Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 15:00, 21 сентября 2016

3  Билинейная и полилинейная алгебра

3.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

3.1.1  ¯-Билинейные формы

• Пространство билинейных форм ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V)}$. Примеры билинейных форм: ${\displaystyle (v,w)\mapsto v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w}$ (${\displaystyle v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}s_{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}w^{j_{2}}}$), ${\displaystyle (f,g)\mapsto \!\int _{X}\!sfg}$.
• Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство ${\displaystyle {\overline {V}}}$. Пространство ¯-билинейных форм: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)=\mathrm {Bi} (V,{\overline {V}},K)}$.
• Матрица Грама формы ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle (\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\!=\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})}$. ¯-Билинейная форма в координатах: ${\displaystyle \sigma (v,w)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {w^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {w^{j_{2}}}}}$.
• Изоморфизм ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\\sigma &\mapsto \sigma _{e,e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Преобразования при замене базиса: ${\displaystyle \sigma _{{\tilde {e}},{\tilde {e}}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}}}$ и ${\displaystyle \sigma _{{\tilde {j_{1}}},{\tilde {j_{2}}}}\!=\sum _{l_{1}=1}^{n}\sum _{l_{2}=1}^{n}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}{\overline {(e_{\tilde {j_{2}}})^{l_{2}}}}\,\sigma _{l_{1},l_{2}}}$.
• Пр.-ва (над полем ${\displaystyle \{c\in K\mid c={\overline {c}}\}}$) ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)={\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!={\overline {s}}\}}$.
• Пр.-ва (над полем ${\displaystyle \{c\in K\mid c={\overline {c}}\}}$) ${\displaystyle {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)=-{\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {A} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!=-{\overline {s}}\}}$.
• ${\displaystyle \mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\{a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,w)=\varphi (a(v),a(w)){\bigr )}\}}$, ${\displaystyle \mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))\cap \mathrm {Bij} (V,Y)}$.
• Группа автоморфизмов пр.-ва с формой: ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V,\sigma )=\mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(V,\sigma ))}$ и ${\displaystyle \mathrm {Aut} (n,K,s)=\{a\in \mathrm {GL} (n,K)\mid a^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {a}}=s\}}$ (${\displaystyle s\in \mathrm {Mat} (n,K)}$).

3.1.2  ¯-Квадратичные формы

• Пространство ¯-квадратичных форм: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)=\{\kappa \in \mathrm {Map} (V,K)\mid \exists \,\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\;\forall \,v\in V\;{\bigl (}\kappa (v)=\sigma (v,v){\bigr )}\}}$. Утверждение: ${\displaystyle \kappa (c\,v)=c{\overline {c}}\,\kappa (v)}$.
• ¯-Квадратичная форма в координатах: ${\displaystyle \kappa (v)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {v^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {v^{j_{2}}}}}$ — однородный ¯-многочлен степени ${\displaystyle 2}$ от ${\displaystyle v^{1},\ldots ,v^{n}}$.
• Гиперповерхность второго порядка в пространстве ${\displaystyle V}$: мн.-во вида ${\displaystyle \{v\in V\mid \kappa (v)+2\,\lambda (v)+c=0\}}$, где ${\displaystyle \kappa \in \mathrm {Quad} (V)\!\setminus \!\{0\}}$, ${\displaystyle \lambda \in V^{*}}$, ${\displaystyle c\in K}$.
• Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$ и ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle \kappa \in \mathrm {Quad} (V)}$, обозначая через ${\displaystyle \,\mathrm {pol} _{\kappa }}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)-\kappa (v-w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, имеем следующий факт:
  ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }}$ — симметричная билинейная форма в пространстве ${\displaystyle V}$ (то есть ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)}$);
  (2) отображения ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Quad} (V)&\to \mathrm {SBi} (V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {SBi} (V)&\to \mathrm {Quad} (V)\\\sigma &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \sigma (v,v){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle \kappa \in {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)}$, обозначая через ${\displaystyle \,\mathrm {pol} _{\kappa }}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to \mathbb {C} \\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)+\mathrm {i} \,\kappa (v+\mathrm {i} \,w)-\kappa (v-w)-\mathrm {i} \,\kappa (v-\mathrm {i} \,w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}}$,
  имеем следующий факт: ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }}$ — полуторалинейная форма в пространстве ${\displaystyle V}$ (то есть ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$);
  (2) отображения ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Quad} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)\\\sigma &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \sigma (v,v){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {SBi} (V)}$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \forall \,v\in V\;{\bigl (}\sigma (v,v)=\sigma (a(v),a(v)){\bigr )}\}}$.

3.1.3  Невырожденные ¯-билинейные формы

• Опускание индексов: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\downarrow _{\sigma }\colon V&\to {\overline {V}}^{*}\\v&\mapsto {\bigl (}w\mapsto \sigma (v,w){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Опускание индексов в координатах: ${\displaystyle ({\downarrow }_{\sigma }v)_{e}=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}}$ и ${\displaystyle ({\downarrow }_{\sigma }v)_{j}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i,j}\,v^{i}}$.
• Случай ${\displaystyle \dim V<\infty }$: ${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma }$ невырождена${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \,\Leftrightarrow \,}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \downarrow _{\sigma }}$ — биекция${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \,\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle \mathrm {Ker} \,{\downarrow }_{\sigma }\!=\{0\}}$. Ранг формы: ${\displaystyle \mathrm {rk} (\sigma )=\dim \mathrm {Im} \,{\downarrow }_{\sigma }}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma _{e,e})}$.
• Тонкости случая ${\displaystyle \dim V=\infty }$. Пример: пусть ${\displaystyle V=\mathrm {C} ^{0}\!([-1;1],\mathbb {R} )}$ и ${\displaystyle \sigma \colon (f,g)\mapsto \!\int _{-1}^{1}\!fg}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,{\downarrow }_{\sigma }\!=\{0\}}$, но ${\displaystyle \mathrm {Im} \,{\downarrow }_{\sigma }\!<V^{*}\!\cap \mathrm {C} ^{0}\!(V,\mathbb {R} )}$.
• Подъем индексов (${\displaystyle \sigma }$ невырождена): ${\displaystyle \uparrow ^{\sigma }={\downarrow }_{\sigma }^{-1}}$. Подъем индексов в координатах (${\displaystyle \sigma ^{e,e}=(\sigma _{e,e})^{-1}}$): ${\displaystyle ({\uparrow }^{\sigma }\lambda )^{e}=(\sigma ^{e,e})^{\mathtt {T}}\!\cdot (\lambda _{e})^{\mathtt {T}}}$ и ${\displaystyle ({\uparrow }^{\sigma }\lambda )^{i}=\sum _{j=1}^{n}\sigma ^{j,i}\,\lambda _{j}}$.
• Лемма о базисах и невырожденных формах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle e\in V^{m}}$; обозначим
  через ${\displaystyle U}$ пространство ${\displaystyle \langle e_{1},\ldots ,e_{m}\rangle }$; тогда ${\displaystyle \sigma _{e,e}\!\in \mathrm {GL} (m,K)}$, если и только если ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (U)}$ и форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена.
• Ортогональность (${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)}$): ${\displaystyle v\perp w\,\Leftrightarrow \,\sigma (v,w)=0\,\Leftrightarrow \,\sigma (w,v)=0}$. Ортогональное дополнение: ${\displaystyle U^{\perp }\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\leq V}$.
• Теорема об ортогональном дополнении. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)}$ и ${\displaystyle U,W\leq V}$; тогда
  (1) ${\displaystyle U\leq U^{\perp \perp }}$, ${\displaystyle U\leq W\,\Rightarrow \,W^{\perp }\!\leq U^{\perp }}$, ${\displaystyle (U+W)^{\perp }\!=U^{\perp }\!\cap W^{\perp }}$ и ${\displaystyle \,U^{\perp }\!+W^{\perp }\!\leq (U\cap W)^{\perp }}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm {Ker} ({\downarrow }_{\sigma |_{U\times U}})=U\cap U^{\perp }}$ и, если ${\displaystyle \dim U<\infty }$, то ${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \,\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle U\cap U^{\perp }\!=\{0\}}$;
  (3) если форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена, то ${\displaystyle V=U\oplus U^{\perp }}$ (и, значит, определен ортогональный проектор ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {proj} _{U}\colon V=U\oplus U^{\perp }\!&\to V\\v=u+u^{\perp }&\mapsto u\end{aligned}}\!{\biggr )}}$);
  (4) если форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена и ${\displaystyle U^{\perp }\!\cap U^{\perp \perp }\!=\{0\}}$, то ${\displaystyle U=U^{\perp \perp }}$.

3.1.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм

• Ортогональный базис: ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )}$${\displaystyle \,\Leftrightarrow \,}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma _{e,e}}$ — диагональная матрица${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \,}$${\displaystyle \forall \,j_{1},j_{2}\in \{1,\ldots ,\dim V\}\;{\bigl (}j_{1}\neq j_{2}\,\Rightarrow \,\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})=0{\bigr )}}$.
• Ортонормированный базис (если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$): ${\displaystyle e\in \mathrm {OnOB} (V,\sigma )}$${\displaystyle \,\Leftrightarrow \,}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle \sigma _{e,e}}$ — диагональная матрица с ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle 0}$ на диагонали${\displaystyle {\bigr )}}$.
• Лемма о неизотропном векторе. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\!\setminus \!\{0\}}$; тогда
  существует такой вектор ${\displaystyle v\in V}$, что ${\displaystyle \sigma (v,v)\neq 0}$ (то есть существует неизотропный вектор).
• Теорема Лагранжа. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$; тогда
  (1) в пространстве ${\displaystyle V}$ существует ортогональный базис (то есть ${\displaystyle \mathrm {OOB} (V,\sigma )\neq \varnothing }$);
  (2) если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то в пространстве ${\displaystyle V}$ существует ортонормированный базис (то есть ${\displaystyle \mathrm {OnOB} (V,\sigma )\neq \varnothing }$).
• Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)}$; тогда
  (1) существует такая матрица ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}}$ — диагональная матрица;
  (2) если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то существует такая матрица ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}}$ — диагональная матрица с ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle 0}$ на диагонали.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle \dim U<\infty }$, ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (U,\sigma |_{U\times U})}$, форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена и ${\displaystyle v\in V}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {proj} _{U}(v)=\!\sum _{j=1}^{\dim U}\!{\frac {\sigma (v,e_{j})}{\sigma (e_{j},e_{j})}}e_{j}}$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$,
  ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$; для любых ${\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n\}}$ обозначим через ${\displaystyle V_{i}}$ пространство ${\displaystyle \langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle }$ и
  обозначим через ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$-й угловой минор матрицы ${\displaystyle \sigma _{e,e}}$. Пусть для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ форма ${\displaystyle \sigma |_{V_{i}\times V_{i}}}$ невырождена (это эквивалентно
  тому, что ${\displaystyle m_{i}\neq 0}$); для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ обозначим через ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}}$ вектор ${\displaystyle e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})}$. Тогда для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ выполнено
  (1) ${\displaystyle ({\hat {e}}_{1},\dots ,{\hat {e}}_{i})\in \mathrm {OOB} (V_{i},\sigma |_{V_{i}\times V_{i}})}$ и ${\displaystyle \,\sigma ({\hat {e}}_{i},{\hat {e}}_{i})={\frac {m_{i}}{m_{i-1}}}}$;
  (2) ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}=e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {\sigma (e_{i},{\hat {e}}_{j})}{\sigma ({\hat {e}}_{j},{\hat {e}}_{j})}}{\hat {e}}_{j}}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\displaystyle {\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}}$).

3.2  Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$

3.2.1  Положительно и отрицательно определенные формы

• Множества ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)>0{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}>0{\bigr )}\}}$.
• Множества ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)<0{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{<0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}<0{\bigr )}\}}$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)\cup {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)}$ и ${\displaystyle U\leq V}$; тогда ${\displaystyle U\cap U^{\perp }\!=\{0\}}$ и, если ${\displaystyle \dim U<\infty }$, то форма ${\displaystyle \sigma |_{U\times U}}$ невырождена.
• Критерий Сильвестра. Пусть ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$;
  обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$; для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ обозначим через ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$-й угловой минор матрицы ${\displaystyle \sigma _{e,e}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)}$, если и только если ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}m_{i}>0{\bigr )}}$;
  (2) ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)}$, если и только если ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}(-1)^{i}\,m_{i}>0{\bigr )}}$.
• Евклидово${\displaystyle /}$унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle /}$над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с положительно определенной формой.
• Ортогональные многочлены. Тригонометрические многочлены и многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [2]).

3.2.2  Сигнатура формы

• Полож. и отриц. ранги: ${\displaystyle \mathrm {rk} _{>0}(\sigma )=\max\{\dim U\mid U\leq V\;\land \;\sigma |_{U\times U}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(U)\}}$ и ${\displaystyle \mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=\max\{\dim U\mid U\leq V\;\land \;\sigma |_{U\times U}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(U)\}}$.
• Закон инерции Сильвестра. Пусть ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и
  ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )}$; обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {rk} _{>0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|}$ (и, значит, число ${\displaystyle |\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|}$ не зависит от базиса ${\displaystyle e}$);
  (2) ${\displaystyle \mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|}$ (и, значит, число ${\displaystyle |\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|}$ не зависит от базиса ${\displaystyle e}$);
  (3) ${\displaystyle \mathrm {rk} _{>0}(\sigma )+\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma )}$.
• Сигнатура формы: ${\displaystyle (\mathrm {rk} _{>0}(\sigma ),\mathrm {rk} _{<0}(\sigma ))}$ (или ${\displaystyle \mathrm {rk} _{>0}(\sigma )-\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )}$). Пр.-во Минковского — четырехмерное пр.-во над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с формой сигнатуры ${\displaystyle (1,3)}$.
• (Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с невырожденной симметричной билинейной формой.
• (Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
• Теорема о классификации конечномерных пространств с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над R или C. Пусть ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$,
  ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V,\dim Y<\infty }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle \varphi \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(Y)}$; тогда следующие условия эквивалентны:
  ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle (V,\sigma )\cong (Y,\varphi )}$ (то есть ${\displaystyle \,\mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))\neq \varnothing }$);
  ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle \dim V=\dim Y}$, ${\displaystyle \mathrm {rk} _{>0}(\sigma )=\mathrm {rk} _{>0}(\varphi )}$ и ${\displaystyle \mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=\mathrm {rk} _{<0}(\varphi )}$.
• Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).

3.2.3  Евклидовы и унитарные пространства

• Обозначение формы: ${\displaystyle (,)}$. Примеры: ${\displaystyle (v,w)=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\overline {w^{i}}}}$, ${\displaystyle (f,g)=\!\int _{X}\!f{\overline {g}}}$. Норма: ${\displaystyle \|v\|=\!{\sqrt {(v,v)}}}$. Утверждение: ${\displaystyle v\neq 0\,\Rightarrow \,\|v\|>0}$ и ${\displaystyle \|c\,v\|=|c|\,\|v\|}$.
• Теорема о свойствах нормы. Пусть ${\displaystyle V}$ — евклидово или унитарное пространство; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle v,w\in V}$ выполнено ${\displaystyle |(v,w)|\leq \|v\|\,\|w\|}$ (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
  (2) для любых ${\displaystyle v,w\in V}$ выполнено ${\displaystyle \|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|}$ (это неравенство треугольника);
  (3) для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OnOB} (V)}$ и ${\displaystyle v\in V}$ выполнено ${\displaystyle v=\!\sum _{i=1}^{\dim V}\!(v,e_{i})e_{i}}$ и ${\displaystyle \|v\|^{2}=\!\sum _{i=1}^{\dim V}\!|(v,e_{i})|^{2}}$ (это равенство Парсеваля).
• Гильбертово пространство над ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle /}$над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — (не обязательно конечномерное) «евклидово»${\displaystyle /}$«унитарное» пространство, полное относительно нормы.
• Теорема об ортогональном проектировании. Пусть ${\displaystyle V}$ — евклидово или унитарное пространство и ${\displaystyle U\leq V}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OnOB} (U)}$ и ${\displaystyle v\in V}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {proj} _{U}(v)=\!\sum _{j=1}^{\dim U}\!(v,e_{j})e_{j}}$ и ${\displaystyle \|v\|^{2}\geq \!\sum _{j=1}^{\dim U}\!|(v,e_{j})|^{2}}$ (это неравенство Бесселя);
  (2) для любых ${\displaystyle v\in V}$ и ${\displaystyle u\in U\!\setminus \!\{\mathrm {proj} _{U}(v)\}}$ выполнено ${\displaystyle \|v-\mathrm {proj} _{U}(v)\|<\|v-u\|}$ (и, значит, ${\displaystyle \|v-\mathrm {proj} _{U}(v)\|=\min\{\|v-u\|\mid u\in U\}}$).
• Угол между векторами и угол между вектором и подпространством (если ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$): ${\displaystyle \angle (v,w)=\arccos {\frac {(v,w)}{\|v\|\,\|w\|}}}$ и ${\displaystyle \angle (v,U)=\angle (v,\mathrm {proj} _{U}(v))}$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве. Пусть ${\displaystyle V}$ — евклидово или унитарное пространство
  и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$; для любых ${\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n\}}$ обозначим через ${\displaystyle V_{i}}$ пространство ${\displaystyle \langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle }$. Для любых
  ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ обозначим через ${\displaystyle {\check {e}}_{i}}$ вектор ${\displaystyle {\frac {e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})}{\|e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})\|}}}$. Тогда для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ выполнено
  (1) ${\displaystyle ({\check {e}}_{1},\dots ,{\check {e}}_{i})\in \mathrm {OnOB} (V_{i})}$;
  (2) ${\displaystyle {\check {e}}_{i}={\frac {e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(e_{i},{\check {e}}_{j}){\check {e}}_{j}}{\|e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(e_{i},{\check {e}}_{j}){\check {e}}_{j}\|}}}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\displaystyle {\check {e}}_{1},\ldots ,{\check {e}}_{n}}$).

3.3  Линейные операторы и ¯-билинейные формы

3.3.1  Сопряжение операторов

• Сопряженный оператор (форма ${\displaystyle \sigma }$ невырождена): ${\displaystyle a^{*}(v)={\uparrow }^{\sigma }{\bigl (}({\downarrow }_{\sigma }v)\circ a{\bigr )}}$. Сопряженный оператор в координатах: ${\displaystyle (a^{*})_{e}^{e}=(\sigma ^{e,e})^{\mathtt {T}}\!\cdot {\overline {a_{e}^{e}}}^{\mathtt {T}}\!\!\cdot (\sigma _{e,e})^{\mathtt {T}}}$.
• Лемма о сопряжении операторов. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$, форма ${\displaystyle \sigma }$ невырождена; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle v\in V}$ вектор ${\displaystyle a^{*}(v)}$ однозначно определяется условием ${\displaystyle \forall \,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,a(w))=\sigma (a^{*}(v),w){\bigr )}}$;
  (2) для любых ${\displaystyle a,b\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle (a+b)^{*}\!=a^{*}\!+b^{*}}$, ${\displaystyle (c\,a)^{*}\!={\overline {c}}\,a^{*}}$ и ${\displaystyle (a\circ b)^{*}\!=b^{*}\!\circ a^{*}}$
  (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {End} (V)\\a&\mapsto a^{*}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — ¯-антиэндоморфизм ${\displaystyle K}$-алгебры ${\displaystyle \,\mathrm {End} (V)}$);
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то для любых ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \,\mathrm {Spec} (a^{*})={\overline {\mathrm {Spec} (a)}}}$;
  (4) ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid a^{*}\!=a^{-1}\}=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid a\circ a^{*}\!=a^{*}\!\circ a=\mathrm {id} _{V}\}}$.
• Ортогональная группа (${\displaystyle V}$ — (псевдо)евклидово пр.): ${\displaystyle \mathrm {O} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )}$. Унитарная группа (${\displaystyle V}$ — (псевдо)унитарное пр.): ${\displaystyle \mathrm {U} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )}$.
• Классические группы над ${\displaystyle \mathbb {R} }$: ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\mathrm {Aut} {\bigl (}p+q,\mathbb {R} ,{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\mathrm {id} _{p}&0\\0&-\mathrm {id} _{q}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr )}}$, ${\displaystyle \mathrm {O} (n)=\mathrm {O} (n,0)}$, ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)=\mathrm {O} (p,q)\cap \mathrm {SL} (p+q,\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)=\mathrm {SO} (n,0)}$.
• Классические группы над ${\displaystyle \mathbb {C} }$: ${\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\mathrm {Aut} {\bigl (}p+q,\mathbb {C} ,{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\mathrm {id} _{p}&0\\0&-\mathrm {id} _{q}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr )}}$, ${\displaystyle \mathrm {U} (n)=\mathrm {U} (n,0)}$, ${\displaystyle \mathrm {SU} (p,q)=\mathrm {U} (p,q)\cap \mathrm {SL} (p+q,\mathbb {C} )}$, ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)=\mathrm {SU} (n,0)}$.
• Примеры: ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)={\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid \varphi \in [0;2\pi ){\bigr \}}\cong \mathrm {S} ^{1}}$, ${\displaystyle \mathrm {O} (2)={\bigl \{}\mathrm {id} _{2},{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr \}}\!\cdot \mathrm {SO} (2)}$, ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)={\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}c&d\\-{\overline {d}}&{\overline {c}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid c,d\in \mathbb {C} ,\,|c|^{2}\!+|d|^{2}\!=1{\bigr \}}\cong \mathrm {S} ^{3}}$.