Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры») |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | + | __NOTOC__ | |
+ | <h2>3 Билинейная и полилинейная алгебра</h2> | ||
+ | <table cellpadding="6" cellspacing="0"> | ||
+ | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)<br>или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре-<br>менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.<br>Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран-<br>ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих<br>пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.</td></tr><tr align="right"><td>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Тензор<i>Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии</i>]</td></tr></table></td></tr> | ||
+ | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>In the 20th century, the subject came to be known as <i>tensor analysis</i>, and achieved broader acceptance with the introduction of Einstein's the-<br>ory of general relativity, around 1915. General relativity is formulated completely in the language of tensors. Einstein had learned about them,<br>with great difficulty, from the geometer Marcel Grossmann. Tullio Levi-Civita then initiated a correspondence with Einstein to correct mistakes<br>Einstein had made in his use of tensor analysis. The correspondence lasted 1915–1917, and was characterized by mutual respect: "I admire<br>the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of<br>us have to make our way laboriously on foot" (from Einstein's letter to Levi-Civita).</td></tr><tr align="right"><td>[https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor<i>Статья «Tensor» в англоязычной Википедии</i>]</td></tr></table></td></tr></table> | ||
+ | |||
+ | <h3>3.4 Тензорные произведения векторных пространств</h3> | ||
+ | <h5>3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами</h5> | ||
+ | <ul><li>Тензорное произв.-е пространств: <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\mathcal F/\mathcal F_0</math>, где <math>\mathcal F=\mathrm{FinFunc}(V_1\times\ldots\times V_k,K)</math> и <math>\mathcal F_0</math> — пространство полилинеаризации. | ||
+ | <li>Разложимые тензоры: <math>v_1\otimes\ldots\otimes v_k=(v_1,\ldots,v_k)+\mathcal F_0</math>. Утверждение: <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\rangle</math>. | ||
+ | <li>Ранг тензора <math>T</math>: <math>\mathrm{rk}(T)</math> равен минимальному среди всех таких чисел <math>m\in\mathbb N_0</math>, что <math>T=T_1+\ldots+T_m</math>, где <math>T_1,\ldots,T_m</math> — разложимые тензоры. | ||
+ | <li><u>Теорема об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>;<br>тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\times\ldots\times V_k&\to V_1\otimes\ldots\otimes V_k\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_k\end{align}\!\biggr)</math> полилинейно, и для любых <math>f\in\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> существует единственный<br>такой гомоморфизм <math>a\in\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)</math>, что для любых <math>v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k</math> выполнено <math>a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=f(v_1,\ldots,v_k)</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)&\to\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).</i> | ||
+ | <li><u>Теорема о базисе тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> —<br>базисы пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соответственно; тогда <math>\{b_1\otimes\ldots\otimes b_k\mid b_1\in B_1,\ldots,b_k\in B_k\}</math> — базис пространства <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k</math><br>(и, значит, если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\otimes\ldots\otimes V_k)=\dim V_1\cdot\ldots\cdot\dim V_k</math>).</i> | ||
+ | <li><u>Первая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>V,W,X</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br><math>(V\otimes W)\otimes X\cong V\otimes(W\otimes X)\cong V\otimes W\otimes X</math> и <math>V\otimes K\cong K\otimes V\cong V</math>, а также <math>V\otimes W\cong W\otimes V</math>.</i> | ||
+ | <li>Тензорное произв.-е тензоров: <math>T\otimes T'</math>. Тензорное произв.-е гомоморфизмов (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y),b\in\mathrm{Hom}(W,Z)</math>): <math>(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)</math>. | ||
+ | <li><u>Вторая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>V,W,Y,Z</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)\otimes\mathrm{Hom}(W,Z)&\to\mathrm{Hom}(V\otimes W,Y\otimes Z)\\a\otimes b&\mapsto\bigl(v\otimes w\mapsto a(v)\otimes b(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,<br>если <math>\dim V,\dim W,\dim Y,\dim Z<\infty</math>, то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}Y\otimes V^*\!&\to\mathrm{Hom}(V,Y)\\y\otimes\lambda&\mapsto\bigl(v\mapsto\lambda(v)\,y\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>, то<br>данное отображение — изоморфизм векторных пространств;<br>(3) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!\otimes W^*\!&\to(V\otimes W)^*\\\lambda\otimes\mu&\mapsto\bigl(v\otimes w\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!\otimes W^*\!&\to\mathrm{Bi}(V,W,K)\\\lambda\otimes\mu&\mapsto\bigl((v,w)\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — инъективные гомоморфизмы векторных<br>пространств, а также, если <math>\dim V,\dim W<\infty</math>, то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.</i></ul> | ||
+ | |||
+ | <h5>3.4.2 Тензорные алгебры и тензоры в координатах</h5> | ||
+ | <ul><li>Пространство тензоров типа <math>(p,q)</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}V=V^{\otimes p}\!\otimes(V^*)^{\otimes q}</math>. Примеры: <math>\mathcal T^0_{\,\,0}V=K</math>, <math>\mathcal T^1V=V</math>, <math>\mathcal T_{\,1}V=V^*</math>, <math>\mathcal T^1_{\,\,1}V\cong\mathrm{End}(V)</math>, <math>\mathcal T_{\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V)</math>. | ||
+ | <li>Примеры: <math>\mathcal T^1_{\,\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V,V,V)</math> — пространство структур алгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T^2_{\,\,1}V\cong\mathrm{Hom}(V,V\otimes V)</math> — пространство структур коалгебры на <math>V</math>. | ||
+ | <li>Утверждение: <math>\mathcal T_{\,k}V\cong\mathrm{Multi}_kV</math>. Алгебры контравариантных и ковариантных тензоров над <math>V</math>: <math>\mathcal T^\bullet V=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal T^kV</math> и <math>\mathcal T_{\,\bullet}V=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal T_{\,k}V\cong\mathrm{Multi}(V)</math>. | ||
+ | <li>Тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\!\otimes e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_q}</math>. Примеры: <math>v=\sum_{i=1}^n(v^e)^ie_i</math>, <math>\lambda=\sum_{j=1}^n(\lambda_e)_j\,e^j</math>, <math>a=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!(a_e^e)^i_j\,e_i\otimes e^j</math>. | ||
+ | <li>Примеры: <math>\sigma=\!\!\sum_{1\le j_1,j_2\le n}\!\!(\sigma_{e,e})_{j_1,j_2}\,e^{j_1}\!\otimes e^{j_2}</math> — метрический тензор, <math>\omega=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{sgn}(\bigl(\begin{smallmatrix}1&\ldots&n\\j_1&\ldots&j_n\end{smallmatrix}\bigr))\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_n}</math> — форма объема. | ||
+ | <li>Преобразование координат: <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}\!=\!\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!\!(e_{k_1})^\tilde{i_1}\ldots(e_{k_p})^\tilde{i_p}(e_\tilde{j_1})^{l_1}\ldots(e_\tilde{j_q})^{l_q}\,T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}</math> (здесь <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}\!=\stackrel\tilde eT\!\,^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}</math> и <math>T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}\!=\stackrel eT\!\,^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}</math>).</ul> | ||
+ | |||
+ | <h5>3.4.3 Операции над тензорами</h5> | ||
+ | <ul><li>Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление <math>\mathrm{lat}</math> группы <math>\mathrm S_k</math> в простр.-ве <math>\mathcal T^kV</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{lat}_u\colon\mathcal T^kV&\to\mathcal T^kV\\v_1\otimes\ldots\otimes v_k&\mapsto v_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes v_{u^{-1}(k)}\end{align}\!\biggr)</math>. | ||
+ | <li>Тензорное произведение тензоров в координатах: <math>\bigl(T\otimes T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q\;\;\;\;\;\;\;j_1',\ldots,j_{q'}'}\!\!=T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{p'}'}_{j_1',\ldots,j_{q'}'}</math>. Кронекеровское произведение матриц. | ||
+ | <li>Свертка по паре <math>(b,d)</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{con}^b_d\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p-1}_{\;q-1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\lambda_d(v_b)\,v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)</math>. | ||
+ | <li>Свертка по паре <math>(b,d)</math> в координатах: <math>\bigl(\mathrm{con}^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{h=1}^nT^{i_1,\ldots,i_{b-1},h,i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},h,j_{d+1},\ldots,j_q}</math>. Теорема о свертках тензоров малой валентности. | ||
+ | <p><u>Теорема о свертках тензоров малой валентности.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in V</math>, <math>\lambda\in V^*</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\lambda(v)=\mathrm{con}^1_1(v\otimes\lambda)</math>, <math>\mathrm{tr}\,a=\mathrm{con}^1_1(a)</math>, <math>a(v)=\mathrm{con}^1_1(v\otimes a)</math> и <math>\lambda\circ a=\mathrm{con}^1_2(a\otimes\lambda)</math>;<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> и <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math> выполнено <math>\sigma(v,w)=\mathrm{con}^1_1(\mathrm{con}^1_1(v\otimes w\otimes\sigma))</math> и <math>{\downarrow}_\sigma v=\mathrm{con}^1_1(v\otimes\sigma)</math>.</i></p> | ||
+ | <li><u>Теорема об обратном метрическом тензоре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда<br>(1) прообраз гомоморфизма <math>\downarrow_\sigma</math> относительно изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!\otimes V^*\!&\to\mathrm{Hom}(V,V^*)\\\lambda\otimes\mu&\mapsto\bigl(v\mapsto\lambda(v)\,\mu\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> равен тензору <math>\sigma</math>;<br>(2) если форма <math>\sigma</math> невырождена, то, обозначая через <math>^{-1}\sigma</math> прообраз гомоморфизма <math>\uparrow^\sigma</math> относительно изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}V\otimes V&\to\mathrm{Hom}(V^*,V)\\v\otimes w&\mapsto\bigl(\lambda\mapsto\lambda(v)\,w\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math><br>(тензор <math>^{-1}\sigma</math> — тензор типа <math>(2,0)</math>, обратный к тензору <math>\sigma</math>), для любых <math>\lambda\in V^*</math> имеем следующий факт: <math>{\uparrow}^\sigma\lambda=\mathrm{con}^1_1(^{-1}\sigma\otimes\lambda)</math>.</i> | ||
+ | <li>Опускание индекса: <math>\biggl(\!\begin{align}(\downarrow_\sigma)^b_d\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p-1}_{\;q+1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes({\downarrow}_\sigma v_b)\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)</math>. | ||
+ | <li>Подъем индекса: <math>\biggl(\!\begin{align}(\uparrow^\sigma)^b_d\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p+1}_{\;q-1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes({\uparrow}^\sigma\lambda_d)\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)</math>. | ||
+ | <li>Опускание и подъем в координатах: <math>\bigl((\downarrow_\sigma)^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j,j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{i_b=1}^nT^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\,\sigma_{i_b,j}</math> и <math>\bigl((\uparrow^\sigma)^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i,i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{j_d=1}^n(^{-1}\sigma)^{j_d,i}\,T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}</math>.</ul> | ||
+ | |||
+ | <h3>3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств</h3> | ||
+ | <h5>3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами</h5> | ||
+ | <ul><li>Симметрическая и внешняя степени: <math>\mathsf S^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{lat}_u(T)=T\bigr)\}</math> и <math>\mathsf\Lambda^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{lat}_u(T)=\mathrm{sgn}(u)\,T\bigr)\}</math>. | ||
+ | <li><u>Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное<br>пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; обозначим через <math>\iota</math> изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\ldots\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{laf}_u</math> автоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Multi}_kV&\to\mathrm{Multi}_kV\\\omega&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты:<br><math>\iota\circ\mathrm{lat}_u=\mathrm{laf}_u\circ\iota</math>, <math>\mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{laf}_u(\omega)=\omega\bigr)\}</math>, <math>\mathrm{AMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{laf}_u(\omega)=\mathrm{sgn}(u)\,\omega\bigr)\}</math>;<br>(2) <math>\iota(\mathsf S^kV^*)=\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\iota(\mathsf\Lambda^kV^*)=\mathrm{AMulti}_kV</math> (и, значит, <math>\mathsf S^kV^*\!\cong\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\,\mathsf\Lambda^kV^*\!\cong\mathrm{AMulti}_kV</math>).</i> | ||
+ | <li>Симметризация и альтернирование: <math>\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{lat}_u</math> и <math>\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{lat}_u</math>.</ul> |
Версия 14:40, 1 ноября 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — пространство полилинеаризации.
- Разложимые тензоры: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соответственно; тогда — базис пространства
(и, значит, если , то ). - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорные алгебры и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: . Алгебры контравариантных и ковариантных тензоров над : и .
- Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Преобразование координат: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — векторное
пространство над полем и ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, , ;
(2) и (и, значит, и ). - Симметризация и альтернирование: и .