Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 19: | Строка 19: | ||
<ul><li>Пространство тензоров типа <math>(p,q)</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}V=V^{\otimes p}\!\otimes(V^*)^{\otimes q}</math>. Примеры: <math>\mathcal T^0_{\,\,0}V=K</math>, <math>\mathcal T^1V=V</math>, <math>\mathcal T_{\,1}V=V^*</math>, <math>\mathcal T^1_{\,\,1}V\cong\mathrm{End}(V)</math>, <math>\mathcal T_{\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V)</math>. | <ul><li>Пространство тензоров типа <math>(p,q)</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}V=V^{\otimes p}\!\otimes(V^*)^{\otimes q}</math>. Примеры: <math>\mathcal T^0_{\,\,0}V=K</math>, <math>\mathcal T^1V=V</math>, <math>\mathcal T_{\,1}V=V^*</math>, <math>\mathcal T^1_{\,\,1}V\cong\mathrm{End}(V)</math>, <math>\mathcal T_{\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V)</math>. | ||
<li>Примеры: <math>\mathcal T^1_{\,\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V,V,V)</math> — пространство структур алгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T^2_{\,\,1}V\cong\mathrm{Hom}(V,V\otimes V)</math> — пространство структур коалгебры на <math>V</math>. | <li>Примеры: <math>\mathcal T^1_{\,\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V,V,V)</math> — пространство структур алгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T^2_{\,\,1}V\cong\mathrm{Hom}(V,V\otimes V)</math> — пространство структур коалгебры на <math>V</math>. | ||
− | <li><u>Лемма ковариантных тензорах и полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\dim V<\infty</math>;<br>тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\ldots\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств.</i> | + | <li><u>Лемма о ковариантных тензорах и полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\dim V<\infty</math>;<br>тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T_{\,k}V=\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\ldots\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств.</i> |
<li>Тензорная алгебра: <math>\mathcal T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal T^kV</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math> (в опред. умножения используем изоморфизмы <math>\mathcal T^kV\otimes\mathcal T^{k'}\!V\cong\mathcal T^{k+k'}\!V</math>). | <li>Тензорная алгебра: <math>\mathcal T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal T^kV</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math> (в опред. умножения используем изоморфизмы <math>\mathcal T^kV\otimes\mathcal T^{k'}\!V\cong\mathcal T^{k+k'}\!V</math>). | ||
<li><u>Теорема о тензорной алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через<br><math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда множество <math>\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathcal T(V)</math>, и для любых элементов<br><math>e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}</math> (и, значит,<br>линейное отображение, заданное на базисе по правилу <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathcal T(V)\\x_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{i_k}\!&\mapsto e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>).</i> | <li><u>Теорема о тензорной алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через<br><math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда множество <math>\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathcal T(V)</math>, и для любых элементов<br><math>e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}</math> (и, значит,<br>линейное отображение, заданное на базисе по правилу <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathcal T(V)\\x_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{i_k}\!&\mapsto e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>).</i> |
Версия 04:40, 15 ноября 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимые тензоры: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе
образуют базис пространства , а также, если , то . - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Лемма о ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
тогда отображение — изоморфизм векторных пространств. - Тензорная алгебра: — ассоциативная -алгебра с (в опред. умножения используем изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
число ; тогда множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено (и, значит,
линейное отображение, заданное на базисе по правилу , — изоморфизм алгебр с ). - Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Преобразование координат: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — векторное
пространство над , , ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, , ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметричный тензор в координатах: . Антисимметричный тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, связанная с ; ().
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и ;
(4) для любых выполнено и . - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) множество — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа суть числа ,
упорядоченные по неубыванию;
(2) множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено , где
числа суть числа , упорядоченные по возрастанию.