Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 12: | Строка 12: | ||
<li><u>Теорема об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>;<br>тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\times\ldots\times V_k&\to V_1\otimes\ldots\otimes V_k\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_k\end{align}\!\biggr)</math> полилинейно, и для любых <math>f\in\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> существует единственный<br>такой гомоморфизм <math>a\in\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)</math>, что для любых <math>v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k</math> выполнено <math>a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=f(v_1,\ldots,v_k)</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)&\to\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).</i> | <li><u>Теорема об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>;<br>тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\times\ldots\times V_k&\to V_1\otimes\ldots\otimes V_k\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_k\end{align}\!\biggr)</math> полилинейно, и для любых <math>f\in\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> существует единственный<br>такой гомоморфизм <math>a\in\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)</math>, что для любых <math>v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k</math> выполнено <math>a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=f(v_1,\ldots,v_k)</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)&\to\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).</i> | ||
<li><u>Теорема о базисе тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> —<br>базисы пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соотв.-но; тогда множество <math>\{b_1\otimes\ldots\otimes b_k\mid b_1\in B_1,\ldots,b_k\in B_k\}</math> — базис пространства <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k</math>,<br>а также, если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\otimes\ldots\otimes V_k)=\dim V_1\cdot\ldots\cdot\dim V_k</math>.</i> | <li><u>Теорема о базисе тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> —<br>базисы пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соотв.-но; тогда множество <math>\{b_1\otimes\ldots\otimes b_k\mid b_1\in B_1,\ldots,b_k\in B_k\}</math> — базис пространства <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k</math>,<br>а также, если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\otimes\ldots\otimes V_k)=\dim V_1\cdot\ldots\cdot\dim V_k</math>.</i> | ||
− | <li><u>Первая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>V,W | + | <li><u>Первая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>U,V,W</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br><math>(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes(V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W</math> и <math>V\otimes K\cong K\otimes V\cong V</math>, а также <math>V\otimes W\cong W\otimes V</math>.</i> |
<li>Тензорное произв.-е тензоров: <math>T\otimes T'</math>. Тензорное произв.-е гомоморфизмов (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y),b\in\mathrm{Hom}(W,Z)</math>): <math>(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)</math>. | <li>Тензорное произв.-е тензоров: <math>T\otimes T'</math>. Тензорное произв.-е гомоморфизмов (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y),b\in\mathrm{Hom}(W,Z)</math>): <math>(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)</math>. | ||
<li><u>Вторая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>V,W,Y,Z</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)\otimes\mathrm{Hom}(W,Z)&\to\mathrm{Hom}(V\otimes W,Y\otimes Z)\\a\otimes b&\mapsto\bigl(v\otimes w\mapsto a(v)\otimes b(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,<br>если <math>\dim V,\dim W,\dim Y,\dim Z<\infty</math>, то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}Y\otimes V^*\!&\to\mathrm{Hom}(V,Y)\\y\otimes\lambda&\mapsto\bigl(v\mapsto\lambda(v)\,y\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>, то<br>данное отображение — изоморфизм векторных пространств;<br>(3) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!\otimes W^*\!&\to(V\otimes W)^*\\\lambda\otimes\mu&\mapsto\bigl(v\otimes w\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!\otimes W^*\!&\to\mathrm{Bi}(V,W,K)\\\lambda\otimes\mu&\mapsto\bigl((v,w)\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективные гомоморфизмы векторных<br>пространств, а также, если <math>\dim V,\dim W<\infty</math>, то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.</i></ul> | <li><u>Вторая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>V,W,Y,Z</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)\otimes\mathrm{Hom}(W,Z)&\to\mathrm{Hom}(V\otimes W,Y\otimes Z)\\a\otimes b&\mapsto\bigl(v\otimes w\mapsto a(v)\otimes b(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,<br>если <math>\dim V,\dim W,\dim Y,\dim Z<\infty</math>, то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}Y\otimes V^*\!&\to\mathrm{Hom}(V,Y)\\y\otimes\lambda&\mapsto\bigl(v\mapsto\lambda(v)\,y\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>, то<br>данное отображение — изоморфизм векторных пространств;<br>(3) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!\otimes W^*\!&\to(V\otimes W)^*\\\lambda\otimes\mu&\mapsto\bigl(v\otimes w\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!\otimes W^*\!&\to\mathrm{Bi}(V,W,K)\\\lambda\otimes\mu&\mapsto\bigl((v,w)\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективные гомоморфизмы векторных<br>пространств, а также, если <math>\dim V,\dim W<\infty</math>, то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.</i></ul> |
Версия 17:20, 9 ноября 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — пространство полилинеаризации.
- Разложимые тензоры: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соотв.-но; тогда множество — базис пространства ,
а также, если , то . - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорные алгебры и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: . Алгебры контравариантных и ковариантных тензоров над : и .
- Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Преобразование координат: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — векторное
пространство над полем и ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, , ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) множество — базис пространства , а также ;
(2) множество — базис пространства , а также . - Симметричный тензор в координатах: . Антисимметричный тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, связанная с , ().
3.5.2 Симметрическая и внешняя алгебры
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Симметрическая (симметрич. контравар. тензоров) и внешняя (антисимметрич. контравар. тензоров) алгебры: и .