Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 75: Строка 75:
 
<li>Классические группы над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathrm O(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb R,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm O(n)=\mathrm O(n,0)</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm O(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SO}(n,0)</math>.
 
<li>Классические группы над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathrm O(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb R,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm O(n)=\mathrm O(n,0)</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm O(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SO}(n,0)</math>.
 
<li>Классические группы над <math>\mathbb C</math>: <math>\mathrm U(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb C,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm U(n)=\mathrm U(n,0)</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm U(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)</math>, <math>\mathrm{SU}(n)=\mathrm{SU}(n,0)</math>.
 
<li>Классические группы над <math>\mathbb C</math>: <math>\mathrm U(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb C,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm U(n)=\mathrm U(n,0)</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm U(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)</math>, <math>\mathrm{SU}(n)=\mathrm{SU}(n,0)</math>.
<li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}\cong\mathrm S^1</math>, <math>\mathrm O(2)=\bigl\{\mathrm{id}_2,\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr\}\!\cdot\mathrm{SO}(2)</math>, <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}\cong\mathrm S^3</math>.</ul>
+
<li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}\cong\mathrm S^1</math>, <math>\mathrm O(2)=\bigl\{\mathrm{id}_2,\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr\}\!\cdot\mathrm{SO}(2)</math>, <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}\cong\mathrm S^3</math>.</ul>
  
 
<h5>3.3.2&nbsp; Два пространства и два множества операторов</h5>
 
<h5>3.3.2&nbsp; Два пространства и два множества операторов</h5>
Строка 87: Строка 87:
 
<li>Пример: положительно определенный оператор <math>f\mapsto-f''</math> в пространстве <math>\{f\in\mathrm C^\infty\!([0;l],\mathbb C)\mid f(0)=f(l)=0\}</math> с формой <math>(f,g)\mapsto\!\int_0^l\!f\overline g</math>.</ul>
 
<li>Пример: положительно определенный оператор <math>f\mapsto-f''</math> в пространстве <math>\{f\in\mathrm C^\infty\!([0;l],\mathbb C)\mid f(0)=f(l)=0\}</math> с формой <math>(f,g)\mapsto\!\int_0^l\!f\overline g</math>.</ul>
  
<h5>3.3.3&nbsp; Спектральная теория (часть 1)</h5>
+
<h5>3.3.3&nbsp; Спектральная теория в унитарных пространствах</h5>
 
<ul><li><u>Лемма о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math> выполнено <math>V_1(a,c)=V_1(a^*\!,\overline c)</math>;<br>(2) для любых таких <math>c,d\in\mathrm{Spec}(a)</math>, что <math>c\ne d</math>, выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,d)</math>.</i>
 
<ul><li><u>Лемма о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math> выполнено <math>V_1(a,c)=V_1(a^*\!,\overline c)</math>;<br>(2) для любых таких <math>c,d\in\mathrm{Spec}(a)</math>, что <math>c\ne d</math>, выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,d)</math>.</i>
 
<li>Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве и матричная формулировка этой теоремы.
 
<li>Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве и матричная формулировка этой теоремы.
Строка 96: Строка 96:
 
<li>Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [2]).</ul>
 
<li>Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [2]).</ul>
  
<h5>3.3.4&nbsp; Спектральная теория (часть 2)</h5>
+
<h5>3.3.4&nbsp; Спектральная теория в евклидовых пространствах</h5>
<ul><li><math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над <math>\mathbb R</math> с блоками размера <math>1\times1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>.
+
<ul><li><math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над <math>\mathbb R</math> с блоками размера <math>1\times1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>.
<li><math>\mathbb C</math>-Спектр оператора: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Утверждение: <i>пусть <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>; тогда <math>\,\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math></i>.
+
<li><math>\mathbb C</math>-Спектр оператора: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Утверждение: <i>пусть <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>; тогда <math>\,\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math></i>.
<li><u>Лемма об операторе с пустым спектром над полем <b>R</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>V\ne\{0\}</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\varnothing</math>; тогда<br>(1) существует такое подпространство <math>U</math> пространства <math>V</math>, что <math>\dim U=2</math>, <math>a(U)\le U</math> и, если <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, то <math>a^*(U)\le U</math>;<br>(2) если <math>\dim V=2</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> выполнено <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}</math>.</i>
+
<li><u>Лемма об операторе с пустым спектром над полем <b>R</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>V\ne\{0\}</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\varnothing</math>; тогда<br>(1) существует такое подпространство <math>U</math> пространства <math>V</math>, что <math>\dim U=2</math>, <math>a(U)\le U</math> и, если <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, то <math>a^*(U)\le U</math>;<br>(2) если <math>\dim V=2</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> выполнено <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}</math>.</i>
 
<li>Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве и матричная формулировка этой теоремы.
 
<li>Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве и матричная формулировка этой теоремы.
 
<p><u>Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i></p>
 
<p><u>Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i></p>
 
<p><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)</math>; тогда<br><math>a\cdot a^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot a</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i></p>
 
<p><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)</math>; тогда<br><math>a\cdot a^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot a</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i></p>
<li><u>Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом пр.-ве.</u><br><i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm O(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диаг. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow</math><br><math>\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>;<br>(2) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>;<br>(3) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}_{>0}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>;<br>(4) <math>a\in\mathcal A\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow</math><br><math>\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>.</i>
+
<li><u>Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом пр.-ве.</u><br><i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm O(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диаг. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow</math><br><math>\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>;<br>(2) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>;<br>(3) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}_{>0}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>;<br>(4) <math>a\in\mathcal A\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&\beta\\-\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow</math><br><math>\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>.</i>
<li><u>Теорема Лагранжа для ¯-симметричных ¯-билинейных форм в евклидовом или унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное<br>пространство, <math>\tau\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>\tau_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math> (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V)\cap\mathrm{OOB}(V,\tau)\ne\varnothing</math>).</i>
+
<li><u>Усиленная теорема Лагранжа для евклидова или унитарного пространства.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>\tau\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>;<br>тогда <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>\tau_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math> (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V)\cap\mathrm{OOB}(V,\tau)\ne\varnothing</math>).</i>
<li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\dim V=3</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{SO}(V)</math>, если и только если<br>существуют такие <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, что <math>a_e^e=\!\biggl(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\biggr)</math>.</i></ul>
+
<li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\dim V=3</math> и <math>a\in\mathrm{SO}(V)</math>; обозначим через <math>U</math> пространство <math>V_1(a,1)</math>;<br>тогда <math>a=\mathrm{id}_V</math> или <math>\dim U=1</math>, <math>a|_{U\to U}=\mathrm{id}_U</math> и <math>a|_{U^\perp\to U^\perp}\!\in\mathrm{SO}(U^\perp)</math> (то есть оператор <math>a</math> — вращение вокруг оси <math>U</math>).</i>
 +
<li><u>Теорема о группах SU(2) и SO(3).</u><br><i>(1) <math>\mathrm{SU}(2)\cong\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{SO}(3)\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (пространство <math>\,\mathbb H_\mathrm{vect}</math> рассматривается со стандартным симметричным скалярным произведением).<br>(2) Для любых <math>g\in\mathrm S^3</math>, обозначая через <math>\mathrm{rot}_g</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto g\,v\,g^{-1}\!\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{rot}_g\!\in\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math>.</i></ul>

Версия 19:30, 10 октября 2016

3  Билинейная и полилинейная алгебра

3.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

3.1.1  ¯-Билинейные формы
  • Пространство билинейных форм . Примеры билинейных форм: (), .
  • Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство . Пространство ¯-билинейных форм: .
  • Матрица Грама формы : . ¯-Билинейная форма в координатах: .
  • Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и .
  • Пр.-ва (над полем ) и .
  • Пр.-ва (над полем ) и .
  • , .
  • Группа автоморфизмов пр.-ва с формой: и ().
3.1.2  ¯-Квадратичные формы
  • Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
  • ¯-Квадратичная форма в координатах: — однородный ¯-многочлен степени от .
  • Гиперповерхность второго порядка в пространстве : мн.-во вида , где , , .
  • Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт:
    — симметричная билинейная форма в пространстве (то есть );
    (2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение ,
    имеем следующий факт: — полуторалинейная форма в пространстве (то есть );
    (2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Утверждение: пусть , или , ; тогда .
3.1.3  Невырожденные ¯-билинейные формы
  • Опускание индексов: . Опускание индексов в координатах: и .
  • Случай : невырождена — биекция. Ранг формы: . Утверждение: .
  • Топологическая невырожденность ( или ). Пример: и ; тогда и .
  • Подъем индексов ( невырождена): . Подъем индексов в координатах (): и .
  • Лемма о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , , ; обозначим
    через пространство ; тогда , если и только если и форма невырождена.
  • Ортогональность (): . Ортогональное дополнение: .
  • Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , и ; тогда
    (1) , , и ;
    (2) и, если , то невырождена;
    (3) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор );
    (4) если форма невырождена и , то .
3.1.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
  • Ортогональный базис: — диагональная матрица.
  • Ортонормированный базис (если или ): — диагональная матрица с , , на диагонали.
  • Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , ; тогда
    существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор).
  • Теорема Лагранжа и матричная формулировка этой теоремы. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов (см. пункт 1 в § 4 части 2 в [2]).

    Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , , ; тогда
    (1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
    (2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).

    Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
    (1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
    (2) если или , то существует такая матрица , что — диагональная матрица с , , на диагонали.

  • Утверждение: пусть , , , форма невырождена и ; тогда .
  • Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
    и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство и
    обозначим через -й угловой минор матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно
    тому, что ); для любых обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
    (1) и ;
    (2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).

3.2  Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над или

3.2.1  Положительно и отрицательно определенные формы
  • Множества и .
  • Множества и .
  • Утверждение: пусть и ; тогда и, если , то форма невырождена.
  • Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
    обозначим через число ; для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
    (1) , если и только если ;
    (2) , если и только если .
  • Предгильбертово пространство — векторное пр.-во над или с положительно определенной формой. Примеры предгильбертовых пространств.
  • Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над . Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над .
  • Ортогональные системы функций. Тригонометрические многочлены, многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [2]).
3.2.2  Сигнатура формы
  • Полож. и отриц. ранги: и .
  • Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и
    ; обозначим через число ; тогда
    (1) (и, значит, число не зависит от базиса );
    (2) (и, значит, число не зависит от базиса );
    (3) .
  • Классификация конечномерных пространств с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над R или C. Пусть или , — векторные
    пространства над полем , , и ; тогда (то есть ),
    если и только если , и .
  • Сигнатура формы: (или ). Пр.-во Минковского — четырехмерное пр.-во над с формой сигнатуры .
  • (Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной симметричной билинейной формой.
  • (Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
  • Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).
3.2.3  Предгильбертовы пространства
  • Обозначение формы: . Примеры: , . Норма: . Утверждение: и .
  • Гильбертово пространство — предгильбертово пр.-во, полное относительно нормы. Пример: — бесконечномерное гильбертово пространство.
  • Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
    (1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
    (2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
    (3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля).
  • Теорема об ортогональном проектировании. Пусть — предгильбертово пространство, и ; тогда
    (1) для любых и выполнено и (это неравенство Бесселя);
    (2) для любых и выполнено (и, значит, ).
  • Метрика: . Расстояние между вектором и подпространством: . Метод наименьших квадратов.
  • Угол между векторами и угол между вектором и подпространством (если ): и .
  • Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве. Пусть — евклидово или унитарное пространство
    и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство . Для любых
    обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
    (1) ;
    (2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).

3.3  Линейные операторы и ¯-билинейные формы

3.3.1  Сопряжение операторов
  • Сопряженный оператор (форма невырождена): . Сопряженный оператор в координатах: .
  • Лемма о сопряжении операторов. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , форма невырождена; тогда
    (1) для любых и вектор однозначно определяется условием ;
    (2) для любых и выполнено , и
    (и, значит, отображение — ¯-антиэндоморфизм -алгебры );
    (3) если , то для любых выполнено ;
    (4) .
  • Ортогональная группа ( — (псевдо)евклидово пр.): . Унитарная группа ( — (псевдо)унитарное пр.): .
  • Классические группы над : , , , .
  • Классические группы над : , , , .
  • Примеры: , , .
3.3.2  Два пространства и два множества операторов
  • Форма, связанная с оператором: (). Форма, связанная с оператором, в координатах: .
  • Лемма об операторах и формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , форма невырождена; тогда
    отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Теорема о форме, связанной с оператором, и сопряжении операторов. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство
    над полем , , форма невырождена и ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) и , а также ;
    (3) и ;
    (4) для любых выполнено и .
  • Пр.-во самосопряженных оп.-ров: ; невырождена.
  • Пр.-во антисамосопряж. оп.-ров: ; невырождена.
  • Множество положительно определенных операторов (если или ): .
  • Множество нормальных операторов: .
  • Пример: положительно определенный оператор в пространстве с формой .
3.3.3  Спектральная теория в унитарных пространствах
  • Лемма о собственных векторах нормального оператора. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) для любых таких , что , выполнено .
  • Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве и матричная формулировка этой теоремы.

    Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
    , если и только если — диагональная матрица.

    Матричная формулировка спектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть и ; тогда
    , если и только если — диагональная матрица.

  • Спектральная теорема для унитарных, эрмитовых, положительно определенных и антиэрмитовых операторов в унитарном пространстве.
    Пусть — унитарное пространство и ; тогда
    (1) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали;
    (2) — диаг. матрица с вещественными числами на диагонали;
    (3) — диаг. матрица с положительными числами на диагонали;
    (4) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали.
  • Теорема о собственных числах автоморфизмов, самосопряженных, положительно определенных и антисамосопряженных операторов.
    Пусть или , — предгильбертово пространство над полем , , и ; тогда
    , , и .
  • Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [2]).
3.3.4  Спектральная теория в евклидовых пространствах
  • -Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над с блоками размера и блоками вида , где и .
  • -Спектр оператора: . Утверждение: пусть и ; тогда .
  • Лемма об операторе с пустым спектром над полем R. Пусть — евклидово пространство, , и ; тогда
    (1) существует такое подпространство пространства , что , и, если , то ;
    (2) если , то для любых выполнено .
  • Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве и матричная формулировка этой теоремы.

    Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
    , если и только если -диагональная матрица.

    Матричная формулировка спектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть и ; тогда
    , если и только если -диагональная матрица.

  • Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом пр.-ве.
    Пусть — евклидово пространство и ; тогда
    (1) -диаг. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали
    ;
    (2) — диагональная матрица;
    (3) — диаг. матрица с положительными числами на диагонали;
    (4) -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали
    .
  • Усиленная теорема Лагранжа для евклидова или унитарного пространства. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ;
    тогда — диагональная матрица (то есть ).
  • Теорема Эйлера о вращениях. Пусть — евклидово пространство, и ; обозначим через пространство ;
    тогда или , и (то есть оператор — вращение вокруг оси ).
  • Теорема о группах SU(2) и SO(3).
    (1) , (пространство рассматривается со стандартным симметричным скалярным произведением).
    (2) Для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: .