(3) Пусть <math>M</math> — множество с гладкой структурой, <math>f\in\mathrm{Mor}(M,\mathbb R)</math>, <math>m\in M</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>; тогда <math>\,\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha\!\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math> (здесь для любых<br><math>\alpha\in\mathcal A_M</math> введено обозначение <math>\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha^{\mathrm{id}_\mathbb R}\!=\mathrm d(f\circ\alpha^{-1})(\alpha(m))</math>).</i></ul> |
Версия 20:00, 21 ноября 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимые тензоры: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе
образуют базис пространства , а также, если , то . - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: пусть и ; тогда — изоморфизм вект. пространств.
- Тензорная алгебра: — ассоциативная -алгебра с (в опред. умножения используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
число ; тогда множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено (и, значит,
линейное отображение, заданное на базисе по правилу , — изоморфизм алгебр с ). - Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Преобразование координат: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр. над ,
, ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, и ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов. Пусть — поле, , — вект. пр. над , ; тогда
(1) и для любых и выполнено ;
(2) и для любых и выполнено . - Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметричный тензор в координатах: . Антисимметричный тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное пространство над
полем , , и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) множество — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа суть числа ,
упорядоченные по неубыванию;
(2) множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено , где
числа суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.5.3 Поливектор ориентации и оператор Ходжа
- Билин. формы и : и .
- Лемма о продолжении билинейных форм на тензоры. Пусть — поле, , — вект. пространство над , , ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) если и , то для любых таких , что , выполнено
(и, значит, если форма невырождена, то и форма невырождена). - Отнош.-е одинаковой ориентированности: . Утверждение: . Ориентация: элемент мн.-ва .
- Поливектор ориентации в псевдоевклидовом простр.-ве (): элемент мн.-ва ().
- Теорема о поливекторе ориентации. Пусть — векторное пространство над полем , , и форма невырождена
(то есть — псевдоевклидово пространство); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено и ;
(2) отображение определено корректно и является биекцией;
(3) если множество и поливектор соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых
выполнено (в частности, если , то ). - Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: ; если , то .
- Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ; вект. произведение: .
- Теорема об операторе Ходжа. Пусть — векторное пространство над полем , , , форма невырождена и
— поливектор ориентации в (то есть — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и поливектор однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:
и ;
(2) если , то для любых таких , что , выполнено
, где числа суть числа из множества ,
упорядоченные по возрастанию (в частности, и );
(3) оператор — изоморфизм векторных пространств, и для любых и выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено и .
3.6 Гладкие структуры и тензорные поля
3.6.1 Определения и конструкции, связанные с гладкими структурами
- Глобальная -мерная система координат на — биекция между и открытым подмн.-вом в ; соглашение: глобальность далее подразумевается.
- Отнош.-е согласованности: — диффеоморфизм; -мерная гладкая структура на — класс согласованности -мерных систем коорд. на .
- Множество морфизмов (гладких отображ.-й): .
- Обозначения: , (тогда ) и .
- Лемма о замене координат.
(1) Пусть , — множества с гл. структ., , , , ; тогда .
(2) Пусть — множество с гладкой структурой, , и ; тогда (здесь для любых
введено обозначение ).
(3) Пусть — множество с гладкой структурой, , и ; тогда (здесь для любых
введено обозначение ).