Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 47: | Строка 47: | ||
<li><u>Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) все тензоры <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1\le\ldots\le i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf S^kV</math>;<br>(2) все тензоры <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1<\ldots<i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>;<br>(3) <math>\dim\mathsf S^kV=\!\biggl(\!\!\binom nk\!\!\biggr)\!=\binom{n+k-1}k=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}</math> и <math>\,\dim\mathsf\Lambda^kV=\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.</i> | <li><u>Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) все тензоры <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1\le\ldots\le i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf S^kV</math>;<br>(2) все тензоры <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1<\ldots<i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>;<br>(3) <math>\dim\mathsf S^kV=\!\biggl(\!\!\binom nk\!\!\biggr)\!=\binom{n+k-1}k=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}</math> и <math>\,\dim\mathsf\Lambda^kV=\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.</i> | ||
<li>Симметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1\le\ldots\le i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{(i_1,\ldots,i_k)}e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>. Антисимметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1<\ldots<i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{[i_1,\ldots,i_k]}e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>. | <li>Симметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1\le\ldots\le i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{(i_1,\ldots,i_k)}e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>. Антисимметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1<\ldots<i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{[i_1,\ldots,i_k]}e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>. | ||
− | <li>Примеры: <math>\ | + | <li>Примеры: <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math> — форма объема, <math>\dim V=3\,\Rightarrow\,v\wedge w=(v\times w)^3\,e_1\wedge e_2-(v\times w)^2\,e_1\wedge e_3+(v\times w)^1\,e_2\wedge e_3</math>.</ul> |
<h5>3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра</h5> | <h5>3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра</h5> | ||
Строка 66: | Строка 66: | ||
<li>Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: <math>\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_n)=z_\sigma^*(v_1\wedge\ldots\wedge v_n)</math>; если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>, то <math>\omega_\sigma=|\det\sigma_{e,e}|^{1/2}\,e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math>. | <li>Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: <math>\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_n)=z_\sigma^*(v_1\wedge\ldots\wedge v_n)</math>; если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>, то <math>\omega_\sigma=|\det\sigma_{e,e}|^{1/2}\,e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math>. | ||
<li>Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto{\uparrow^{\wedge^{n-k}\sigma}}\!\bigl(y\mapsto z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>; вект. произведение: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=*(v_1\wedge\ldots\wedge v_{n-1})</math>. | <li>Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto{\uparrow^{\wedge^{n-k}\sigma}}\!\bigl(y\mapsto z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>; вект. произведение: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=*(v_1\wedge\ldots\wedge v_{n-1})</math>. | ||
− | <li><u>Теорема об операторе Ходжа.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена и<br><math>z_\sigma</math> — поливектор ориентации в <math>V</math> (то есть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> поливектор <math>*x</math> однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:<br><math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)=z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)</math> и <math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)\,z_\sigma=x\wedge y\bigr)</math>;<br>(2) если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\cap\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>*(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^{n-k}\sigma(e_{ | + | <li><u>Теорема об операторе Ходжа.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена и<br><math>z_\sigma</math> — поливектор ориентации в <math>V</math> (то есть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> поливектор <math>*x</math> однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:<br><math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)=z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)</math> и <math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)\,z_\sigma=x\wedge y\bigr)</math>;<br>(2) если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\cap\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>*(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^{n-k}\sigma(e_{\bar i_h},e_{\bar i_h})\,\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k})\,e_{\bar i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\bar i_{n-k}}</math>, где числа <math>\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k}</math> суть числа из множества <math>\{1,\ldots,n\}\setminus\{i_1,\ldots,i_k\}</math>,<br>упорядоченные по возрастанию (в частности, <math>*1=\mathrm{sd}(\sigma)\,z_\sigma</math> и <math>*z_\sigma=1</math>);<br>(3) оператор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto*x\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств, и для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>*{*x}=\mathrm{sd}(\sigma)\,(-1)^{k(n-k)}x</math>;<br>(4) если <math>n\ge1</math>, то для любых <math>v_1,\ldots,v_{n-1},w\in V</math> выполнено <math>\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},w)=\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_{n-1},w)</math> и <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math>.</i> |
<h3>3.6 Гладкие структуры и тензорные поля</h3> | <h3>3.6 Гладкие структуры и тензорные поля</h3> | ||
<h5>3.6.1 Определения и конструкции, связанные с гладкими структурами</h5> | <h5>3.6.1 Определения и конструкции, связанные с гладкими структурами</h5> |
Версия 18:00, 21 ноября 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимые тензоры: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе
образуют базис пространства , а также, если , то . - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: пусть и ; тогда — изоморфизм вект. пространств.
- Тензорная алгебра: — ассоциативная -алгебра с (в опред. умножения используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
число ; тогда множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено (и, значит,
линейное отображение, заданное на базисе по правилу , — изоморфизм алгебр с ). - Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Преобразование координат: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр. над ,
, ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, и ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов. Пусть — поле, , — вект. пр. над , ; тогда
(1) и для любых и выполнено ;
(2) и для любых и выполнено . - Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметричный тензор в координатах: . Антисимметричный тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное пространство над
полем , , и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) множество — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа суть числа ,
упорядоченные по неубыванию;
(2) множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено , где
числа суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.5.3 Поливектор ориентации и оператор Ходжа
- Билин. формы и : и .
- Лемма о продолжении билинейных форм на тензоры. Пусть — поле, , — вект. пространство над , , ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) если и , то для любых таких , что , выполнено
(и, значит, если форма невырождена, то и форма невырождена). - Отнош.-е одинаковой ориентированности: . Утверждение: . Ориентация: элемент мн.-ва .
- Поливектор ориентации в псевдоевклидовом простр.-ве (): элемент мн.-ва ().
- Теорема о поливекторе ориентации. Пусть — векторное пространство над полем , , и форма невырождена
(то есть — псевдоевклидово пространство); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено и ;
(2) отображение определено корректно и является биекцией;
(3) если множество и поливектор соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых
выполнено (в частности, если , то ). - Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: ; если , то .
- Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ; вект. произведение: .
- Теорема об операторе Ходжа. Пусть — векторное пространство над полем , , , форма невырождена и
— поливектор ориентации в (то есть — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и поливектор однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:
и ;
(2) если , то для любых таких , что , выполнено
, где числа суть числа из множества ,
упорядоченные по возрастанию (в частности, и );
(3) оператор — изоморфизм векторных пространств, и для любых и выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено и .3.6 Гладкие структуры и тензорные поля
3.6.1 Определения и конструкции, связанные с гладкими структурами