Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 58: | Строка 58: | ||
<li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math><br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) множество <math>\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и<br><math>e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>,<br>упорядоченные по неубыванию;<br>(2) множество <math>\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid k\in\{0,\ldots,n\},\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых элементов<br><math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'\!)\,e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где<br>числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по возрастанию.</i></ul> | <li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math><br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) множество <math>\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и<br><math>e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>,<br>упорядоченные по неубыванию;<br>(2) множество <math>\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid k\in\{0,\ldots,n\},\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых элементов<br><math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'\!)\,e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где<br>числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по возрастанию.</i></ul> | ||
− | <h5>3.5.3 Поливектор ориентации | + | <h5>3.5.3 Поливектор ориентации и оператор Ходжа</h5> |
<ul><li>Билин. формы <math>\otimes^k\sigma</math> и <math>\wedge^k\sigma</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\otimes^k\sigma\,\colon\mathcal T^kV\times\mathcal T^kV&\to K\\(v_1\otimes\ldots\otimes v_k,w_1\otimes\ldots\otimes w_k)&\mapsto\sigma(v_1,w_1)\cdot\ldots\cdot\sigma(v_k,w_k)\end{align}\!\biggr)\!\in\mathrm{Bi}(\mathcal T^kV)</math> и <math>\wedge^k\sigma=\frac1{k!}\bigl({\otimes}^k\sigma\bigr)|_{\mathsf\Lambda^kV\times\mathsf\Lambda^kV}\!\in\mathrm{Bi}(\mathsf\Lambda^kV)</math>. | <ul><li>Билин. формы <math>\otimes^k\sigma</math> и <math>\wedge^k\sigma</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\otimes^k\sigma\,\colon\mathcal T^kV\times\mathcal T^kV&\to K\\(v_1\otimes\ldots\otimes v_k,w_1\otimes\ldots\otimes w_k)&\mapsto\sigma(v_1,w_1)\cdot\ldots\cdot\sigma(v_k,w_k)\end{align}\!\biggr)\!\in\mathrm{Bi}(\mathcal T^kV)</math> и <math>\wedge^k\sigma=\frac1{k!}\bigl({\otimes}^k\sigma\bigr)|_{\mathsf\Lambda^kV\times\mathsf\Lambda^kV}\!\in\mathrm{Bi}(\mathsf\Lambda^kV)</math>. | ||
<li><u>Лемма о продолжении билинейной формы на тензоры.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_k\in V</math> выполнено <math>(\wedge^k\sigma)(v_1\wedge\ldots\wedge v_k,w_1\wedge\ldots\wedge w_k)=\det\!\Biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v_1,w_1)&\ldots&\sigma(v_1,w_k)\\\vdots&\ddots&\vdots\\\sigma(v_k,w_1)&\ldots&\sigma(v_k,w_k)\end{smallmatrix}\Biggr)</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,\dim V\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>{\downarrow_{\wedge^k\sigma}}(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^k\sigma(e_{i_h},e_{i_h})\,(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})^*</math> (и, значит, если форма <math>\sigma</math> невырождена, то и форма <math>\wedge^k\sigma</math> невырождена).</i> | <li><u>Лемма о продолжении билинейной формы на тензоры.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_k\in V</math> выполнено <math>(\wedge^k\sigma)(v_1\wedge\ldots\wedge v_k,w_1\wedge\ldots\wedge w_k)=\det\!\Biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v_1,w_1)&\ldots&\sigma(v_1,w_k)\\\vdots&\ddots&\vdots\\\sigma(v_k,w_1)&\ldots&\sigma(v_k,w_k)\end{smallmatrix}\Biggr)</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,\dim V\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>{\downarrow_{\wedge^k\sigma}}(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^k\sigma(e_{i_h},e_{i_h})\,(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})^*</math> (и, значит, если форма <math>\sigma</math> невырождена, то и форма <math>\wedge^k\sigma</math> невырождена).</i> | ||
Строка 66: | Строка 66: | ||
<li>Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: <math>\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_n)=z_\sigma^*(v_1\wedge\ldots\wedge v_n)</math>; если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>, то <math>\omega_\sigma=|\det\sigma_{e,e}|^{1/2}\,e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math>. | <li>Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: <math>\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_n)=z_\sigma^*(v_1\wedge\ldots\wedge v_n)</math>; если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>, то <math>\omega_\sigma=|\det\sigma_{e,e}|^{1/2}\,e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math>. | ||
<li>Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto{\uparrow^{\wedge^{n-k}\sigma}}\!\bigl(y\mapsto z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>; вект. произведение: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=*(v_1\wedge\ldots\wedge v_{n-1})</math>. | <li>Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: <math>\biggl(\!\begin{align}*\,\colon\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto{\uparrow^{\wedge^{n-k}\sigma}}\!\bigl(y\mapsto z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>; вект. произведение: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=*(v_1\wedge\ldots\wedge v_{n-1})</math>. | ||
− | <li><u>Теорема об операторе Ходжа | + | <li><u>Теорема об операторе Ходжа.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb R</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена и<br><math>z_\sigma</math> — поливектор ориентации в <math>V</math> (то есть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> поливектор <math>*x</math> однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:<br><math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)=z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)</math> и <math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)\,z_\sigma=x\wedge y\bigr)</math>;<br>(2) если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\cap\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>*(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^{n-k}\sigma(e_{j_h},e_{j_h})\,\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,j_1,\ldots,j_{n-k})\,e_{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{j_{n-k}}</math>, где числа <math>j_1,\ldots,j_{n-k}</math> суть числа из множества <math>\{1,\ldots,n\}\setminus\{i_1,\ldots,i_k\}</math>,<br>упорядоченные по возрастанию (в частности, <math>*1=\mathrm{sd}(\sigma)\,z_\sigma</math> и <math>*z_\sigma=1</math>);<br>(3) оператор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto*x\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств, и для любых <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>*{*x}=\mathrm{sd}(\sigma)\,(-1)^{k(n-k)}\,x</math>;<br>(4) для любых <math>v_1,\ldots,v_{n-1},w\in V</math> выполнено <math>\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},w)=\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_{n-1},w)</math> и <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math>.</i></ul> |
<h3>3.6 Глобальные гладкие структуры и тензорные поля</h3> | <h3>3.6 Глобальные гладкие структуры и тензорные поля</h3> |
Версия 19:00, 20 ноября 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимые тензоры: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе
образуют базис пространства , а также, если , то . - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: пусть и ; тогда — изоморфизм вект. пространств.
- Тензорная алгебра: — ассоциативная -алгебра с (в опред. умножения используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
число ; тогда множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено (и, значит,
линейное отображение, заданное на базисе по правилу , — изоморфизм алгебр с ). - Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Преобразование координат: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр. над ,
, ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, и ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов. Пусть — поле, , — вект. пр. над , ; тогда
(1) и для любых и выполнено ;
(2) и для любых и выполнено . - Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметричный тензор в координатах: . Антисимметричный тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, связанная с ; ().
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное пространство над
полем , , и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) множество — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа суть числа ,
упорядоченные по неубыванию;
(2) множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено , где
числа суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.5.3 Поливектор ориентации и оператор Ходжа
- Билин. формы и : и .
- Лемма о продолжении билинейной формы на тензоры. Пусть — поле, , — вект. пр. над , , ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) если и , то для любых таких , что , выполнено
(и, значит, если форма невырождена, то и форма невырождена). - Отнош.-е одинаковой ориентированности: . Утверждение: . Ориентация: элемент мн.-ва .
- Поливектор ориентации в псевдоевклидовом простр.-ве (): элемент мн.-ва ().
- Теорема о поливекторе ориентации. Пусть — векторное пространство над полем , , и форма невырождена
(то есть — псевдоевклидово пространство); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено и ;
(2) отображение определено корректно и является биекцией;
(3) если множество и поливектор соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых
выполнено (в частности, если , то ). - Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: ; если , то .
- Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ; вект. произведение: .
- Теорема об операторе Ходжа. Пусть — векторное пространство над полем , , , форма невырождена и
— поливектор ориентации в (то есть — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и поливектор однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:
и ;
(2) если , то для любых таких , что , выполнено
, где числа суть числа из множества ,
упорядоченные по возрастанию (в частности, и );
(3) оператор — изоморфизм векторных пространств, и для любых и выполнено ;
(4) для любых выполнено и .